✏️ Системи лінійних нерівностей з параметром

Ми продовжуємо розбирати тему параметрів і сьогодні переходимо до систем лінійних нерівностей. Тут завдання ускладнюється тим, що нам потрібно не просто розв'язати кожну нерівність, а знайти їхню спільну частину (переріз) і накласти на неї додаткові умови.

✈️ Алгоритм розв'язування дослідницьких задач на системи лінійних нерівностей.

1️⃣ Розв'язуємо кожну нерівність системи окремо, виражаючи змінну 𝑥.
2️⃣ Зображуємо отримані розв'язки на числовій прямій. Уявляємо, як рухаються межі проміжків залежно від зміни параметра 𝑎.
3️⃣ Знаходимо переріз проміжків (спільну штриховку).
4️⃣ Застосовуємо умову задачі до знайденого перерізу (наявність/відсутність розв'язків, кількість цілих чисел тощо) і складаємо нерівність або рівняння вже для самого параметра 𝑎.

📸 Приклади розв'язання завдань дивіться на скриншотах.

💬 Задавайте свої питання в коментарях!

🇺🇦@abitmath 🇺🇦@abitblog

⚡️ Квадратні рівняння з параметром: дослідження кількості коренів

Ми вже розібрали лінійні рівняння, тож час переходити до квадратних рівнянь з параметрами. Вони були найпопулярнішими на НМТ-2023. Ключ до їхнього розв'язання — це дискримінант й уважність до старшого коефіцієнта.

✈️ Алгоритм дослідження кількості коренів рівняння 𝐴𝑥² + 𝐵𝑥 + 𝐶 = 0

1️⃣ Перевірка старшого коефіцієнта (𝐴). Це найголовніша пастка!
      ✅ Якщо 𝐴 = 0, рівняння перетворюється на лінійне (𝐵𝑥 + 𝐶 = 0). Його потрібно розв'язати окремо і перевірити, скільки коренів воно має.
      ✅ Якщо 𝐴 ≠ 0, рівняння є квадратним, і ми переходимо до кроку 2.

2️⃣ Знаходження дискримінанта. Обчислюємо 𝐷 за формулою:

𝐷 = 𝐵² − 4𝐴𝐶.

3️⃣ Аналіз дискримінанта залежно від умови задачі:
     🔘 Рівняння має два різні дійсні корені, якщо 𝐷 > 0.
     🔘 Рівняння має лише один корінь, якщо 𝐷 = 0.
     🔘 Рівняння не має дійсних коренів, якщо 𝐷 < 0.

4️⃣ Розв'язання утвореної нерівності або рівняння відносно параметра 𝑎 та запис відповіді з урахуванням усіх умов.

📸 Приклади розв'язання завдань дивіться на скриншотах.

💬 Задавайте свої питання в коментарях!

🇺🇦@abitmath 🇺🇦@abitblog