⚡️ СТЕПІНЬ ІЗ РАЦІОНАЛЬНИМ ПОКАЗНИКОМ

Розглянемо останній вид степенів — степінь із раціональним показником. Тут буде наведено означення, приклади їх застосування та ключові властивості.

➡️Степінь із раціональним показником — це запис виду aᵐ/ⁿ, де a > 0, m — ціле число, n — натуральне число. За означенням,

aᵐ/ⁿ = ⁿ√aᵐ

⏩Приклади: 5¹/³ = ∛5¹; (0,4)⁻⁵/⁶ = ⁶√(0,4)⁻⁵.

Для того щоб обчислювати деякі степені з раціональним показником, достатньо згадати властивість (aᵐ)ⁿ = aᵐⁿ.
⏩Приклади:
🟠9¹/² = (3²)¹/² = 3² ˣ ¹/² = 3¹ = 3;
🟠64²/³ = (4³)²/³ = 4³ ˣ ²/³ = 4² = 16;
🟠0,0016⁻³/⁴ = (0,2⁴)⁻³/⁴ = 0,2⁴ ˣ ⁽⁻³/⁴⁾ = 0,2⁻³ = (1/5)⁻³ = 5³ = 125.

❓ Чому aᵐ/ⁿ існує, лише коли a > 0?
(Для просунутих користувачів)
Наведемо приклад. Нехай потрібно обрахувати вираз (–8)¹/³. Можемо розглянути цей вираз з двох боків:
1️⃣За формулою:
(–8)¹/³ = ∛(–8)¹ = –2, бо (–2)³ = –8;
2️⃣Використовуючи властивості степенів:
(–8)¹/³ = (–8)²/⁶ = 64¹/⁶ = (2⁶)¹/⁶ = 2.
Отже, з двох боків, не порушуючи законів математики, ми отримали дві відповіді: –2 і 2. Отже, цей вираз не дає конкретного результату, і ми не можемо його рахувати.

➡️Властивості степеня з раціональним показником:

🟠aᵐ ⋅ aⁿ = aᵐ ⁺ ⁿ

⏩Приклад: x⁰⋅⁷ ⋅ x⁻¹⋅³ = x⁰⋅⁷⁺⁽⁻¹⋅³⁾ = x⁰⋅⁷⁻¹⋅³ = x⁻⁰⋅⁶.

🟠aᵐ : aⁿ = aᵐ ⁻ ⁿ

⏩Приклад: x²/⁵ : x⁵/⁶ = x²/⁵⁻⁵/⁶ = x¹²/³⁰⁻²⁵/³⁰ = x⁻¹³/³⁰.

🟠(aᵐ)ⁿ = aᵐ ⋅ ⁿ

⏩Приклад: (x⁴/⁵)⁵/⁸ = x⁴/⁵ * ⁵/⁸ = x¹/²

🟠(ab)ⁿ = aⁿ ⋅ bⁿ

⏩Приклад: (xy)¹/³ = x¹/³ ⋅ y¹/³

🟠(a/b)ⁿ = aⁿ/bⁿ

⏩Приклад: (x : y)³/⁴ = x³/⁴ : y³/⁴

🇺🇦@abitmath 🇺🇦@abitblog