⚡️ ОДНОЧЛЕНИ І ДІЇ З НИМИ

Ми з вами завершили розглядати базові арифметичні операції. Тепер можемо йти далі. Наступним нашим кроком будуть цілі вирази, а сьогодні — одночлени.

➡️Цілі вирази — це вирази, які не містять ділення на буквенні вирази.

⏩Приклади:
🟠2x + y;
🟠(a + b)/3.

Вирази, що містять ділення на буквенний вираз, називають дробово раціональними виразами.
⏩Приклади:
🟠2x/y;
🟠3/(a + b).

➡️Одночлен — це цілий вираз, який складається з добутку числа, літер та їх степенів із натуральним показником.
⏩Приклади: 5xy²; –3a⁵; c³d⁴; 8 — одночлени.

➡️Одночлен стандартного вигляду — одночлен, який містить тільки один числовий множник, що стоїть на першому місці, і степені з різними буквеними основами, розташованими за алфавітним порядком.
⏩Приклади:
🟠3x³y²z⁴ — одночлен стандартного вигляду;
🟠5a⁴ ⋅ 3c²b — одночлен нестандартного вигляду.

➡️Коефіцієнт одночлена — числовий множник одночлена стандартного вигляду.
⏩Приклад: одночлен 7mn²k⁵ має коефіцієнт 7.

➡️Степінь одночлена — сума показників степенів усіх буквених множників, які належать до одночлена.
⏩Приклад: степінь одночлена 2x²y⁵z⁴ дорівнює 2 + 5 + 4 = 11.

⚠️ Дії над одночленами:

1️⃣Щоб помножити одночлен на одночлен, треба перемножити їхні коефіцієнти й перемножити степені з однаковими основами.

⏩Приклад: 3a²b⁷ ⋅ (–4a⁴b) = 3 ⋅ (–4) ⋅ (a² ⋅ a⁴) ⋅ (b⁷ ⋅ b) = –12a⁶b⁸.

2️⃣Щоб піднести одночлен до степеня, потрібно піднести його коефіцієнт до цього степеня й помножити показник степеня кожної букви на показник степеня, до якого підносять одночлен.

⏩Приклад: (–3a⁴b³)² = (–3)² ⋅ (a⁴)² ⋅ (b³)² = 9a⁸b⁶.

3️⃣Щоб поділити одночлен на одночлен, треба поділити коефіцієнт діленого на коефіцієнт дільника й поділити степені діленого на степені дільника з однаковими основами.

⏩Приклад: 8a⁶b¹⁰ : (–2a²b⁵) = 8 : (–2) ⋅ (a⁶ : a²) ⋅ (b¹⁰ : b⁵) = –4a⁴b⁵.

🇺🇦@abitmath 🇺🇦@abitblog

⚡️ МНОГОЧЛЕНИ І ДІЇ З НИМИ

Ми з вами продовжуємо вивчати цілі вирази. На черзі — многочлени. Тут ми розглянемо важливі поняття і ключові операції, що виконуються над многочленами.

➡️Многочлен — це цілий вираз, який складається з суми та (або) різниці кількох одночленів.
⏩Приклади многочленів:
🟠5xy² + 3x²y — двучлен;
🟠2a² – 5a + 2 — тричлен;
🟠a³b + 3a²b² – 2a² + 4b² — чотиричлен;
🟠7xy, c, 9 — многочлени, що складаються з одного члена.

➡️Подібні члени многочлена — це однакові одночлени або такі одночлени стандартного вигляду, які відрізняються тільки числовими коефіцієнтами.
⏩Приклад: 4ab² + 3a²b – 2ab² — тут члени 4ab² і –2ab² є подібними, оскільки вони відрізняються лише числовим коефіцієнтом.

➡️Щоб звести подібні члени, треба додати їхні коефіцієнти й приписати їхню спільну буквену частину.
⏩Приклад: 2ab − 4a² + 3b² + a² − 7ab + b² = (2ab − 7ab) + (−4a² + a²) + (3b² + b²) = −5ab − 3a² + 4b².

➡️Многочлен стандартного вигляду — многочлен, який складається з одночленів стандартного вигляду, серед яких немає подібних.
⏩Приклади:
🟠xy³ + 4x²y² – 5x² + 6y² — многочлен стандартного вигляду;
🟠3a²b + 7a²a — многочлен нестандартного вигляду, оскільки одночлен 7a²a записаний в нестандартному вигляді.
🟠3x² – 2x – x² + 1 — многочлен нестандартного вигляду, оскільки 3x² і –x² — подібні одночлени.

➡️Степінь многочлена — найбільший степінь із степенів його членів (одночленів).
⏩Приклад. Маємо многочлен 4xy⁵ – 9x³y² + 7x⁴y³. Степені його одночленів:
🟠4xy⁵: 1 + 5 = 6 степінь
🟠–9x³y²: 3 + 2 = 5 степінь
🟠7x⁴y³: 4 + 3 = 7 степінь
Отже, многочлен 4xy⁵ – 9x³y² + 7x⁴y³ має 7 степінь.

⚠️ Дії над многочленами:

1️⃣При додаванні многочленів користуються правилом розкриття дужок: якщо перед дужками стоїть знак «+», то дужки можна опустити й зберегти знак кожного одночлена.

⏩Приклад: (5x² − 3x + 3) + (2x² + 8x − 9) = 5x² − 3x + 3 + 2x² + 8x − 9 = (5x² + 2x²) + (−3x + 8x) + (3 − 9) = 7x² + 5x − 6.

2️⃣При відніманні многочленів також користуються відповідним правилом розкриття дужок: якщо перед дужками стоїть знак «–», то дужки можна опустити, змінивши знак кожного одночлена, що був у дужках, на протилежний.

⏩Приклад: (5x² − 3x + 3) − (2x² + 8x − 9) = 5x² − 3x + 3 − 2x² − 8x + 9 = (5x² − 2x²) + (−3x − 8x) + (3 + 9) = 3x² − 11x + 12.

3️⃣Щоб помножити одночлен на многочлен, треба кожний член многочлена помножити на цей одночлен і одержані одночлени додати.

⏩Приклади:
🟠5x(3x² + 2) = 5x ⋅ 3x² + 5x ⋅ 2 = 15x³ + 10x;
🟠3ab²(ab − 2a + 7b) = 3ab² ⋅ ab − 3ab² ⋅ 2a + 3ab² ⋅ 7b = 3a²b³ − 6a²b² + 21ab³.

4️⃣Щоб помножити многочлен на многочлен, треба кожний член одного многочлена помножити на кожний член другого многочлена й одержані одночлени додати.

⏩Приклади: (2a − 3)(3a + 2) = 2a ⋅ 3a + 2a ⋅ 2 − 3 ⋅ 3a − 3 ⋅ 2 = 6a² + 4a − 9a − 6 = 6a² − 5a − 6.

🇺🇦@abitmath 🇺🇦@abitblog