⚡️ Ірраціональні рівняння з параметром: дослідження кількості розв'язків

Продовжуємо розглядати параметри. Сьогодні розбираємо ірраціональні рівняння з параметрами. Головна складність тут — область допустимих значень (ОДЗ) та дослідження кількості коренів з такими умовами.

Перед алгоритмом пригадаємо основні схеми розв'язків ірраціональних рівнянь:

1️⃣ Рівняння виду √(𝑓(𝑥)) = 𝑎:    

✅ якщо 𝑎 > 0 → 𝑓(𝑥) = 𝑎²;
✅ якщо 𝑎 = 0 → 𝑓(𝑥) = 0;
✅ якщо 𝑎 < 0 → розв’язків немає.

2️⃣ Рівняння виду √(𝑓(𝑥)) = √(𝑔(𝑥)):

    𝑓(𝑥) = 𝑔(𝑥)
    Умова: 𝑓(𝑥) ⩾ 0 (або 𝑔(𝑥) ⩾ 0 — обираємо те, що простіше розв'язати).

3️⃣ Рівняння виду √(𝑓(𝑥)) = 𝑔(𝑥):

    𝑓(𝑥) = 𝑔²(𝑥)
   Умова: 𝑔(𝑥) ⩾ 0.

4️⃣ Рівняння, що розв’язуються методом заміни. Часто вираз під коренем та поза ним пов'язані. Заміна 𝑡 = √(𝑓(𝑥)), де 𝑡 ⩾ 0, зводить рівняння до квадратного.

✈️ Алгоритм розв'язування дослідницьких задач на ірраціональні рівняння.

1️⃣ Встановлення ОДЗ та додаткових умов. Підкореневі вирази парного степеня є невід'ємними, а знаменник дробу не дорівнює 0. Якщо корінь дорівнює якомусь виразу, цей вираз також є невід'ємним.

2️⃣ Позбуваємося ірраціональності. Підносимо обидві частини до квадрата, прирівнюємо підкореневі вирази або використовуємо заміну змінної (𝑡 ⩾ 0).

3️⃣ Шукаємо «кандидатів» у корені. Розв'язуємо отримане лінійне або квадратне рівняння відносно 𝑥 (або 𝑡).

4️⃣ Перевірка умов. Перевіряємо кожного кандидата через умови з кроку 1. З'ясовуємо, за яких значень параметра корені збігаються або відкидаються.

📸 Приклади розв'язання завдань дивіться на скриншотах.

💬 Задавайте свої питання в коментарях!

🇺🇦@abitmath 🇺🇦@abitblog