⚡️ Розміщення

Ми продовжуємо занурення в комбінаторику. Ми вже знаємо, як розставити в ряд усі наявні предмети (це перестановки). Але що робити, якщо нам потрібно вибрати лише частину об’єктів і розставити їх на певні місця? Тут на допомогу приходять розміщення.

🔍 Розміщення — це комбінації з 𝑛 елементів по 𝑘, які відрізняються або складом елементів, або їхнім порядком.

𝐴ₙᵏ = 𝑛!∕(𝑛 – 𝑘)!

або простіше для обчислень:

𝐴ₙᵏ = 𝑛 ⋅ (𝑛 – 1) ⋅ ... ⋅ (𝑛 – 𝑘 + 1)

(добуток 𝑘 послідовних множників, починаючи з 𝑛).

✈️ Основна відмінність від перестановок: ми використовуємо не всі елементи, а лише 𝑘 із 𝑛.

✈️ Приклад. У фіналі кіберспортивного турніру беруть участь 8 команд. Скількома способами можна розподілити золоту, срібну та бронзову медалі?
✈️ Розв'язання. Оскільки нам важливо, хто займе 1-ше місце, а хто 3-тє (порядок має значення), і ми обираємо 3 команди з 8, то це розміщення:
𝐴₈³ = 8!∕(8 – 3)! = 8!∕5! = 8 ⋅ 7 ⋅ 6 = 336.
Відповідь: 336. 🔺

✈️ Приклад. В ІТ-компанії потрібно обрати керівника команди та його заступника серед 8 розробників, а також менеджера проєкту та помічника серед 5 дизайнерів. Скільки всього існує варіантів такого вибору?
✈️ Розв'язання. Розглянемо ситуації:
1. Обираємо керівника команди та заступника (2 ролі з 8 розробників):
𝐴₈² = 8 ⋅ 7 = 56 варіантів.
2. Обираємо менеджера та помічника (2 ролі з 5 дизайнерів):
𝐴₅² = 5 ⋅ 4 = 20 варіантів.
3. Оскільки нам потрібно сформувати І команду розробників, І команду дизайнерів, за правилом добутку маємо:
56 ⋅ 20 = 1120 способів.
Відповідь: 1120. 🔺

✈️ Приклад. Керівник відділу маркетингу має призначити відповідального та дублера для презентації. Він може обрати їх або серед 6 працівників креативного відділу, або серед 4 працівників аналітичного відділу. Скільки всього існує варіантів призначення?
✈️ Розв'язання. Розглянемо ситуації:
1. Варіанти вибору з креативного відділу (2 ролі з 6 осіб):
𝐴₆² = 6 ⋅ 5 = 30.
2. Варіанти вибору з аналітичного відділу (2 ролі з 4 осіб):
𝐴₄² = 4 ⋅ 3 = 12.
3. Оскільки керівник обирає пару АБО з першого відділу, АБО з другого, за правилом суми маємо:
30 + 12 = 42 способи.
Відповідь: 42. 🔺

📸 Приклади розв'язання задач дивіться на скриншотах.

💬 Задавайте свої питання в коментарях!

🇺🇦@abitmath 🇺🇦@abitblog

🔥 Комбінації (сполуки)

Ми підійшли до найпопулярнішої теми комбінаторики на НМТ — комбінацій. Ми вже знаємо про перестановки та розміщення, де порядок мав серйозне значення. Але що робити, якщо нам потрібно просто вибрати групу людей чи набір предметів, де неважливо, хто був першим, а хто другим? Тут на допомогу приходять комбінації.

🔍 Комбінації — це сполуки з 𝑛 елементів по 𝑘, які відрізняються лише своїм складом. Порядок елементів у групі не є важливим.

𝐶ₙᵏ = 𝑛! ∕ (𝑘! ⋅ (𝑛 – 𝑘)!)

або через розміщення:

𝐶ₙᵏ = 𝐴ₙᵏ∕𝑘!

✈️ Основна відмінність. У розміщеннях (𝐴ₙᵏ) нам важливо, хто на якому місці (наприклад, президент і заступник). У комбінаціях (𝐶ₙᵏ) нам важливо просто «бути в команді» (наприклад, два делегати).

✈️ Приклад. У коробці є 10 різних настільних ігор. Скількома способами можна вибрати 3 гри, щоб взяти їх із собою до друзів?
✈️ Розв'язання. Оскільки нам неважливо, у якому порядку ми витягнемо ці 3 гри з коробки (склад групи ігор не зміниться), використовуємо комбінації:
𝐶₁₀³ = 10! ∕ (3! ⋅ (10 – 3)!) = (10 ⋅ 9 ⋅ 8) ∕ (1 ⋅ 2 ⋅ 3) = 720∕6 = 120.
Відповідь: 120. 🔺

✈️ Приклад. У ресторані для приготування салату шеф-кухар має обрати 2 види сиру з 6 наявних та 3 види овочів з 8 наявних. Скільки всього варіантів такого салату існує?
✈️ Розв'язання. Розглянемо ситуації:
1. Обираємо сир (2 з 6):
𝐶₆² = 6! ∕ (2! ⋅ (6 – 2)!) = (6 ⋅ 5 ⋅ 4!) ∕ (1 ⋅ 2 ⋅ 4!) = 15 варіантів.
2. Обираємо овочі (3 з 8):
𝐶₈³ = 8! ∕ (3! ⋅ (8 – 3)!) = (8 ⋅ 7 ⋅ 6 ⋅ 5!) ∕ (1 ⋅ 2 ⋅ 3 ⋅ 5!) = 56 варіантів.
3. Оскільки в салаті мають бути І сир, І овочі, за правилом добутку маємо:
15 ⋅ 56 = 840 способів.
Відповідь: 840. 🔺

✈️ Приклад. Керівник хоче відправити 3 співробітників на конференцію. Він може обрати їх або серед 7 розробників компанії, або серед 5 тестувальників. Скільки всього існує варіантів вибору групи?
✈️ Розв'язання. Розглянемо ситуації:
1. Варіанти вибору серед розробників (3 особи із 7):
𝐶₇³ = (7 ⋅ 6 ⋅ 5) ∕ (1 ⋅ 2 ⋅ 3) = 35.
2. Варіанти вибору серед тестувальників (3 особи із 5):
𝐶₅³ = (5 ⋅ 4 ⋅ 3) ∕ (1 ⋅ 2 ⋅ 3) = 10.
3. Оскільки керівник обирає групу АБО з першого відділу, АБО з другого, за правилом суми маємо:
35 + 10 = 45 способів.
Відповідь: 45. 🔺

📸 Приклади розв'язання задач дивіться на скриншотах.

💬 Задавайте свої питання в коментарях!

🇺🇦@abitmath 🇺🇦@abitblog