🌟 Лінійні нерівності з параметрами (частина 3)

У цій частині розберемо лінійні нерівності з параметрами рівня НМТ. Вони потребують уважності і розуміння всіх основних аспектів теми нерівностей. Для зручності і наочності використовуйте скриншоти розв'язання завдань.

Приклад 1. За якого значення a розв'язком нерівності (ax – 4)/4 < (a + 3x)/3 є проміжок (1; +∞)?
Розв'язання. Виконаємо наступні дії:
① Спростимо нерівність:
3(ax – 4) < 4(a + 3x);
3ax – 12 < 4a + 12x;
3ax – 12x < 4a + 12;
(3a – 12)x < 4a + 12.
② Оскільки розв'язком нерівності є проміжок (1; +∞), то це означає, що треба змінити знак «<» на «>». Для цього потрібно, щоб 3a – 12 < 0, тобто a < 4.
Отже, якщо a < 4, тоді x > (4a + 12)/(3a – 12), або x∈((4a + 12)/(3a – 12); +∞).
③ За умовою, x∈(1; +∞). Тоді (4a + 12)/(3a – 12) = 1. Розв'яжемо це рівняння за допомогою основної властивості пропорції:
4a + 12 = 3a – 12;
a = –24.
Відповідь: a = –24.

Приклад 2. Розв'яжіть нерівність (a²x – a² – 6a)/9 ≥ x + 1 залежно від значень параметра a.
Розв'язання. Виконаємо наступні дії:
① Спростимо нерівність:
a²x – a² – 6a ≥ 9(x + 1);
a²x – a² – 6a ≥ 9x + 9;
a²x – 9x ≥ a² + 6a + 9;
(a² – 9)x ≥ (a + 3)²;
② Якщо a² – 9 = 0, a = ±3, то:
1) a = –3:
((–3)² – 9)x ≥ (–3 + 3)²;
0 ≥ 0 — правильна нерівність, отже, x∈(–∞; +∞);
2) a = 3:
(3² – 9)x ≥ (3 + 3)²;
0 ≥ 81 — неправильна нерівність, отже, x∈∅;
③ Якщо a² – 9 > 0, тобто a∈(–∞; –3)∪(3; +∞), то знак нерівності не зміниться (див. скриншот):
x ≥ (a + 3)²/(a² – 9);
x ≥ (a + 3)/(a – 3).
④ Якщо a² – 9 < 0, тобто a∈(–3; 3), то знак нерівності зміниться на протилежний (див. скриншот):
x ≤ (a + 3)²/(a² – 9);
x ≤ (a + 3)/(a – 3).
Відповідь:
якщо a∈(–∞; –3)∪(3; +∞), то x∈[(a + 3)/(a – 3); +∞)
якщо a = –3, то x∈(–∞; +∞);
якщо a∈(–3; 3), то x∈(–∞; (a + 3)/(a – 3)];
якщо a = 3, то x∈∅.

💬 Задавайте свої питання в коментарях!

🇺🇦@abitmath 🇺🇦@abitblog

❗️Про чат

Друзі, нагадую вам, що ви можете приєднатися до нашого чату, де ви можете поставити будь-які запитання.

👉 Приєднатися до чату

🇺🇦@abitmath 🇺🇦@abitblog