🔥 Теореми теорії ймовірностей

Розглянемо більш докладно розділ теорії ймовірностей. Тут подивимося деякі важливі теореми, які допоможуть визначати ймовірності деяких подій.

✈️ Несумісні події — це дві події, коли вони не можуть відбутися одночасно. Тобто, якщо сталася одна подія, інша статися не може.
✈️ Приклад. Контролер перевіряє деталь. Подія 𝐴 — деталь відповідає стандарту, подія 𝐵 — деталь є бракованою. Деталь не може бути одночасно ідеальною і зіпсованою. Ці дві події є несумісними.

🔍 Теорема про ймовірність суми двох несумісних подій. Якщо дві події 𝐴 і 𝐵 є несумісними, то ймовірність того, що відбудеться хоча б одна з них, дорівнює сумі їхніх ймовірностей:

𝑃(𝐴∪𝐵) = 𝑃(𝐴) + 𝑃(𝐵).

✈️ Приклад. Здобувач знає 10 білетів з 30 на «відмінно» і 5 білетів на «добре». Знайдіть імовірність того, що здобувач витягне білет, який він знає хоча б на «добре».
✈️ Розв'язання. Фраза «знає хоча б на "добре"» означає, що здобувача влаштує білет, вивчений як на «добре», так і на «відмінно». Ці події є несумісними.
𝑃(𝐴) = 10/30 = 1/3 — імовірність витягнути білет із знанням на «відмінно».
𝑃(𝐵) = 5/30 = 1/6 — імовірність витягнути білет із знанням на «добре».
𝑃(𝐴∪𝐵) = 1/3 + 1/6 = 2/6 + 1/6 = 3/6 = 1/2.
Відповідь: 1/2🔺

🔍 Теорема про ймовірність протилежної події. Імовірність протилежної (доповняльної) події до 𝐴, тобто події, що 𝐴 не станеться, обчислюється за формулою:

𝑃(𝐴‾) = 1 − 𝑃(𝐴).

✈️ Приклад. Синоптики стверджують, що сьогодні ймовірність дощу на певній місцевості становить 30%. Визначте ймовірність того, що сьогодні дощу НЕ буде в цій місцевості.
𝑃(𝐴) = 0,3 — імовірність дощу на певній місцевості
𝑃(𝐴‾) = 1 − 0,3 = 0,7 — імовірність, що дощу НЕ буде в цій місцевості.
Відповідь: 0,7🔺

✈️ Незалежні події — це дві події, коли ймовірність однієї з них не залежить від того, чи сталася інша.
✈️ Приклад. Два стрільці стріляють одночасно в ціль. Те, чи влучить перший стрілець (подія 𝐴), ніяк не впливає на влучність другого (подія 𝐵). Кожен має свій рівень майстерності. Ці дві події є незалежними одна від одної.

🔍 Теорема про ймовірність добутку двох незалежних подій. Якщо події 𝐴 і 𝐵 незалежні, то ймовірність того, що вони відбудуться одночасно, дорівнює добутку їхніх ймовірностей:

𝑃(𝐴∩𝐵) = 𝑃(𝐴) ⋅ 𝑃(𝐵).

✈️ Приклад. Користувач забув перші дві цифри свого PIN-коду для розблокування смартфона. Знайдіть імовірність того, що він вгадає ці дві цифри з першої спроби.
✈️ Розв'язання. Маємо дві незалежні події:
𝑃(𝐴) = 1/10 — імовірність вгадати першу цифру.
𝑃(𝐵) = 1/10 — імовірність вгадати другу цифру незалежно від першої.
𝑃(𝐴∩𝐵) = 1/10 ⋅ 1/10 = 1/100 = 0,01.
Відповідь: 0,01🔺

📸 Приклади розв'язання задач дивіться на скриншотах.

💬 Задавайте свої питання в коментарях!

🇺🇦@abitmath 🇺🇦@abitblog

📌 Використання комбінаторики при знаходженні ймовірності

До цього моменту в задачах на знаходження ймовірності випадкової події ми обирали один об'єкт з групи об'єктів. Існують ситуації, коли потрібно послідовно вибрати декілька об'єктів з групи. Розглянемо, як шукати ймовірність у такому випадку.

🔍 Застосування розміщень. Ймовірністю випадкової події 𝐴 називають відношення кількості 𝑚 випадків, що сприяють появі події 𝐴, до кількості 𝑛 всіх рівноможливих випадків:

    𝑝(𝐴) = 𝑚∕𝑛.

Якщо обирається більше ніж один об'єкт, і порядок вибору МАЄ значення, то використовуємо розміщення (𝐴ₙᵏ) і правила комбінаторики для визначення 𝑚 і 𝑛.

✈️ Приклад 1. Заступник директора школи складає розклад на понеділок для 6 класу: потрібно обрати 5 різних уроків із 12 можливих предметів. Яка ймовірність того, що першим уроком буде математика, а останнім — географія?
✈️ Розв'язання. Розглянемо наступні випадки.
🔍 Загальна кількість способів обрати 5 різних уроків із 12 можливих предметів дорівнює кількості розміщень, бо всі уроки різні:
𝑛 = 𝐴₁₂⁵ = 12 ⋅ 11 ⋅ 10 ⋅ 9 ⋅ 8.
🔍 Математика і географія вже зафіксовані на 1-му та 5-му місцях. Залишилося розподілити 3 уроки (2-й, 3-й, 4-й) серед 10 предметів, що лишилися:
𝑚 = 𝐴₁₀³ = 10 ⋅ 9 ⋅ 8.
🔍 Імовірність того, що першим уроком буде математика, а п'ятим — географія:
       𝑝(𝐴) = 𝑚∕𝑛 = (10 ⋅ 9 ⋅ 8)∕(12 ⋅ 11 ⋅ 10 ⋅ 9 ⋅ 8) = 1∕132.
Відповідь: 1∕132. 🔺

🔍 Застосування комбінацій. Якщо обирається більше ніж один об'єкт, і порядок їх вибору НЕ має значення, то використовуємо комбінації (𝐶ₙᵏ) і правила комбінаторики для визначення 𝑚 і 𝑛.

✈️ Приклад 2. До офісу доставили партію з 15 нових робочих планшетів, але 3 з них виявилися з бракованими акумуляторами. Системний адміністратор навмання бере 2 планшети для налаштування. Яка ймовірність того, що обидва вибрані пристрої будуть без дефектів?
✈️ Розв'язання. Розглянемо наступні випадки.
🔍 Загальна кількість планшетів: 15. Кількість справних (без дефектів): 15 – 3 = 12.
🔍 Загальна кількість способів вибрати 2 будь-які планшети з 15:
𝑛 = 𝐶₁₅² = (15 ⋅ 14) ∕ (1 ⋅ 2) = 105.
🔍 Кількість способів вибрати 2 справні планшети з 12:
𝑚 = 𝐶₁₂² = (12 ⋅ 11) ∕ (1 ⋅ 2) = 66.
🔍 Імовірність того, що обидва планшети без дефектів: 
𝑝(𝐴) = 𝑚∕𝑛 = 66∕105 = 22∕35.
Відповідь: 22∕35. 🔺

✈️ Приклад 3. В ІТ-відділі компанії працює 6 розробників клієнтської частини та 4 розробники серверної частини. Керівник шляхом жеребкування обирає 4 фахівців для відрядження на конференцію. Яка ймовірність того, що буде вибрано рівно 2 розробники клієнтської частини і 2 розробники серверної частини?
✈️ Розв'язання. Розглянемо наступні випадки.
🔍 Загальна кількість працівників відділу: 6 + 4 = 10.
🔍 Загальна кількість способів вибрати 4 фахівців із 10:
𝑛 = 𝐶₁₀⁴ = (10 ⋅ 9 ⋅ 8 ⋅ 7) ∕ (1 ⋅ 2 ⋅ 3 ⋅ 4) = 210.
🔍 Кількість способів вибрати 2 розробники клієнтської частини із 6:
𝐶₆² = (6 ⋅ 5) ∕ (1 ⋅ 2) = 15.
🔍 Кількість способів вибрати 2 розробники серверної частини із 4:
𝐶₄² = (4 ⋅ 3) ∕ (1 ⋅ 2) = 6.
🔍 Щоб сформувати потрібну групу, маємо обрати І тих, І інших фахівців. За правилом добутку кількість сприятливих способів:
𝑚 = 𝐶₆² ⋅ 𝐶₄² = 15 ⋅ 6 = 90.
🔍 Імовірність того, що поїдуть по 2 фахівці кожного напрямку: 
       𝑝(𝐴) = 𝑚∕𝑛 = 90∕210 = 9∕21 = 3∕7.
Відповідь: 3∕7. 🔺

📸 Приклади розв'язання задач дивіться на скриншотах.

💬 Задавайте свої питання в коментарях!

🇺🇦@abitmath 🇺🇦@abitblog