⚡️ Ірраціональні рівняння з параметром: аналіз коренів

Продовжуємо опрацьовувати ірраціональні рівняння! Сьогодні розберемо завдання, де необхідно дослідити отриманий розв'язок на додаткові умови. Нагадаймо основні схеми розв'язання ірраціональних рівнянь:

1️⃣ Рівняння виду √(𝑓(𝑥)) = 𝑎:    

✅ якщо 𝑎 > 0 → 𝑓(𝑥) = 𝑎²;
✅ якщо 𝑎 = 0 → 𝑓(𝑥) = 0;
✅ якщо 𝑎 < 0 → розв’язків немає.

2️⃣ Рівняння виду √(𝑓(𝑥)) = √(𝑔(𝑥)):

    𝑓(𝑥) = 𝑔(𝑥)
    Умова: 𝑓(𝑥) ⩾ 0 (або 𝑔(𝑥) ⩾ 0 — обираємо те, що простіше розв'язати).

3️⃣ Рівняння виду √(𝑓(𝑥)) = 𝑔(𝑥):

    𝑓(𝑥) = 𝑔²(𝑥)
   Умова: 𝑔(𝑥) ⩾ 0.

4️⃣ Рівняння, що розв’язуються методом заміни. Часто вираз під коренем та поза ним пов'язані. Заміна 𝑡 = √(𝑓(𝑥)), де 𝑡 ⩾ 0, зводить рівняння до квадратного.

✈️ Алгоритм розв'язування дослідницьких задач на аналіз коренів ірраціональних рівнянь

1️⃣ Зняття ірраціональності. Використовуємо одну з наведених вище схем, щоб позбутися кореня.

2️⃣ Фіксація умов існування (ОДЗ). Обов'язково фіксуємо обмеження для підкореневих виразів та правої частини рівняння.

3️⃣ Пошук «кандидатів». Розв'язуємо отримане раціональне рівняння і знаходимо корені 𝑥 через параметр 𝑎.

4️⃣ Перевірка умов та відбір. Підставляємо знайдені корені в нерівності з кроку 2 та в додаткові умови задачі (знак кореня, належність проміжку тощо). Відбираємо лише ті значення 𝑎, які задовольняють усі умови одночасно.

📸 Приклади розв'язання завдань дивіться на скриншотах.

💬 Задавайте свої питання в коментарях!

🇺🇦@abitmath 🇺🇦@abitblog