🔥 Лінійні рівняння з параметром: аналіз кореня

Продовжуємо підкорювати параметри! У попередньому пості ми досліджували кількість коренів. Тепер переходимо до задач, де корінь вже існує (він єдиний), але на нього накладено певні умови: він має дорівнювати конкретному числу, бути додатним, від'ємним або належати заданому проміжку тощо.

✈️ Алгоритм аналізу кореня лінійного рівняння з параметром. Будь-яке лінійне рівняння спочатку потрібно розв'язати відносно 𝑥. Для цього:
1️⃣ Зводимо рівняння до стандартного вигляду 𝐴𝑥 = 𝐵.
2️⃣ Виражаємо корінь рівняння: 𝑥 = 𝐵∕𝐴 (при цьому обов'язково фіксуємо умову 𝐴 ≠ 0, щоб корінь існував).
3️⃣ Складаємо нове рівняння або нерівність згідно з умовою задачі:
     🔍 якщо корінь дорівнює 𝑚, то 𝐵∕𝐴 = 𝑚;
     🔍 якщо корінь додатний, то 𝐵∕𝐴 > 0;
     🔍 якщо корінь від'ємний, то 𝐵∕𝐴 < 0;
     🔍 якщо корінь недодатний, то 𝐵∕𝐴 ⩽ 0;
     🔍 якщо корінь невід'ємний, то 𝐵∕𝐴 ⩾ 0;
     🔍 якщо корінь належить проміжку (𝑚; 𝑛), то 𝑚 < 𝐵∕𝐴 < 𝑛.
4️⃣ Розв'язуємо отримане рівняння (зазвичай пропорцією) або нерівність (зазвичай методом інтервалів) відносно параметра 𝑎 та знаходимо відповідь, врахувавши умову 𝐴 ≠ 0.

💡 Зверніть увагу! Якщо в умові вже задано КОНКРЕТНЕ числове значення кореня, не обов'язково виражати 𝑥. Можна відразу підставити це число замість 𝑥 у початкове рівняння.

📸 Приклади розв'язання завдань дивіться на скриншотах.

💬 Задавайте свої питання в коментарях!

🇺🇦@abitmath 🇺🇦@abitblog

⚡️ Системи лінійних рівнянь з параметром: дослідження кількості розв'язків

Сьогодні ми піднімаємося на ще одну сходинку складності в темі параметрів. Якщо з одним лінійним рівнянням усе зрозуміло, то що робити, коли їх два і вони об'єднані в систему? Мета залишається незмінною: не просто «розв'язати», а дослідити, за яких умов система поводить себе певним чином.

✈️ Нехай задано систему лінійних рівнянь у стандартному вигляді:

     { 𝑎₁𝑥 + 𝑏₁𝑦 = 𝑐₁,
     { 𝑎₂𝑥 + 𝑏₂𝑦 = 𝑐₂.

Існує два основних способи дослідження таких систем.

✈️ АЛГОРИТМ 1. Метод підстановки (або додавання)
1️⃣ Виражаємо одну змінну через іншу з простішого рівняння (наприклад, 𝑥 через 𝑦).
2️⃣ Підставляємо цей вираз у друге рівняння.
3️⃣ Отримуємо звичайне лінійне рівняння з однією змінною виду 𝐴𝑦 = 𝐵.
4️⃣ Досліджуємо його за вже знайомим правилом:
     🔍 𝐴 ≠ 0 — єдиний розв'язок;
     🔍 𝐴 = 0, 𝐵 = 0 — безліч розв'язків;
     🔍 𝐴 = 0, 𝐵 ≠ 0 — немає розв'язків.

✈️ АЛГОРИТМ 2. Аналіз відношень коефіцієнтів
Цей метод швидший, адже базується на геометричному змісті системи (кожному рівнянню відповідає пряма на площині).
1️⃣ Єдиний розв'язок (прямі перетинаються): коефіцієнти біля 𝑥 та 𝑦 непропорційні.

     𝑎₁∕𝑎₂ ≠ 𝑏₁∕𝑏₂

2️⃣ Немає розв'язків (прямі паралельні): коефіцієнти біля змінних пропорційні, але не дорівнюють відношенню вільних членів.

     𝑎₁∕𝑎₂ = 𝑏₁∕𝑏₂ ≠ 𝑐₁∕𝑐₂

3️⃣ Безліч розв'язків (прямі збігаються): усі відповідні коефіцієнти пропорційні.

     𝑎₁∕𝑎₂ = 𝑏₁∕𝑏₂ = 𝑐₁∕𝑐₂

📸 Приклади розв'язання завдань дивіться на скриншотах.

💬 Задавайте свої питання в коментарях!

🇺🇦@abitmath 🇺🇦@abitblog