⚡️ МНОГОЧЛЕНИ І ДІЇ З НИМИ

Ми з вами продовжуємо вивчати цілі вирази. На черзі — многочлени. Тут ми розглянемо важливі поняття і ключові операції, що виконуються над многочленами.

➡️Многочлен — це цілий вираз, який складається з суми та (або) різниці кількох одночленів.
⏩Приклади многочленів:
🟠5xy² + 3x²y — двучлен;
🟠2a² – 5a + 2 — тричлен;
🟠a³b + 3a²b² – 2a² + 4b² — чотиричлен;
🟠7xy, c, 9 — многочлени, що складаються з одного члена.

➡️Подібні члени многочлена — це однакові одночлени або такі одночлени стандартного вигляду, які відрізняються тільки числовими коефіцієнтами.
⏩Приклад: 4ab² + 3a²b – 2ab² — тут члени 4ab² і –2ab² є подібними, оскільки вони відрізняються лише числовим коефіцієнтом.

➡️Щоб звести подібні члени, треба додати їхні коефіцієнти й приписати їхню спільну буквену частину.
⏩Приклад: 2ab − 4a² + 3b² + a² − 7ab + b² = (2ab − 7ab) + (−4a² + a²) + (3b² + b²) = −5ab − 3a² + 4b².

➡️Многочлен стандартного вигляду — многочлен, який складається з одночленів стандартного вигляду, серед яких немає подібних.
⏩Приклади:
🟠xy³ + 4x²y² – 5x² + 6y² — многочлен стандартного вигляду;
🟠3a²b + 7a²a — многочлен нестандартного вигляду, оскільки одночлен 7a²a записаний в нестандартному вигляді.
🟠3x² – 2x – x² + 1 — многочлен нестандартного вигляду, оскільки 3x² і –x² — подібні одночлени.

➡️Степінь многочлена — найбільший степінь із степенів його членів (одночленів).
⏩Приклад. Маємо многочлен 4xy⁵ – 9x³y² + 7x⁴y³. Степені його одночленів:
🟠4xy⁵: 1 + 5 = 6 степінь
🟠–9x³y²: 3 + 2 = 5 степінь
🟠7x⁴y³: 4 + 3 = 7 степінь
Отже, многочлен 4xy⁵ – 9x³y² + 7x⁴y³ має 7 степінь.

⚠️ Дії над многочленами:

1️⃣При додаванні многочленів користуються правилом розкриття дужок: якщо перед дужками стоїть знак «+», то дужки можна опустити й зберегти знак кожного одночлена.

⏩Приклад: (5x² − 3x + 3) + (2x² + 8x − 9) = 5x² − 3x + 3 + 2x² + 8x − 9 = (5x² + 2x²) + (−3x + 8x) + (3 − 9) = 7x² + 5x − 6.

2️⃣При відніманні многочленів також користуються відповідним правилом розкриття дужок: якщо перед дужками стоїть знак «–», то дужки можна опустити, змінивши знак кожного одночлена, що був у дужках, на протилежний.

⏩Приклад: (5x² − 3x + 3) − (2x² + 8x − 9) = 5x² − 3x + 3 − 2x² − 8x + 9 = (5x² − 2x²) + (−3x − 8x) + (3 + 9) = 3x² − 11x + 12.

3️⃣Щоб помножити одночлен на многочлен, треба кожний член многочлена помножити на цей одночлен і одержані одночлени додати.

⏩Приклади:
🟠5x(3x² + 2) = 5x ⋅ 3x² + 5x ⋅ 2 = 15x³ + 10x;
🟠3ab²(ab − 2a + 7b) = 3ab² ⋅ ab − 3ab² ⋅ 2a + 3ab² ⋅ 7b = 3a²b³ − 6a²b² + 21ab³.

4️⃣Щоб помножити многочлен на многочлен, треба кожний член одного многочлена помножити на кожний член другого многочлена й одержані одночлени додати.

⏩Приклади: (2a − 3)(3a + 2) = 2a ⋅ 3a + 2a ⋅ 2 − 3 ⋅ 3a − 3 ⋅ 2 = 6a² + 4a − 9a − 6 = 6a² − 5a − 6.

🇺🇦@abitmath 🇺🇦@abitblog

⚡️ ФОРМУЛИ СКОРОЧЕНОГО МНОЖЕННЯ

Для того щоб не розкривати кожен раз один і той самий вид дужок, що часто зустрічається в задачах, є скорочені форми їх запису. Тут розглянемо основні формули скороченого множення, необхідні для НМТ з математики.

➡️Формули скороченого множення — це поширені випадки множення многочленів.

1️⃣Формула різниці квадратів. Добуток різниці та суми двох виразів дорівнює різниці квадратів цих виразів:

(a – b)(a + b) = a² – b²

⏩Приклади:
🟠(x – 3)(x + 3) = x² – 3² = x² – 9;
🟠(5b + 2a)(2a – 5b) = (2a – 5b)(2a + 5b) = (2a)² – (5b)² = 4a² – 25b².

❓ Чому працює ця формула?
Переконаємось у правильності цієї формули, розкривши дужки звичайним чином:
(a – b)(a + b) = a² + ab – ab – b² = a² – b².
Отже, щоб кожен раз не скорочувати частинку ab і –ab, краще запам'ятати цю формулу.

2️⃣Формула квадрата суми. Квадрат суми двох виразів дорівнює сумі квадрата першого виразу, подвоєного добутку цих виразів і квадрата другого виразу:

(a + b)² = a² + 2ab + b²

3️⃣Формула квадрата різниці. Квадрат різниці двох виразів дорівнює сумі квадратів першого і другого виразів та різниці подвоєного добутку цих виразів:

(a – b)² = a² – 2ab + b²

⏩Приклади:
🟠(x + 3)² = x² + 2 ⋅ x ⋅ 3 + 3² = x² + 6x + 9;
🟠(2a – 5b)² = (2a)² – 2 ⋅ 2a ⋅ 5b + (5b)² = 4a² – 20ab + 25b².

❓ Звідки береться 2ab?
Доведемо формулу (a + b)² = a² + 2ab + b². Для цього скористаємось поняттям степеня:
(a + b)² = (a + b)(a + b).
Далі розкриємо ці дві дужки, використовуючи правило множення многочлена на многочлен:
(a + b)(a + b) = a² + ab + ab + b² = a² + 2ab + b².
Доведено.

Розглянемо додаткові корисні формули.

4️⃣Формула суми кубів. Добуток суми двох виразів та неповного квадрату різниці цих виразів дорівнює сумі кубів цих виразів:

     (a + b)(a² – ab + b²) = a³ + b³

5️⃣Формула різниці кубів. Добуток різниці двох виразів та неповного квадрату суми цих виразів дорівнює різниці кубів цих виразів:

     (a – b)(a² + ab + b²) = a³ – b³

⏩Приклади:
🟠(x + 3)(x² – 6x + 9) = x³ + 3³ = x³ + 27;
🟠(2a – 5b)(4a² + 10ab + 25b²) = (2a)³ – (5b)³ = 8a³ – 125b³.

🇺🇦@abitmath 🇺🇦@abitblog