⚡️ СТЕПІНЬ ІЗ НАТУРАЛЬНИМ ПОКАЗНИКОМ (частина 1)

Степінь — одне з найважливіших понять у математиці. За допомогою нього описують багато процесів і ситуацій. Тут розглянемо, як рахувати степені.

➡️Степінь — це коротка форма запису багаторазового множення одного й того ж числа на себе.
⏩Приклад: 2³ = 2 ⋅ 2 ⋅ 2 = 8. Тут 2 — це основа степеня, а 3 — пока́зник степеня.

➡️Степінь числа a із натуральним показником n (n > 1) — добуток n множників, кожний з яких дорівнює a:

aⁿ = a ⋅ a ⋅ ... ⋅ a (n разів)

⏩Приклади:
🟠(–3)² = (–3) ⋅ (–3) = 9;
🟠(–4)³ = (–4) ⋅ (–4) ⋅ (–4) = –64;
🟠(1/2)⁵ = (1/2) ⋅ (1/2) ⋅ (1/2) ⋅ (1/2) ⋅ (1/2) = 1/32;
🟠(1 ціла 2/3)² = (1 ціла 2/3) ⋅ (1 ціла 2/3) = (5/3) ⋅ (5/3) = 25/9 = 2 цілих 7/9;
🟠(0,3)³ = (0,3) ⋅ (0,3) ⋅ (0,3) = 0,027.

❓ Чому ми використовуємо степені?

Зручність запису: замість довгих добутків ми пишемо короткі вирази.
Спрощення обчислень: існують правила для роботи зі степенями, які полегшують обчислення.

➡️Загальні правила:
🟠запис a² читають «a у квадраті»;
🟠запис a³ читають «a в кубі»;
🟠a¹ = a;
🟠якщо піднести від'ємне число до парного степеня, отримаємо додатне число;
🟠якщо піднести від'ємне число до непарного степеня, отримаємо від'ємне число.

🇺🇦@abitmath 🇺🇦@abitblog

⚡️ СТЕПІНЬ ІЗ НАТУРАЛЬНИМ ПОКАЗНИКОМ (частина 2)

Тут буде наведено основні властивості степенів із натуральним показником та їх застосування у різних завданнях.

➡️Властивості степеня з натуральним показником:

🟠aᵐ ⋅ aⁿ = aᵐ ⁺ ⁿ

⏩Приклад: x³ ⋅ x⁵ = x³⁺⁵ = x⁸

🟠aᵐ : aⁿ = aᵐ ⁻ ⁿ

⏩Приклад: x⁸ : x² = x⁸⁻² = x⁶

🟠(aᵐ)ⁿ = aᵐ ⋅ ⁿ

⏩Приклад: (x³)⁴ = x³⋅⁴ = x¹²

🟠(ab)ⁿ = aⁿ ⋅ bⁿ

⏩Приклад: (xy)⁴ = x⁴ ⋅ y⁴

🟠(a/b)ⁿ = aⁿ/bⁿ

⏩Приклад: (x/y)⁵ = x⁵/y⁵


➡️Приклади розв'язання завдань:

1️⃣Спростіть вираз a⁹ ⋅ a⁷ / (a⁴)².
Розв'язання. a⁹ ⋅ a⁷ / (a⁴)² = a⁹⁺⁷/a⁴⋅² = a¹⁶/a⁸ = a¹⁶⁻⁸ = a⁸.
Відповідь: a⁸.

2️⃣Обчисліть 5¹² ⋅ (0,2)¹⁰.
Розв'язання. 5¹² ⋅ (0,2)¹⁰ = 5¹² ⋅ (1/5)¹⁰ = 5¹² ⋅ 1¹⁰/5¹⁰ = 5¹² ⋅ 1/5¹⁰ = 5¹²⁻¹⁰ = 5² = 25.
Відповідь: 25.

3️⃣Обчисліть 9⁷ ⋅ 4⁸ / 6¹⁵.
Розв'язання. 9⁷ ⋅ 4⁸ / 6¹⁵ = (3²)⁷ ⋅ (2²)⁸ / (3 ⋅ 2)¹⁵ = 3¹⁴ ⋅ 2¹⁶ / (3¹⁵ ⋅ 2¹⁵) = 2/3
Відповідь: 2/3.

4️⃣Порівняйте:
1) 9⁷ і 27⁴; 2) 7¹⁰ і 4¹⁵;
Розв'язання.
1) 9⁷ = (3²)⁷ = 3¹⁴, а 27⁴ = (3³)⁴ = 3¹². Якщо 3¹⁴ > 3¹², то 9⁷ > 27⁴.
2) 7¹⁰ = 7²⋅⁵ = (7²)⁵ = 49⁵, а 4¹⁵ = 4³⋅⁵ = (4³)⁵ = 64⁵. Якщо 49⁵ < 64⁵, то 7¹⁰ < 4¹⁵.
Відповідь: 1) 9⁷ > 27⁴; 2) 7¹⁰ < 4¹⁵.

5️⃣Знайдіть останню цифру числа 3²⁰²⁴.
Розв'язання. Число 3 в різних степенях дає такі результати:
🟠3¹ = 3;
🟠3² = 9;
🟠3³ = 27 (остання цифра 7);
🟠3⁴ = 81 (остання цифра 1);
🟠3⁵ = 243 (остання цифра 3);
🟠3⁶ = 729 (остання цифра 9);
🟠3⁷ = 2187 (остання цифра 7);
🟠3⁸ = 6561 (остання цифра 1);
🔴
Бачимо, що число 3 в степенях має 4 варіанти останніх цифр — 3, 9, 7 або 1. І повторюються вони через кожні 4 показники.

Оскільки показник степеня в нашому випадку 2024, поділимо його на 4: 2024 ÷ 4 = 506. Отримали остачу 0. Тоді остання цифра числа 3²⁰²⁴ буде такою ж, як і в числа 3⁴, тобто 1.

Відповідь: 1.

🇺🇦@abitmath 🇺🇦@abitblog