🌟 Системи лінійних рівнянь з параметром (частина 2)

У цьому пості ми розглянемо конкретні системи лінійних рівнянь, які містять параметр. Тут зазвичай ставиться питання про те, за якого значення параметра система має безліч розв'язків або взагалі їх немає. Використовуйте скриншоти для зручності і розуміння розв'язання завдань.

Приклад 1. За якого значення a система рівнянь не має розв'язків?
{ax + 6y = 8,
{x + 3y = a.
Розв'язання. Розв'яжемо систему методом підстановки:
① Виразимо x з другого рівняння:
{ax + 6y = 8,
{x = a – 3y,
② Підставимо a – 3y замість x у перше рівняння і розв'яжемо його:
a(a – 3y) + 6y = 8,
a² – 3ay + 6y = 8,
6y – 3ay = 8 – a²
y(6 – 3a) = 8 – a²
③ Якщо a = 2, то:
y(6 – 3 ∙ 2) = 8 – 2²,
0 = 4 — неправильна рівність. Отже, при a = 2 система рівнянь не буде мати розв'язків.
④ Якщо a ≠ 2, то:
y = (8 – a²)/(6 – 3a).
Отже, при a ≠ 2 система має єдиний розв'язок.
Відповідь: a = 2.

Приклад 2. За якого значення a система рівнянь має безліч розв'язків?
{x + ay = 5,
{3x – 9y = –5a.
Розв'язання. Розв'яжемо систему методом підстановки:
① Виразимо x з першого рівняння:
{x = 5 – ay,
{3x – 9y = –5a.
② Підставимо 5 – ay замість x у друге рівняння і розв'яжемо його:
3(5 – ay) – 9y = –5a,
15 – 3ay – 9y = –5a,
3ay + 9y = 5a + 15,
y(3a + 9) = 5a + 15,
③ Якщо a = –3, то:
y(3 ∙ (–3) + 9) = 5 ∙ (–3) + 15,
0 = 0 — правильна рівність. Отже, при a = –3 система рівнянь має безліч розв'язків.
④ Якщо a ≠ –3, то:
y = (5a + 15)/(3a + 9) = 5/3,
Отже, при a ≠ –3 система має єдиний розв'язок.
Відповідь: a = –3.

💬 Задавайте свої питання в коментарях!

🇺🇦@abitmath 🇺🇦@abitblog

📚 Додаткові завдання

Якщо є бажання попрактикуватися, надаю ще завдання на розв'язання систем лінійних рівнянь з параметрами. У кінці є відповіді для самоперевірки. Використовуйте скриншоти для більш наглядного завдання.

Завдання 1. За якого значення параметра a система рівнянь не має розв’язків?

{ax – 8y = a + 6,
{–2x + ay = –5.

Завдання 2. За якого значення параметра a система рівнянь має безліч розв’язків?

{2x – ay = –2,
{ax – 8y = 4.

Завдання 3. Задано систему рівнянь, де x і y — змінні, a — стала.

{x – ay = a,
{ax – 4y = 2a.

1. Визначте значення a, за якого система не має розв’язків.
2. Визначте значення a, за якого система має безліч розв’язків.
3. Визначте значення a, за якого система має розв’язок.

Відповіді:
1. a = –4
2. a = –4
3.1. a = –2
3.2. a = 2
3.3. a ≠ ±2

💬 Задавайте свої питання в коментарях!

🇺🇦@abitmath 🇺🇦@abitblog

❓Відповіді на ваші питання

👋 Вітаю всіх!

🥳 Ми завершили розглядати системи лінійних рівнянь з параметрами, і можемо рухатись далі.

💬 Якщо залишились будь-які запитання відносно цієї теми, обов'язково задавайте їх у коментарях. У цій темі важливо рухатися послідовно, від одної теми до іншої.

🧐 Наступною частиною завдань з параметрами є лінійні нерівності з параметром. Ця частина трохи складніша, ніж попередні дві, тому слід бути дуже уважним.

🇺🇦@abitmath 🇺🇦@abitblog

⭐️ Лінійні нерівності з параметром (частина 1)

Наступною складовою вивчення завдань з параметрами є лінійні нерівності з параметром. Перш ніж приступати до цих завдань бажано вміти розв'язувати всі звичайні лінійні нерівності без параметрів. Тому нагадаю всі основні моменти лінійних нерівностей.

1. Лінійні нерівності зазвичай розв'язуються так само, як і лінійні рівняння.
2. При «перенесенні» чисел або змінних нерівності з однієї частини на іншу знак нерівності не змінюється.
Приклад:
3x – 5 > x + 3;
3x – x > 3 + 5;
2x > 8.
3. При множенні або діленні обидвох частин нерівності на додатне число знак нерівності не змінюється.
Приклад:
x/2 < 4 | ∙ 2
x/2 ∙ 2 < 4 ∙ 2;
x < 8.
4. При множенні або діленні обидвох частин нерівності на від'ємне число знак нерівності змінюється на протилежний.
Приклад:
–3x ≥ 6 | : (–3)
–3x/(–3) ≤ 6/(–3);
x ≤ –2.
5. При зміні місцями двох частин нерівності знак нерівності змінюється на протилежний.
Приклад:
4 ≤ x;
x ≥ 4.
6. Відповідь у нерівностях зазвичай треба вказувати у вигляді проміжків. Пам'ятайте:
— якщо є знаки «<» або «>», то на графічному розв'язку число буде позначатися «○», а у відповіді будуть використовуватися круглі дужки;
— якщо є знаки «≤» або «≥», то на графічному розв'язку число буде позначатися «●», а у відповіді будуть використовуватися квадратні дужки;
— біля знаків ∞ (нескінченність) завжди використовуються круглі дужки.
Приклади:
1) x > 2, тоді x∈(2; +∞);
2) x ≥ 2, тоді x∈[2; +∞);
3) x < 2, тоді x∈(–∞; 2);
4) x ≤ 2, тоді x∈(–∞; 2].

💬 Задавайте свої питання в коментарях!

🇺🇦@abitmath 🇺🇦@abitblog

🌟 Лінійні нерівності з параметром (частина 2)

Перед тим як дійти до завдань з параметром розглянемо специфічні ситуації з лінійними нерівностями. Спробуйте самостійно розв'язати наступні три приклади звичайних нерівностей:

➊ 2x + 3 > 2(x – 1);
2x + 3 > 2x – 2;
2x – 2x > –2 – 3;
0 > –5 — правильна нерівність;
Відповідь: x∈(–∞; +∞).

➋ 3(x + 2) < 3x + 2;
3x + 6 < 3x + 2;
3x – 3x < 2 – 6;
0 < –4 — неправильна нерівність;
Відповідь: x∈∅.

➌ 4x – 6 ≥ 7x – 3(x + 2);
4x – 6 ≥ 7x – 3x – 6;
4x – 6 ≥ 4x – 6;
0 ≥ 0 — правильна нерівність, бо 0 може дорівнювати 0;
Відповідь: x∈(–∞; +∞).

Ось за такою логікою слід розв'язувати лінійні нерівності з параметром. Розглянемо один приклад загального розв'язання нерівності з параметром.

Приклад 1. Розв'яжіть нерівність (a + 3)x > a² – 9 залежно від значень параметра a.
Розв'язання. Останнім кроком розв'язання нерівності є прибирання множника (a + 3), але для цього потрібно розглянути наступні ситуації:
① Якщо a + 3 > 0, a > –3, то можна виконати ділення, при цьому знак нерівності не зміниться:
x > (a² – 9)/(a + 3);
x > a – 3;
x∈(a – 3; +∞).
② Якщо a + 3 = 0, a = –3, то:
(–3 + 3)x > (–3)² – 9;
0 > 0 — неправильна нерівність;
x∈∅.
③ Якщо a + 3 < 0, a < –3, то можна виконати ділення, при цьому знак нерівності зміниться на протилежний (бо вираз (a + 3) є від'ємним):
x < (a² – 9)/(a + 3);
x < a – 3;
x∈(–∞; a – 3).
Відповідь: якщо a∈(–∞; –3), то x∈(–∞; a – 3); якщо a = 0, то x∈∅; якщо a∈(–3; +∞), то x∈(a – 3; +∞).

Приклад 2. За якого значення a нерівність ax – 4 ≥ x + a не має розв'язків?
Розв'язання. Виконаємо наступні дії:
① ax – x ≥ a + 4;
(a – 1)x ≥ a + 4;
② Якщо a > 1, то x ≥ (a + 4)/(a – 1).
③ Якщо a = 1, то:
(1 – 1)x ≥ 1 + 4;
0 ≥ 5 — неправильна нерівність
x∈∅
④ Якщо a < 1, то x ≤ (a + 4)/(a – 1).
Відповідь: a = 1.

Приклад 3. За якого значення a розв'язком нерівності a(x – a) ≤ 2x – 4 є будь-яке число?
Розв'язання. Виконаємо наступні дії:
① ax – a² ≤ 2x – 4;
ax – 2x ≤ a² – 4;
(a – 2)x ≤ a² – 4;
② Якщо a > 2, то x ≤ (a² – 4)/(a – 2); x ≤ a + 2.
③ Якщо a = 2, то:
(2 – 2)x ≤ 2² – 4;
0 ≤ 0 — правильна нерівність
x∈(–∞; +∞).
④ Якщо a < 2, то x ≥ (a² – 4)/(a – 2); x ≥ a + 2.
Відповідь: a = 2.

💬 Задавайте свої питання в коментарях!

🇺🇦@abitmath 🇺🇦@abitblog

📚 Додаткові завдання

Для всіх, хто хоче ще попрактикуватися із лінійними нерівностями з параметрами, надаю ще завдання. У кінці посту є відповіді. Для зручності використовуйте скриншоти.

Завдання 1. За якого значення a нерівність 2x + 3 > (a² – 2ax)/3 не має розв’язків?

Завдання 2. За якого значення параметра a розв'язком нерівності (3ax – 1)/3 ≤ (a + x)/2 є будь-яке число?

Завдання 3.* Задано нерівність a²x + 1 ≤ a(a – x), де x — змінна, a — стала.
1. Визначте значення a, за якого нерівність не має розв'язків.
2. Визначте значення a, за якого розв'язком нерівності є будь-яке число.
3. Розв’яжіть нерівність залежно від значень a.

Відповіді:
1. a = –3.
2. a = 0,5.
3.1. a = 0.
3.2. a = –1.
3.3. Якщо a∈(–∞; –1)∪(0; +∞), то x∈(–∞; (a–1)/a];
Якщо a = –1, то x∈(–∞; +∞);
Якщо a∈(–1; 0), то x∈[(a–1)/a; +∞);
Якщо a = 0, то x∈∅.

💬 Задавайте свої питання в коментарях!

🇺🇦@abitmath 🇺🇦@abitblog