⚡️ Квадратні рівняння з параметром: теорема Вієта

Теорема Вієта — це справжня суперсила під час роботи з параметрами. Іноді нам навіть не потрібно шукати самі корені (через громіздкий дискримінант), а достатньо знати їхню суму та добуток. Ця теорема може допомогти «вгадати» корені просто поглянувши на рівняння.

✈️ Алгоритм застосування теореми Вієта в задачах із параметром

1️⃣ Записуємо систему за теоремою Вієта для рівняння. Для зведеного квадратного рівняння 𝑥² + 𝑝𝑥 + 𝑞 = 0 маємо:

     { 𝑥₁ + 𝑥₂ = –𝑝,
     { 𝑥₁ ⋅ 𝑥₂ = 𝑞

2️⃣ Додаємо до цієї системи умову з тексту задачі (сума коренів, добуток коренів, різниця коренів тощо).
3️⃣ Розв'язуємо утворене рівняння або систему відносно параметра 𝑎.
4️⃣ Обов'язково перевіряємо умову 𝐷 ⩾ 0. Перевіряємо, чи існують взагалі корені при знайдених значеннях параметра. Для цього рахуємо 𝐷 ⩾ 0 і підставляємо знайдені значення параметра.

📸 Приклади розв'язання завдань дивіться на скриншотах.

💬 Задавайте свої питання в коментарях!

🇺🇦@abitmath 🇺🇦@abitblog

⚡️ Квадратні нерівності з параметром

Квадратні нерівності з параметрами — це завдання, де потрібно вміти «малювати» параболу у своїй уяві. Розв'язок залежить від того, куди напрямлені вітки параболи і чи перетинає вона вісь 𝑥.

✈️ Алгоритм розв'язування дослідницьких задач на квадратні нерівності. Розглянемо нерівність виду 𝐴𝑥² + 𝐵𝑥 + 𝐶 v 0, де v — один із «>», «<», «⩾», «⩽».
1️⃣ Перевірка старшого коефіцієнта (𝐴). Якщо параметр стоїть біля 𝑥², обов'язково розглядаємо випадок 𝐴 = 0 (нерівність стає лінійною).
2️⃣ Аналіз напрямку віток. Якщо 𝐴 > 0 — вітки напрямлені вгору. Якщо 𝐴 < 0 — вітки напрямлені вниз.
3️⃣ Аналіз дискримінанта (𝐷 = 𝐵² – 4𝐴𝐶).
     🔍 𝐷 > 0: парабола перетинає вісь 𝑥 у двох точках.
     🔍 𝐷 = 0: парабола дотикається до осі 𝑥.
     🔍 𝐷 < 0: парабола повністю лежить над або під віссю 𝑥 (немає точок перетину).
4️⃣ Переклад умови на мову графіків:
     🔘 Нерівність 𝐴𝑥² + 𝐵𝑥 + 𝐶 > 0 (𝐴 > 0) або 𝐴𝑥² + 𝐵𝑥 + 𝐶 < 0 (𝐴 < 0) виконується для ВСІХ 𝑥, якщо парабола не має спільних точок із віссю 𝑥 → 𝐷 < 0.
     🔘 Нерівність 𝐴𝑥² + 𝐵𝑥 + 𝐶 < 0 (𝐴 > 0) або 𝐴𝑥² + 𝐵𝑥 + 𝐶 > 0 (𝐴 < 0) НЕ МАЄ розв'язків, якщо парабола лежить по один бік від осі 𝑥 або дотикається до неї → 𝐷 ⩽ 0.
     🔘 Нерівність 𝐴𝑥² + 𝐵𝑥 + 𝐶 ⩽ 0 (𝐴 > 0) або 𝐴𝑥² + 𝐵𝑥 + 𝐶 ⩾ 0 (𝐴 < 0) має ЄДИНИЙ розв'язок, якщо парабола дотикається до осі 𝑥 вершині → 𝐷 = 0.
     🔘 Якщо розв'язок квадратної нерівності має містити певний ПРОМІЖОК, перевіряємо значення функції 𝑓(𝑥) = 𝐴𝑥² + 𝐵𝑥 + 𝐶 на його кінцях або аналізуємо положення вершини 𝑥₀ = –𝐵/(2𝐴) і дискримінант.

📸 Приклади розв'язання завдань дивіться на скриншотах.

💬 Задавайте свої питання в коментарях!

🇺🇦@abitmath 🇺🇦@abitblog