❓Відповіді на ваші питання

👋 Вітаю всіх!

🥳 Ми завершили розглядати системи лінійних рівнянь з параметрами, і можемо рухатись далі.

💬 Якщо залишились будь-які запитання відносно цієї теми, обов'язково задавайте їх у коментарях. У цій темі важливо рухатися послідовно, від одної теми до іншої.

🧐 Наступною частиною завдань з параметрами є лінійні нерівності з параметром. Ця частина трохи складніша, ніж попередні дві, тому слід бути дуже уважним.

🇺🇦@abitmath 🇺🇦@abitblog

⭐️ Лінійні нерівності з параметром (частина 1)

Наступною складовою вивчення завдань з параметрами є лінійні нерівності з параметром. Перш ніж приступати до цих завдань бажано вміти розв'язувати всі звичайні лінійні нерівності без параметрів. Тому нагадаю всі основні моменти лінійних нерівностей.

1. Лінійні нерівності зазвичай розв'язуються так само, як і лінійні рівняння.
2. При «перенесенні» чисел або змінних нерівності з однієї частини на іншу знак нерівності не змінюється.
Приклад:
3x – 5 > x + 3;
3x – x > 3 + 5;
2x > 8.
3. При множенні або діленні обидвох частин нерівності на додатне число знак нерівності не змінюється.
Приклад:
x/2 < 4 | ∙ 2
x/2 ∙ 2 < 4 ∙ 2;
x < 8.
4. При множенні або діленні обидвох частин нерівності на від'ємне число знак нерівності змінюється на протилежний.
Приклад:
–3x ≥ 6 | : (–3)
–3x/(–3) ≤ 6/(–3);
x ≤ –2.
5. При зміні місцями двох частин нерівності знак нерівності змінюється на протилежний.
Приклад:
4 ≤ x;
x ≥ 4.
6. Відповідь у нерівностях зазвичай треба вказувати у вигляді проміжків. Пам'ятайте:
— якщо є знаки «<» або «>», то на графічному розв'язку число буде позначатися «○», а у відповіді будуть використовуватися круглі дужки;
— якщо є знаки «≤» або «≥», то на графічному розв'язку число буде позначатися «●», а у відповіді будуть використовуватися квадратні дужки;
— біля знаків ∞ (нескінченність) завжди використовуються круглі дужки.
Приклади:
1) x > 2, тоді x∈(2; +∞);
2) x ≥ 2, тоді x∈[2; +∞);
3) x < 2, тоді x∈(–∞; 2);
4) x ≤ 2, тоді x∈(–∞; 2].

💬 Задавайте свої питання в коментарях!

🇺🇦@abitmath 🇺🇦@abitblog

🌟 Лінійні нерівності з параметром (частина 2)

Перед тим як дійти до завдань з параметром розглянемо специфічні ситуації з лінійними нерівностями. Спробуйте самостійно розв'язати наступні три приклади звичайних нерівностей:

➊ 2x + 3 > 2(x – 1);
2x + 3 > 2x – 2;
2x – 2x > –2 – 3;
0 > –5 — правильна нерівність;
Відповідь: x∈(–∞; +∞).

➋ 3(x + 2) < 3x + 2;
3x + 6 < 3x + 2;
3x – 3x < 2 – 6;
0 < –4 — неправильна нерівність;
Відповідь: x∈∅.

➌ 4x – 6 ≥ 7x – 3(x + 2);
4x – 6 ≥ 7x – 3x – 6;
4x – 6 ≥ 4x – 6;
0 ≥ 0 — правильна нерівність, бо 0 може дорівнювати 0;
Відповідь: x∈(–∞; +∞).

Ось за такою логікою слід розв'язувати лінійні нерівності з параметром. Розглянемо один приклад загального розв'язання нерівності з параметром.

Приклад 1. Розв'яжіть нерівність (a + 3)x > a² – 9 залежно від значень параметра a.
Розв'язання. Останнім кроком розв'язання нерівності є прибирання множника (a + 3), але для цього потрібно розглянути наступні ситуації:
① Якщо a + 3 > 0, a > –3, то можна виконати ділення, при цьому знак нерівності не зміниться:
x > (a² – 9)/(a + 3);
x > a – 3;
x∈(a – 3; +∞).
② Якщо a + 3 = 0, a = –3, то:
(–3 + 3)x > (–3)² – 9;
0 > 0 — неправильна нерівність;
x∈∅.
③ Якщо a + 3 < 0, a < –3, то можна виконати ділення, при цьому знак нерівності зміниться на протилежний (бо вираз (a + 3) є від'ємним):
x < (a² – 9)/(a + 3);
x < a – 3;
x∈(–∞; a – 3).
Відповідь: якщо a∈(–∞; –3), то x∈(–∞; a – 3); якщо a = 0, то x∈∅; якщо a∈(–3; +∞), то x∈(a – 3; +∞).

Приклад 2. За якого значення a нерівність ax – 4 ≥ x + a не має розв'язків?
Розв'язання. Виконаємо наступні дії:
① ax – x ≥ a + 4;
(a – 1)x ≥ a + 4;
② Якщо a > 1, то x ≥ (a + 4)/(a – 1).
③ Якщо a = 1, то:
(1 – 1)x ≥ 1 + 4;
0 ≥ 5 — неправильна нерівність
x∈∅
④ Якщо a < 1, то x ≤ (a + 4)/(a – 1).
Відповідь: a = 1.

Приклад 3. За якого значення a розв'язком нерівності a(x – a) ≤ 2x – 4 є будь-яке число?
Розв'язання. Виконаємо наступні дії:
① ax – a² ≤ 2x – 4;
ax – 2x ≤ a² – 4;
(a – 2)x ≤ a² – 4;
② Якщо a > 2, то x ≤ (a² – 4)/(a – 2); x ≤ a + 2.
③ Якщо a = 2, то:
(2 – 2)x ≤ 2² – 4;
0 ≤ 0 — правильна нерівність
x∈(–∞; +∞).
④ Якщо a < 2, то x ≥ (a² – 4)/(a – 2); x ≥ a + 2.
Відповідь: a = 2.

💬 Задавайте свої питання в коментарях!

🇺🇦@abitmath 🇺🇦@abitblog

📚 Додаткові завдання

Для всіх, хто хоче ще попрактикуватися із лінійними нерівностями з параметрами, надаю ще завдання. У кінці посту є відповіді. Для зручності використовуйте скриншоти.

Завдання 1. За якого значення a нерівність 2x + 3 > (a² – 2ax)/3 не має розв’язків?

Завдання 2. За якого значення параметра a розв'язком нерівності (3ax – 1)/3 ≤ (a + x)/2 є будь-яке число?

Завдання 3.* Задано нерівність a²x + 1 ≤ a(a – x), де x — змінна, a — стала.
1. Визначте значення a, за якого нерівність не має розв'язків.
2. Визначте значення a, за якого розв'язком нерівності є будь-яке число.
3. Розв’яжіть нерівність залежно від значень a.

Відповіді:
1. a = –3.
2. a = 0,5.
3.1. a = 0.
3.2. a = –1.
3.3. Якщо a∈(–∞; –1)∪(0; +∞), то x∈(–∞; (a–1)/a];
Якщо a = –1, то x∈(–∞; +∞);
Якщо a∈(–1; 0), то x∈[(a–1)/a; +∞);
Якщо a = 0, то x∈∅.

💬 Задавайте свої питання в коментарях!

🇺🇦@abitmath 🇺🇦@abitblog

🔥 Про параметри

👋 Привіт! Сьогодні планую завершити лінійні нерівності з параметрами.

Чи маєте складнощі з попередніми параметрами?
😎 — Ні, не маю складнощів.
🤔 — Так, є складнощі.

🇺🇦@abitmath 🇺🇦@abitblog