⚡️ СТЕПІНЬ ІЗ ЦІЛИМ ПОКАЗНИКОМ (частина 1)

Окрім степенів із натуральним показником існують й інші показники, зокрема 0 і ціле від'ємне число. Як з ними працювати та як рахувати, ви дізнаєтеся в цьому пості.

➡️Для будь-якого числа a, яке не дорівнює нулю, має місце формула:

a⁰ = 1

⏩Приклади:
🟠5⁰ = 1;
🟠(–17)⁰ = 1;
🟠π⁰ = 1.

❓ Чому a⁰ = 1?
Якщо треба знайти частку aⁿ : aⁿ, то маємо 2 варіанти розгляду цієї ситуації:
1) aⁿ : aⁿ = 1 (частка однакових чисел дорівнює 1);
2) aⁿ : aⁿ = aⁿ⁻ⁿ = a⁰ (за властивістю степенів);
Отже, a⁰ = 1.

➡️Що таке степінь з від'ємним показником?
Якщо маємо число a, відмінне від нуля, і натуральне число n, то степінь a⁻ⁿ визначається так:

a⁻ⁿ = 1/aⁿ

⏩Приклади:
🟠2⁻³ = 1/2³ = 1/8;
🟠(–4)⁻² = 1/(–4)² = 1/16;
🟠(2/3)⁻⁴ = 1/(2/3)⁴ = 1/(16/81) = 1 : 16/81 = 1 ⋅ 81/16 = 81/16 = 5 цілих 1/16;
🟠(2 цілих 4/5)⁻¹ = 1/(2 цілих 4/5)¹ = 1 : 2 цілих 4/5 = 1 : 14/5 = 1 ⋅ 5/14 = 5/14;
🟠(0,7)⁻² = 1/(0,7)² = 1/0,49 = 100/49 = 2 цілих 2/49.

❓ Чому a⁻ⁿ = 1/aⁿ?

Це правило випливає з властивостей степенів. Якщо ми помножимо aⁿ на a⁻ⁿ, то за правилом множення степенів з однаковими основами отримаємо:

aⁿ ⋅ a⁻ⁿ = aⁿ⁺⁽⁻ⁿ⁾ = a⁰ = 1

Звідси випливає, що a⁻ⁿ є оберненим числом до aⁿ, тобто 1/aⁿ.

Пригадайте, що таке взаємно обернені числа.

🇺🇦@abitmath 🇺🇦@abitblog

⚡️ СТЕПІНЬ ІЗ ЦІЛИМ ПОКАЗНИКОМ (частина 2)

Тут ми розглянемо властивості степенів, які можна використовувати у степенях із цілим показником. Загалом усі властивості степенів із натуральним показником працюють і в степенях із цілим показником.

➡️Властивості степеня з цілим показником:

🟠aᵐ ⋅ aⁿ = aᵐ ⁺ ⁿ

⏩Приклад: x⁻³ ⋅ x⁻⁵ = x⁻³⁺⁽⁻⁵⁾ = x⁻³⁻⁵ = x⁻⁸

🟠aᵐ : aⁿ = aᵐ ⁻ ⁿ

⏩Приклад: x⁸ : x⁻² = x⁸⁻⁽⁻²⁾ = x⁸⁺² = x¹⁰

🟠(aᵐ)ⁿ = aᵐ ⋅ ⁿ

⏩Приклад: (x³)⁻⁴ = x³⋅⁽⁻⁴⁾ = x⁻¹²

🟠(ab)ⁿ = aⁿ ⋅ bⁿ

⏩Приклад: (xy)⁻⁴ = x⁻⁴ ⋅ y⁻⁴

🟠(a/b)ⁿ = aⁿ/bⁿ

⏩Приклад: (x/y)⁻⁵ = x⁻⁵/y⁻⁵


➡️Приклади розв'язання завдань:

1️⃣Спростіть вираз a⁻¹² ⋅ a⁻⁴ : (a⁻²)⁴.
Розв'язання. a⁻¹² ⋅ a⁻⁴ : (a⁻²)⁴ = a⁻¹²⁻⁴ : a⁻²⋅⁴ = a⁻¹⁶/a⁻⁸ = a⁻¹⁶⁻⁽⁻⁸⁾ = a⁻¹⁶⁺⁸ = a⁻⁸.
Відповідь: a⁻⁸.

2️⃣Обчисліть (5⁻⁵)⁻⁴ : (5⁻⁷)⁻³.
Розв'язання. (5⁻⁵)⁻⁴ : (5⁻⁷)⁻³ = 5⁻⁵⋅⁽⁻⁴⁾ : 5⁻⁷⋅⁽⁻³⁾ = 5²⁰ : 5²¹ = 5²⁰⁻²¹ = 5⁻¹ = 1/5 = 0,2.
Відповідь: 0,2.

3️⃣Спростіть вираз (3m⁻⁸n⁻³)/(27m⁴n⁻⁹).
Розв'язання. Окремо виконаємо дію над кожним відповідним елементом:
1) 3/27 = 1/9;
2) m⁻⁸/m⁴ = m⁻⁸⁻⁴ = m⁻¹²;
3) n⁻³/n⁻⁹ = n⁻³⁻⁽⁻⁹⁾ = n⁻³⁺⁹ = n⁶.
Отже, маємо: 1/9 ⋅ m⁻¹² ⋅ n⁶ = m⁻¹²n⁶/9.
Відповідь: m⁻¹²n⁶/9.

4️⃣Обчисліть 10⁻¹⁴ / (25⁻⁶ ⋅ 4⁻⁸).
Розв'язання. Виконаємо по діях:
1) Опрацюємо чисельник:
10⁻¹⁴ = (5 ⋅ 2)⁻¹⁴ = 5⁻¹⁴ ⋅ 2⁻¹⁴.
2) Опрацюємо знаменник:
25⁻⁶ ⋅ 4⁻⁸ = (5²)⁻⁶ ⋅ (2²)⁻⁸ = 5⁻¹² ⋅ 2⁻¹⁶.
3) Маємо дріб:
5⁻¹⁴ ⋅ 2⁻¹⁴ / (5⁻¹² ⋅ 2⁻¹⁶).
4) Виконаємо віднімання степенів 5:
5⁻¹⁴⁻⁽⁻¹²⁾ = 5⁻¹⁴⁺¹² = 5⁻² = 1/25.
5) Виконаємо віднімання степенів 2:
2⁻¹⁴⁻⁽⁻¹⁶⁾ = 2⁻¹⁴⁺¹⁶ = 2² = 4.
6) Отримаємо відповідь:
1/25 ⋅ 4 = 4/25 = 0,16.

Відповідь: 0,16.

🇺🇦@abitmath 🇺🇦@abitblog