🔥 Квадратні рівняння з параметром: аналіз умов до коренів

Ми продовжуємо розбирати завдання з параметрами. У попередньому пості ми шукали, за яких умов рівняння має певну кількість коренів. Тепер переходимо до ситуацій, коли кількість коренів відома, але на них накладено додаткові умови: вони мають певні знаки, належать заданим проміжкам або одне з них дорівнює конкретному числу.

✈️ Алгоритм розв'язування дослідницьких задач на аналіз умов до коренів

1️⃣ Якщо задано конкретний корінь: підставляємо його значення замість 𝑥 у рівняння і розв'язуємо утворене рівняння відносно параметра 𝑎.

2️⃣ Якщо корені невідомі, шукаємо дискримінант (𝐷). У більшості таких задач 𝐷 виявляється повним квадратом. Це означає, що ми можемо знайти корені 𝑥₁ та 𝑥₂ через параметр 𝑎:

𝐴𝑥² + 𝐵𝑥 + 𝐶 = 0
𝐷 = 𝐵² − 4𝐴𝐶
𝑥₁,₂ = (−𝐵 ± √𝐷)/(2𝐴)

3️⃣ Складання моделі. Записуємо знайдені корені 𝑥₁ та 𝑥₂ і підставляємо їх у задані умови.

📸 Приклади розв'язання завдань дивіться на скриншотах.

💬 Задавайте свої питання в коментарях!

🇺🇦@abitmath 🇺🇦@abitblog

⚡️ Квадратні рівняння з параметром: теорема Вієта

Теорема Вієта — це справжня суперсила під час роботи з параметрами. Іноді нам навіть не потрібно шукати самі корені (через громіздкий дискримінант), а достатньо знати їхню суму та добуток. Ця теорема може допомогти «вгадати» корені просто поглянувши на рівняння.

✈️ Алгоритм застосування теореми Вієта в задачах із параметром

1️⃣ Записуємо систему за теоремою Вієта для рівняння. Для зведеного квадратного рівняння 𝑥² + 𝑝𝑥 + 𝑞 = 0 маємо:

     { 𝑥₁ + 𝑥₂ = –𝑝,
     { 𝑥₁ ⋅ 𝑥₂ = 𝑞

2️⃣ Додаємо до цієї системи умову з тексту задачі (сума коренів, добуток коренів, різниця коренів тощо).
3️⃣ Розв'язуємо утворене рівняння або систему відносно параметра 𝑎.
4️⃣ Обов'язково перевіряємо умову 𝐷 ⩾ 0. Перевіряємо, чи існують взагалі корені при знайдених значеннях параметра. Для цього рахуємо 𝐷 ⩾ 0 і підставляємо знайдені значення параметра.

📸 Приклади розв'язання завдань дивіться на скриншотах.

💬 Задавайте свої питання в коментарях!

🇺🇦@abitmath 🇺🇦@abitblog