⚡️ Квадратні рівняння з параметром: дослідження кількості коренів

Ми вже розібрали лінійні рівняння, тож час переходити до квадратних рівнянь з параметрами. Вони були найпопулярнішими на НМТ-2023. Ключ до їхнього розв'язання — це дискримінант й уважність до старшого коефіцієнта.

✈️ Алгоритм дослідження кількості коренів рівняння 𝐴𝑥² + 𝐵𝑥 + 𝐶 = 0

1️⃣ Перевірка старшого коефіцієнта (𝐴). Це найголовніша пастка!
      ✅ Якщо 𝐴 = 0, рівняння перетворюється на лінійне (𝐵𝑥 + 𝐶 = 0). Його потрібно розв'язати окремо і перевірити, скільки коренів воно має.
      ✅ Якщо 𝐴 ≠ 0, рівняння є квадратним, і ми переходимо до кроку 2.

2️⃣ Знаходження дискримінанта. Обчислюємо 𝐷 за формулою:

𝐷 = 𝐵² − 4𝐴𝐶.

3️⃣ Аналіз дискримінанта залежно від умови задачі:
     🔘 Рівняння має два різні дійсні корені, якщо 𝐷 > 0.
     🔘 Рівняння має лише один корінь, якщо 𝐷 = 0.
     🔘 Рівняння не має дійсних коренів, якщо 𝐷 < 0.

4️⃣ Розв'язання утвореної нерівності або рівняння відносно параметра 𝑎 та запис відповіді з урахуванням усіх умов.

📸 Приклади розв'язання завдань дивіться на скриншотах.

💬 Задавайте свої питання в коментарях!

🇺🇦@abitmath 🇺🇦@abitblog

🔥 Квадратні рівняння з параметром: аналіз умов до коренів

Ми продовжуємо розбирати завдання з параметрами. У попередньому пості ми шукали, за яких умов рівняння має певну кількість коренів. Тепер переходимо до ситуацій, коли кількість коренів відома, але на них накладено додаткові умови: вони мають певні знаки, належать заданим проміжкам або одне з них дорівнює конкретному числу.

✈️ Алгоритм розв'язування дослідницьких задач на аналіз умов до коренів

1️⃣ Якщо задано конкретний корінь: підставляємо його значення замість 𝑥 у рівняння і розв'язуємо утворене рівняння відносно параметра 𝑎.

2️⃣ Якщо корені невідомі, шукаємо дискримінант (𝐷). У більшості таких задач 𝐷 виявляється повним квадратом. Це означає, що ми можемо знайти корені 𝑥₁ та 𝑥₂ через параметр 𝑎:

𝐴𝑥² + 𝐵𝑥 + 𝐶 = 0
𝐷 = 𝐵² − 4𝐴𝐶
𝑥₁,₂ = (−𝐵 ± √𝐷)/(2𝐴)

3️⃣ Складання моделі. Записуємо знайдені корені 𝑥₁ та 𝑥₂ і підставляємо їх у задані умови.

📸 Приклади розв'язання завдань дивіться на скриншотах.

💬 Задавайте свої питання в коментарях!

🇺🇦@abitmath 🇺🇦@abitblog