🔥 Комбінації (сполуки)

Ми підійшли до найпопулярнішої теми комбінаторики на НМТ — комбінацій. Ми вже знаємо про перестановки та розміщення, де порядок мав серйозне значення. Але що робити, якщо нам потрібно просто вибрати групу людей чи набір предметів, де неважливо, хто був першим, а хто другим? Тут на допомогу приходять комбінації.

🔍 Комбінації — це сполуки з 𝑛 елементів по 𝑘, які відрізняються лише своїм складом. Порядок елементів у групі не є важливим.

𝐶ₙᵏ = 𝑛! ∕ (𝑘! ⋅ (𝑛 – 𝑘)!)

або через розміщення:

𝐶ₙᵏ = 𝐴ₙᵏ∕𝑘!

✈️ Основна відмінність. У розміщеннях (𝐴ₙᵏ) нам важливо, хто на якому місці (наприклад, президент і заступник). У комбінаціях (𝐶ₙᵏ) нам важливо просто «бути в команді» (наприклад, два делегати).

✈️ Приклад. У коробці є 10 різних настільних ігор. Скількома способами можна вибрати 3 гри, щоб взяти їх із собою до друзів?
✈️ Розв'язання. Оскільки нам неважливо, у якому порядку ми витягнемо ці 3 гри з коробки (склад групи ігор не зміниться), використовуємо комбінації:
𝐶₁₀³ = 10! ∕ (3! ⋅ (10 – 3)!) = (10 ⋅ 9 ⋅ 8) ∕ (1 ⋅ 2 ⋅ 3) = 720∕6 = 120.
Відповідь: 120. 🔺

✈️ Приклад. У ресторані для приготування салату шеф-кухар має обрати 2 види сиру з 6 наявних та 3 види овочів з 8 наявних. Скільки всього варіантів такого салату існує?
✈️ Розв'язання. Розглянемо ситуації:
1. Обираємо сир (2 з 6):
𝐶₆² = 6! ∕ (2! ⋅ (6 – 2)!) = (6 ⋅ 5 ⋅ 4!) ∕ (1 ⋅ 2 ⋅ 4!) = 15 варіантів.
2. Обираємо овочі (3 з 8):
𝐶₈³ = 8! ∕ (3! ⋅ (8 – 3)!) = (8 ⋅ 7 ⋅ 6 ⋅ 5!) ∕ (1 ⋅ 2 ⋅ 3 ⋅ 5!) = 56 варіантів.
3. Оскільки в салаті мають бути І сир, І овочі, за правилом добутку маємо:
15 ⋅ 56 = 840 способів.
Відповідь: 840. 🔺

✈️ Приклад. Керівник хоче відправити 3 співробітників на конференцію. Він може обрати їх або серед 7 розробників компанії, або серед 5 тестувальників. Скільки всього існує варіантів вибору групи?
✈️ Розв'язання. Розглянемо ситуації:
1. Варіанти вибору серед розробників (3 особи із 7):
𝐶₇³ = (7 ⋅ 6 ⋅ 5) ∕ (1 ⋅ 2 ⋅ 3) = 35.
2. Варіанти вибору серед тестувальників (3 особи із 5):
𝐶₅³ = (5 ⋅ 4 ⋅ 3) ∕ (1 ⋅ 2 ⋅ 3) = 10.
3. Оскільки керівник обирає групу АБО з першого відділу, АБО з другого, за правилом суми маємо:
35 + 10 = 45 способів.
Відповідь: 45. 🔺

📸 Приклади розв'язання задач дивіться на скриншотах.

💬 Задавайте свої питання в коментарях!

🇺🇦@abitmath 🇺🇦@abitblog

⚡️ Основні поняття теорії ймовірностей

Переходимо до нового розділу — теорії ймовірностей. Це математика випадковостей, яка допомагає оцінювати шанси в нашому непередбачуваному світі. Обов'язкова база для НМТ!

✈️ Випробування (експеримент) — дія або процес, що відбувається за певних умов і може мати різні результати.
✈️ Приклад: підкидання монети (випробування), результатом якого може бути випадіння цифри або числа.

✈️ Подія — це будь-який результат або набір результатів випробування.
✈️ Позначення: 𝐴, 𝐵, 𝐶, 𝐷 ...
✈️ Приклад: у випробуванні з підкиданням монети, подія «випадіння цифри» є одним з можливих результатів експерименту.

✈️ Випадкова подія — подія, яка може відбутися або не відбутися в результаті випробування. Наперед неможливо точно передбачити, чи відбудеться ця подія.
✈️ Приклад: у випробуванні з киданням грального кубика подія «випадіння парного числа» є випадковою, оскільки може випасти 2, 4 або 6.

✈️ Вірогідна подія — подія, яка обов'язково відбудеться в результаті даного випробування.
✈️ Позначення: 𝑈
✈️ Приклад: подія «після середи настане четвер» є вірогідною подією, якщо розглядати дні тижня як випробування.

✈️ Неможлива подія — подія, яка ніколи не відбудеться в результаті даного випробування.
✈️ Позначення: ∅
✈️ Приклад: подія «випадіння числа 7» при киданні стандартного шестигранного грального кубика є неможливою подією.

✈️ Рівноможливі (рівноймовірні) події — це декілька подій, кожна з яких має однакові шанси відбутися в результаті випробування.
✈️ Приклад: при навманні виборі відповіді в тесті НМТ серед варіантів А, Б, В, Г, Д подія «правильна відповідь А» та подія «правильна відповідь В» є рівноможливими.

🔍 Класичне визначення ймовірності події. Імовірністю події 𝐴 при проведенні деякого випробування називають відношення числа 𝑚 випадків, у результаті яких настає подія 𝐴, до загального числа 𝑛 усіх випадків цього випробування:
𝑝(𝐴) = 𝑚/𝑛
✈️ Приклад. У непрозорому ящику є 4 зелених кульки і 6 червоних кульки, які не відрізняються за розмірами. Визначте ймовірність, того, що з цього ящика вийнято зелену кульку.
✈️ Розв'язання. Нехай подія 𝐴 — «вийнято зелену кульку». Тоді:
𝑝(𝐴) = 𝑚/𝑛 = 4/10 = 0,4.
Тут 𝑚 = 4 — число способів вийняти одну зелену кульку, 𝑛 = 4 + 6 = 10 — число способів вийняти будь-яку кульку з ящику.

🔘 Імовірність вірогідної події: 𝑝(𝑈) = 1.
🔘 Імовірність неможливої події: 𝑝(∅) = 0.
🔘 Імовірність випадкової події: 0 < 𝑝(𝐴) < 1.

📸 Приклади розв'язання задач дивіться на скриншотах.

💬 Задавайте свої питання в коментарях!

🇺🇦@abitmath 🇺🇦@abitblog