🔥 Рівняння з модулем і параметром: аналіз розв'язків

Сьогодні закриваємо гештальт із модулями! Ми вже навчилися визначати кількість їхніх розв'язків, а тепер переходимо до задач, де на ці розв'язки накладено додаткові умови. Перед тим як перейти до алгоритму, збережіть собі цю базу — основні типи рівнянь із модулем.

🔍 Рівняння виду |𝑓(𝑥)| = 𝑎. Тут 𝑓(𝑥) — будь-який вираз зі змінною 𝑥, а 𝑎 — число. Схема розв’язання:

   ✅ якщо 𝑎 > 0 → 𝑓(𝑥) = 𝑎 або 𝑓(𝑥) = –𝑎;
   ✅ якщо 𝑎 = 0 → 𝑓(𝑥) = 0;
   ✅ якщо 𝑎 < 0 → розв’язків немає.

🔍 Рівняння виду |𝑓(𝑥)| = |𝑔(𝑥)|. Схема розв’язання:

     𝑓(𝑥) = 𝑔(𝑥) або 𝑓(𝑥) = –𝑔(𝑥).

🔍 Рівняння виду |𝑓(𝑥)| = 𝑔(𝑥). Схема розв’язання:

     𝑓(𝑥) = 𝑔(𝑥) або 𝑓(𝑥) = –𝑔(𝑥).
     Умова: 𝑔(𝑥) ⩾ 0.

🔍 Загальна схема розв'язання рівнянь із модулем. За означенням модуля:

     |𝑓(𝑥)| = 𝑓(𝑥), якщо 𝑓(𝑥) ⩾ 0,
     |𝑓(𝑥)| = –𝑓(𝑥), якщо 𝑓(𝑥) < 0.

✈️ Алгоритм розв'язування дослідницьких задач на аналіз розв'язків рівняння з модулем

1️⃣ Зняття модуля. Використовуємо одну з наведених вище схем, щоб позбутися знака модуля та знайти корені 𝑥₁ та 𝑥₂ через параметр 𝑎.

2️⃣ Фіксація умов існування. Обов'язково фіксуємо обмеження (наприклад, права частина має бути ⩾ 0, щоб корені взагалі існували).

3️⃣ Складання моделі. Застосовуємо умову задачі до знайдених коренів (прирівнюємо їхню суму до нуля для протилежних чисел, складаємо нерівності для проміжків тощо).

4️⃣ Розв'язання та перевірка. Знаходимо значення параметра та відкидаємо ті, що не задовольняють умови існування коренів із кроку 2.

📸 Приклади розв'язання завдань дивіться на скриншотах.

💬 Задавайте свої питання в коментарях!

🇺🇦@abitmath 🇺🇦@abitblog