📌 Використання комбінаторики при знаходженні ймовірності

До цього моменту в задачах на знаходження ймовірності випадкової події ми обирали один об'єкт з групи об'єктів. Існують ситуації, коли потрібно послідовно вибрати декілька об'єктів з групи. Розглянемо, як шукати ймовірність у такому випадку.

🔍 Застосування розміщень. Ймовірністю випадкової події 𝐴 називають відношення кількості 𝑚 випадків, що сприяють появі події 𝐴, до кількості 𝑛 всіх рівноможливих випадків:

    𝑝(𝐴) = 𝑚∕𝑛.

Якщо обирається більше ніж один об'єкт, і порядок вибору МАЄ значення, то використовуємо розміщення (𝐴ₙᵏ) і правила комбінаторики для визначення 𝑚 і 𝑛.

✈️ Приклад 1. Заступник директора школи складає розклад на понеділок для 6 класу: потрібно обрати 5 різних уроків із 12 можливих предметів. Яка ймовірність того, що першим уроком буде математика, а останнім — географія?
✈️ Розв'язання. Розглянемо наступні випадки.
🔍 Загальна кількість способів обрати 5 різних уроків із 12 можливих предметів дорівнює кількості розміщень, бо всі уроки різні:
𝑛 = 𝐴₁₂⁵ = 12 ⋅ 11 ⋅ 10 ⋅ 9 ⋅ 8.
🔍 Математика і географія вже зафіксовані на 1-му та 5-му місцях. Залишилося розподілити 3 уроки (2-й, 3-й, 4-й) серед 10 предметів, що лишилися:
𝑚 = 𝐴₁₀³ = 10 ⋅ 9 ⋅ 8.
🔍 Імовірність того, що першим уроком буде математика, а п'ятим — географія:
       𝑝(𝐴) = 𝑚∕𝑛 = (10 ⋅ 9 ⋅ 8)∕(12 ⋅ 11 ⋅ 10 ⋅ 9 ⋅ 8) = 1∕132.
Відповідь: 1∕132. 🔺

🔍 Застосування комбінацій. Якщо обирається більше ніж один об'єкт, і порядок їх вибору НЕ має значення, то використовуємо комбінації (𝐶ₙᵏ) і правила комбінаторики для визначення 𝑚 і 𝑛.

✈️ Приклад 2. До офісу доставили партію з 15 нових робочих планшетів, але 3 з них виявилися з бракованими акумуляторами. Системний адміністратор навмання бере 2 планшети для налаштування. Яка ймовірність того, що обидва вибрані пристрої будуть без дефектів?
✈️ Розв'язання. Розглянемо наступні випадки.
🔍 Загальна кількість планшетів: 15. Кількість справних (без дефектів): 15 – 3 = 12.
🔍 Загальна кількість способів вибрати 2 будь-які планшети з 15:
𝑛 = 𝐶₁₅² = (15 ⋅ 14) ∕ (1 ⋅ 2) = 105.
🔍 Кількість способів вибрати 2 справні планшети з 12:
𝑚 = 𝐶₁₂² = (12 ⋅ 11) ∕ (1 ⋅ 2) = 66.
🔍 Імовірність того, що обидва планшети без дефектів: 
𝑝(𝐴) = 𝑚∕𝑛 = 66∕105 = 22∕35.
Відповідь: 22∕35. 🔺

✈️ Приклад 3. В ІТ-відділі компанії працює 6 розробників клієнтської частини та 4 розробники серверної частини. Керівник шляхом жеребкування обирає 4 фахівців для відрядження на конференцію. Яка ймовірність того, що буде вибрано рівно 2 розробники клієнтської частини і 2 розробники серверної частини?
✈️ Розв'язання. Розглянемо наступні випадки.
🔍 Загальна кількість працівників відділу: 6 + 4 = 10.
🔍 Загальна кількість способів вибрати 4 фахівців із 10:
𝑛 = 𝐶₁₀⁴ = (10 ⋅ 9 ⋅ 8 ⋅ 7) ∕ (1 ⋅ 2 ⋅ 3 ⋅ 4) = 210.
🔍 Кількість способів вибрати 2 розробники клієнтської частини із 6:
𝐶₆² = (6 ⋅ 5) ∕ (1 ⋅ 2) = 15.
🔍 Кількість способів вибрати 2 розробники серверної частини із 4:
𝐶₄² = (4 ⋅ 3) ∕ (1 ⋅ 2) = 6.
🔍 Щоб сформувати потрібну групу, маємо обрати І тих, І інших фахівців. За правилом добутку кількість сприятливих способів:
𝑚 = 𝐶₆² ⋅ 𝐶₄² = 15 ⋅ 6 = 90.
🔍 Імовірність того, що поїдуть по 2 фахівці кожного напрямку: 
       𝑝(𝐴) = 𝑚∕𝑛 = 90∕210 = 9∕21 = 3∕7.
Відповідь: 3∕7. 🔺

📸 Приклади розв'язання задач дивіться на скриншотах.

💬 Задавайте свої питання в коментарях!

🇺🇦@abitmath 🇺🇦@abitblog

⚡️ Центральні тенденції вибірки

У цьому пості ми зануримося у математичну статистику — науки, яка допомагає збирати, обробляти та аналізувати дані для того, щоб робити правильні життєві та бізнес-висновки. Сьогодні розберемо основні вибіркові характеристики, які зустрічаються на НМТ.

🔍 Ряд даних (або вибірка) — це набір значень певної величини, які ми отримали під час дослідження чи спостереження.
✈️ Приклад. Менеджер служби доставки фіксує кількість виконаних замовлень одним кур'єром за 10 робочих змін:
15, 9, 12, 16, 15, 8, 14, 15, 10, 9 — це наша вибірка.

✈️ Ранжирування ряду — це процес упорядкування даних (зазвичай від найменшого до найбільшого значення). Це перший крок для зручного аналізу.
✈️ Приклад. Ранжируємо вибірку замовлень кур'єра:
8, 9, 9, 10, 12, 14, 15, 15, 15, 16.

🔍 Розмах вибірки 𝑅 — це різниця між найбільшим і найменшим значенням у нашому ряді даних:

    𝑅 = 𝑥ₘₐₓ – 𝑥ₘᵢₙ 

✈️ Приклад. У нашій упорядкованій вибірки найменше значення — 8, а найбільше — 16. Отже, 𝑅 = 16 – 8 = 8.

🔍 Мода вибірки 𝑀𝜊 — це значення, яке найчастіше зустрічається у вибірці (найпопулярніше).
✈️ Приклад. У нашому ряді: 8, 9, 9, 10, 12, 14, 15, 15, 15, 16.
Число 15 зустрічається аж тричі, 9 — двічі, інші — по одному разу.
Отже, 𝑀𝜊 = 15.

🔍 Медіана вибірки 𝑀𝑒 — це «середина» ранжированого ряду. Вона ділить упорядковану вибірку на дві рівні половини.
🔍 Якщо кількість даних непарна, медіана — це середнє значення в упорядкованому ряді.
🔍 Якщо кількість даних парна, медіана — це середнє арифметичне двох центральних значень.
✈️ Приклад. У нашій вибірці 10 елементів (парна кількість). Центральними є п'ятий та шостий елементи: 12 та 14.
Маємо: 𝑀𝑒 = (12 + 14)∕2 = 13.

🔍 Середнє значення вибірки 𝑥‾ — це сума всіх значень, поділена на їхню загальну кількість:

  𝑥‾ = (𝑥₁ + 𝑥₂ + ... + 𝑥ₙ)∕𝑛

     ✈️ Приклад. Знайдемо середню кількість замовлень за зміну:
𝑥‾ = (8 + 9 + 9 + 10 + 12 + 14 + 15 + 15 + 15 + 16)∕10 = 123∕10 = 12,3.

📸 Приклади розв'язання задач дивіться на скриншотах.

💬 Задавайте свої питання в коментарях!

🇺🇦@abitmath 🇺🇦@abitblog