🌟 Лінійні нерівності з параметром (частина 2)

Перед тим як дійти до завдань з параметром розглянемо специфічні ситуації з лінійними нерівностями. Спробуйте самостійно розв'язати наступні три приклади звичайних нерівностей:

➊ 2x + 3 > 2(x – 1);
2x + 3 > 2x – 2;
2x – 2x > –2 – 3;
0 > –5 — правильна нерівність;
Відповідь: x∈(–∞; +∞).

➋ 3(x + 2) < 3x + 2;
3x + 6 < 3x + 2;
3x – 3x < 2 – 6;
0 < –4 — неправильна нерівність;
Відповідь: x∈∅.

➌ 4x – 6 ≥ 7x – 3(x + 2);
4x – 6 ≥ 7x – 3x – 6;
4x – 6 ≥ 4x – 6;
0 ≥ 0 — правильна нерівність, бо 0 може дорівнювати 0;
Відповідь: x∈(–∞; +∞).

Ось за такою логікою слід розв'язувати лінійні нерівності з параметром. Розглянемо один приклад загального розв'язання нерівності з параметром.

Приклад 1. Розв'яжіть нерівність (a + 3)x > a² – 9 залежно від значень параметра a.
Розв'язання. Останнім кроком розв'язання нерівності є прибирання множника (a + 3), але для цього потрібно розглянути наступні ситуації:
① Якщо a + 3 > 0, a > –3, то можна виконати ділення, при цьому знак нерівності не зміниться:
x > (a² – 9)/(a + 3);
x > a – 3;
x∈(a – 3; +∞).
② Якщо a + 3 = 0, a = –3, то:
(–3 + 3)x > (–3)² – 9;
0 > 0 — неправильна нерівність;
x∈∅.
③ Якщо a + 3 < 0, a < –3, то можна виконати ділення, при цьому знак нерівності зміниться на протилежний (бо вираз (a + 3) є від'ємним):
x < (a² – 9)/(a + 3);
x < a – 3;
x∈(–∞; a – 3).
Відповідь: якщо a∈(–∞; –3), то x∈(–∞; a – 3); якщо a = 0, то x∈∅; якщо a∈(–3; +∞), то x∈(a – 3; +∞).

Приклад 2. За якого значення a нерівність ax – 4 ≥ x + a не має розв'язків?
Розв'язання. Виконаємо наступні дії:
① ax – x ≥ a + 4;
(a – 1)x ≥ a + 4;
② Якщо a > 1, то x ≥ (a + 4)/(a – 1).
③ Якщо a = 1, то:
(1 – 1)x ≥ 1 + 4;
0 ≥ 5 — неправильна нерівність
x∈∅
④ Якщо a < 1, то x ≤ (a + 4)/(a – 1).
Відповідь: a = 1.

Приклад 3. За якого значення a розв'язком нерівності a(x – a) ≤ 2x – 4 є будь-яке число?
Розв'язання. Виконаємо наступні дії:
① ax – a² ≤ 2x – 4;
ax – 2x ≤ a² – 4;
(a – 2)x ≤ a² – 4;
② Якщо a > 2, то x ≤ (a² – 4)/(a – 2); x ≤ a + 2.
③ Якщо a = 2, то:
(2 – 2)x ≤ 2² – 4;
0 ≤ 0 — правильна нерівність
x∈(–∞; +∞).
④ Якщо a < 2, то x ≥ (a² – 4)/(a – 2); x ≥ a + 2.
Відповідь: a = 2.

💬 Задавайте свої питання в коментарях!

🇺🇦@abitmath 🇺🇦@abitblog

📚 Додаткові завдання

Для всіх, хто хоче ще попрактикуватися із лінійними нерівностями з параметрами, надаю ще завдання. У кінці посту є відповіді. Для зручності використовуйте скриншоти.

Завдання 1. За якого значення a нерівність 2x + 3 > (a² – 2ax)/3 не має розв’язків?

Завдання 2. За якого значення параметра a розв'язком нерівності (3ax – 1)/3 ≤ (a + x)/2 є будь-яке число?

Завдання 3.* Задано нерівність a²x + 1 ≤ a(a – x), де x — змінна, a — стала.
1. Визначте значення a, за якого нерівність не має розв'язків.
2. Визначте значення a, за якого розв'язком нерівності є будь-яке число.
3. Розв’яжіть нерівність залежно від значень a.

Відповіді:
1. a = –3.
2. a = 0,5.
3.1. a = 0.
3.2. a = –1.
3.3. Якщо a∈(–∞; –1)∪(0; +∞), то x∈(–∞; (a–1)/a];
Якщо a = –1, то x∈(–∞; +∞);
Якщо a∈(–1; 0), то x∈[(a–1)/a; +∞);
Якщо a = 0, то x∈∅.

💬 Задавайте свої питання в коментарях!

🇺🇦@abitmath 🇺🇦@abitblog

🔥 Про параметри

👋 Привіт! Сьогодні планую завершити лінійні нерівності з параметрами.

Чи маєте складнощі з попередніми параметрами?
😎 — Ні, не маю складнощів.
🤔 — Так, є складнощі.

🇺🇦@abitmath 🇺🇦@abitblog

⚡️ Наш план на сьогодні

Ураховуючи ваші побажання, розберемо сьогодні останню частину лінійних нерівностей з параметрами, порозв'язуємо задачі на цю тему та трохи порозминаємось "Математичними хвилинками" 🤗

🇺🇦@abitmath 🇺🇦@abitblog

🌟 Лінійні нерівності з параметрами (частина 3)

У цій частині розберемо лінійні нерівності з параметрами рівня НМТ. Вони потребують уважності і розуміння всіх основних аспектів теми нерівностей. Для зручності і наочності використовуйте скриншоти розв'язання завдань.

Приклад 1. За якого значення a розв'язком нерівності (ax – 4)/4 < (a + 3x)/3 є проміжок (1; +∞)?
Розв'язання. Виконаємо наступні дії:
① Спростимо нерівність:
3(ax – 4) < 4(a + 3x);
3ax – 12 < 4a + 12x;
3ax – 12x < 4a + 12;
(3a – 12)x < 4a + 12.
② Оскільки розв'язком нерівності є проміжок (1; +∞), то це означає, що треба змінити знак «<» на «>». Для цього потрібно, щоб 3a – 12 < 0, тобто a < 4.
Отже, якщо a < 4, тоді x > (4a + 12)/(3a – 12), або x∈((4a + 12)/(3a – 12); +∞).
③ За умовою, x∈(1; +∞). Тоді (4a + 12)/(3a – 12) = 1. Розв'яжемо це рівняння за допомогою основної властивості пропорції:
4a + 12 = 3a – 12;
a = –24.
Відповідь: a = –24.

Приклад 2. Розв'яжіть нерівність (a²x – a² – 6a)/9 ≥ x + 1 залежно від значень параметра a.
Розв'язання. Виконаємо наступні дії:
① Спростимо нерівність:
a²x – a² – 6a ≥ 9(x + 1);
a²x – a² – 6a ≥ 9x + 9;
a²x – 9x ≥ a² + 6a + 9;
(a² – 9)x ≥ (a + 3)²;
② Якщо a² – 9 = 0, a = ±3, то:
1) a = –3:
((–3)² – 9)x ≥ (–3 + 3)²;
0 ≥ 0 — правильна нерівність, отже, x∈(–∞; +∞);
2) a = 3:
(3² – 9)x ≥ (3 + 3)²;
0 ≥ 81 — неправильна нерівність, отже, x∈∅;
③ Якщо a² – 9 > 0, тобто a∈(–∞; –3)∪(3; +∞), то знак нерівності не зміниться (див. скриншот):
x ≥ (a + 3)²/(a² – 9);
x ≥ (a + 3)/(a – 3).
④ Якщо a² – 9 < 0, тобто a∈(–3; 3), то знак нерівності зміниться на протилежний (див. скриншот):
x ≤ (a + 3)²/(a² – 9);
x ≤ (a + 3)/(a – 3).
Відповідь:
якщо a∈(–∞; –3)∪(3; +∞), то x∈[(a + 3)/(a – 3); +∞)
якщо a = –3, то x∈(–∞; +∞);
якщо a∈(–3; 3), то x∈(–∞; (a + 3)/(a – 3)];
якщо a = 3, то x∈∅.

💬 Задавайте свої питання в коментарях!

🇺🇦@abitmath 🇺🇦@abitblog