⚡️ СТЕПІНЬ ІЗ НАТУРАЛЬНИМ ПОКАЗНИКОМ (частина 2)

Тут буде наведено основні властивості степенів із натуральним показником та їх застосування у різних завданнях.

➡️Властивості степеня з натуральним показником:

🟠aᵐ ⋅ aⁿ = aᵐ ⁺ ⁿ

⏩Приклад: x³ ⋅ x⁵ = x³⁺⁵ = x⁸

🟠aᵐ : aⁿ = aᵐ ⁻ ⁿ

⏩Приклад: x⁸ : x² = x⁸⁻² = x⁶

🟠(aᵐ)ⁿ = aᵐ ⋅ ⁿ

⏩Приклад: (x³)⁴ = x³⋅⁴ = x¹²

🟠(ab)ⁿ = aⁿ ⋅ bⁿ

⏩Приклад: (xy)⁴ = x⁴ ⋅ y⁴

🟠(a/b)ⁿ = aⁿ/bⁿ

⏩Приклад: (x/y)⁵ = x⁵/y⁵


➡️Приклади розв'язання завдань:

1️⃣Спростіть вираз a⁹ ⋅ a⁷ / (a⁴)².
Розв'язання. a⁹ ⋅ a⁷ / (a⁴)² = a⁹⁺⁷/a⁴⋅² = a¹⁶/a⁸ = a¹⁶⁻⁸ = a⁸.
Відповідь: a⁸.

2️⃣Обчисліть 5¹² ⋅ (0,2)¹⁰.
Розв'язання. 5¹² ⋅ (0,2)¹⁰ = 5¹² ⋅ (1/5)¹⁰ = 5¹² ⋅ 1¹⁰/5¹⁰ = 5¹² ⋅ 1/5¹⁰ = 5¹²⁻¹⁰ = 5² = 25.
Відповідь: 25.

3️⃣Обчисліть 9⁷ ⋅ 4⁸ / 6¹⁵.
Розв'язання. 9⁷ ⋅ 4⁸ / 6¹⁵ = (3²)⁷ ⋅ (2²)⁸ / (3 ⋅ 2)¹⁵ = 3¹⁴ ⋅ 2¹⁶ / (3¹⁵ ⋅ 2¹⁵) = 2/3
Відповідь: 2/3.

4️⃣Порівняйте:
1) 9⁷ і 27⁴; 2) 7¹⁰ і 4¹⁵;
Розв'язання.
1) 9⁷ = (3²)⁷ = 3¹⁴, а 27⁴ = (3³)⁴ = 3¹². Якщо 3¹⁴ > 3¹², то 9⁷ > 27⁴.
2) 7¹⁰ = 7²⋅⁵ = (7²)⁵ = 49⁵, а 4¹⁵ = 4³⋅⁵ = (4³)⁵ = 64⁵. Якщо 49⁵ < 64⁵, то 7¹⁰ < 4¹⁵.
Відповідь: 1) 9⁷ > 27⁴; 2) 7¹⁰ < 4¹⁵.

5️⃣Знайдіть останню цифру числа 3²⁰²⁴.
Розв'язання. Число 3 в різних степенях дає такі результати:
🟠3¹ = 3;
🟠3² = 9;
🟠3³ = 27 (остання цифра 7);
🟠3⁴ = 81 (остання цифра 1);
🟠3⁵ = 243 (остання цифра 3);
🟠3⁶ = 729 (остання цифра 9);
🟠3⁷ = 2187 (остання цифра 7);
🟠3⁸ = 6561 (остання цифра 1);
🔴
Бачимо, що число 3 в степенях має 4 варіанти останніх цифр — 3, 9, 7 або 1. І повторюються вони через кожні 4 показники.

Оскільки показник степеня в нашому випадку 2024, поділимо його на 4: 2024 ÷ 4 = 506. Отримали остачу 0. Тоді остання цифра числа 3²⁰²⁴ буде такою ж, як і в числа 3⁴, тобто 1.

Відповідь: 1.

🇺🇦@abitmath 🇺🇦@abitblog

⚡️ ВАЖЛИВО! Скільки предметів буде на НМТ у 2025 році?

У 2025 році вступники будуть складати 4 предмети на НМТ. Критерії до проведення іспиту змінюватися не будуть.

"Наступного року ми не будемо змінювати критерії НМТ – 4 предмети, так як і було цього року. Відповідно, якщо захоче вступник ще раз здати НМТ, то зможе вступити з кращими балам – чи цьогорічними чи наступнорічними", – сказав чиновник.

Нагадаємо, майже 10 тисяч випускників 2024 року не змогли скласти НМТ і втратили можливість вступити цьогоріч до закладів вищої освіти.

🇺🇦 @abitblog 🇺🇦@studinfoua

❗️Оприлюднені два варіанти НМТ 2024 з математики для проходження онлайн

На платформі zno.osvita.ua представлено два варіанти тестів з математики, які цьогоріч були запропоновані учасникам НМТ під час основної сесії.

Обидва варіанти оприлюднені Українським центром оцінювання якості освіти у звіті про результати національного мультипредметного тесту в 2024 році.

Виконання таких тестів допоможе майбутнім абітурієнтам оцінити власний рівень підготовки з математики, яка традиційно входить до переліку предметів, обов’язкових для складання майбутніми вступниками до закладів вищої освіти.

Після виконання тесту учасник отримає правильні відповіді на всі завдання та розрахований результат у тестових та рейтингових балах.

🇺🇦@abitmath 🇺🇦@abitblog

⚡️ СТЕПІНЬ ІЗ ЦІЛИМ ПОКАЗНИКОМ (частина 1)

Окрім степенів із натуральним показником існують й інші показники, зокрема 0 і ціле від'ємне число. Як з ними працювати та як рахувати, ви дізнаєтеся в цьому пості.

➡️Для будь-якого числа a, яке не дорівнює нулю, має місце формула:

a⁰ = 1

⏩Приклади:
🟠5⁰ = 1;
🟠(–17)⁰ = 1;
🟠π⁰ = 1.

❓ Чому a⁰ = 1?
Якщо треба знайти частку aⁿ : aⁿ, то маємо 2 варіанти розгляду цієї ситуації:
1) aⁿ : aⁿ = 1 (частка однакових чисел дорівнює 1);
2) aⁿ : aⁿ = aⁿ⁻ⁿ = a⁰ (за властивістю степенів);
Отже, a⁰ = 1.

➡️Що таке степінь з від'ємним показником?
Якщо маємо число a, відмінне від нуля, і натуральне число n, то степінь a⁻ⁿ визначається так:

a⁻ⁿ = 1/aⁿ

⏩Приклади:
🟠2⁻³ = 1/2³ = 1/8;
🟠(–4)⁻² = 1/(–4)² = 1/16;
🟠(2/3)⁻⁴ = 1/(2/3)⁴ = 1/(16/81) = 1 : 16/81 = 1 ⋅ 81/16 = 81/16 = 5 цілих 1/16;
🟠(2 цілих 4/5)⁻¹ = 1/(2 цілих 4/5)¹ = 1 : 2 цілих 4/5 = 1 : 14/5 = 1 ⋅ 5/14 = 5/14;
🟠(0,7)⁻² = 1/(0,7)² = 1/0,49 = 100/49 = 2 цілих 2/49.

❓ Чому a⁻ⁿ = 1/aⁿ?

Це правило випливає з властивостей степенів. Якщо ми помножимо aⁿ на a⁻ⁿ, то за правилом множення степенів з однаковими основами отримаємо:

aⁿ ⋅ a⁻ⁿ = aⁿ⁺⁽⁻ⁿ⁾ = a⁰ = 1

Звідси випливає, що a⁻ⁿ є оберненим числом до aⁿ, тобто 1/aⁿ.

Пригадайте, що таке взаємно обернені числа.

🇺🇦@abitmath 🇺🇦@abitblog