✏️ Перестановки

Ми продовжуємо вивчати комбінаторику! Ми вже знаємо, як вибирати об’єкти за допомогою правил суми та добутку. Сьогодні ми навчимося їх упорядковувати. Коли нам важливо не просто обрати речі, а розставити їх у певному порядку, на допомогу приходять перестановки.

🔍 Факторіал натурального числа 𝑛 (позначається як 𝑛!) — це добуток усіх натуральних чисел від 1 до 𝑛 включно.

𝑛! = 1 ⋅ 2 ⋅ 3 ⋅ ... ⋅ 𝑛

✈️ Приклади:
🔍 1! = 1
🔍 3! = 1 ⋅ 2 ⋅ 3 = 6
🔍 5! = 1 ⋅ 2 ⋅ 3 ⋅ 4 ⋅ 5 = 120
Зверніть увагу! За домовленістю 0! = 1.

🔍 Перестановки — це комбінації, що складаються з одних і тих самих 𝑛 елементів і відрізняються лише порядком їхнього розміщення.

𝑃ₙ = 𝑛!

✈️ Коли застосовуємо: коли ми використовуємо УСІ наявні об’єкти й міняємо їх місцями (черга, розстановка книг на полиці, порядок пісень у плейлисті тощо).

✈️ Приклад. У магазині на полиці потрібно виставити 5 нових моделей смартфонів у ряд. Скількома способами можна це зробити?
✈️ Розв'язання. Оскільки ми розставляємо всі 5 смартфонів, то кількість варіантів — це кількість перестановок із 5 елементів:
𝑃₅ = 5! = 1 ⋅ 2 ⋅ 3 ⋅ 4 ⋅ 5 = 120.
Відповідь: 120. 🔺

✈️ Приклад. У фотосесії беруть участь 3 дівчини та 2 хлопці. Скількома способами вони можуть стати в ряд для фото, якщо спочатку мають стояти всі дівчата, а за ними — всі хлопці?
✈️ Розв'язання. Маємо ситуації:
1. Розставляємо 3 дівчат на перших трьох позиціях: 𝑃₃ = 3! = 1 ⋅ 2 ⋅ 3 = 6 способів.
2. Розставляємо 2 хлопців на наступних двох позиціях: 𝑃₂ = 2! = 1 ⋅ 2 = 2 способи.
3. Оскільки нам потрібно розставити І дівчат, І хлопців, за правилом добутку маємо: 6 ⋅ 2 = 12 способів.
Відповідь: 12. 🔺

✈️ Приклад. Дизайнер інтер'єру має розставити на полиці або набір із 4 різних ваз, або набір із 3 різних свічників. Скільки всього існує варіантів розстановки одного з цих наборів?
✈️ Розв'язання. Розглянемо ситуації:
1. Кількість варіантів розставити вази: 𝑃₄ = 4! = 24.
2. Кількість варіантів розставити свічники: 𝑃₃ = 3! = 6.
3. Оскільки дизайнер обирає АБО розстановку ваз, АБО розстановку свічників, за правилом суми маємо: 24 + 6 = 30 способів.
Відповідь: 30. 🔺

📸 Приклади розв'язання задач дивіться на скриншотах.

💬 Задавайте свої питання в коментарях!

🇺🇦@abitmath 🇺🇦@abitblog

⚡️ Розміщення

Ми продовжуємо занурення в комбінаторику. Ми вже знаємо, як розставити в ряд усі наявні предмети (це перестановки). Але що робити, якщо нам потрібно вибрати лише частину об’єктів і розставити їх на певні місця? Тут на допомогу приходять розміщення.

🔍 Розміщення — це комбінації з 𝑛 елементів по 𝑘, які відрізняються або складом елементів, або їхнім порядком.

𝐴ₙᵏ = 𝑛!∕(𝑛 – 𝑘)!

або простіше для обчислень:

𝐴ₙᵏ = 𝑛 ⋅ (𝑛 – 1) ⋅ ... ⋅ (𝑛 – 𝑘 + 1)

(добуток 𝑘 послідовних множників, починаючи з 𝑛).

✈️ Основна відмінність від перестановок: ми використовуємо не всі елементи, а лише 𝑘 із 𝑛.

✈️ Приклад. У фіналі кіберспортивного турніру беруть участь 8 команд. Скількома способами можна розподілити золоту, срібну та бронзову медалі?
✈️ Розв'язання. Оскільки нам важливо, хто займе 1-ше місце, а хто 3-тє (порядок має значення), і ми обираємо 3 команди з 8, то це розміщення:
𝐴₈³ = 8!∕(8 – 3)! = 8!∕5! = 8 ⋅ 7 ⋅ 6 = 336.
Відповідь: 336. 🔺

✈️ Приклад. В ІТ-компанії потрібно обрати керівника команди та його заступника серед 8 розробників, а також менеджера проєкту та помічника серед 5 дизайнерів. Скільки всього існує варіантів такого вибору?
✈️ Розв'язання. Розглянемо ситуації:
1. Обираємо керівника команди та заступника (2 ролі з 8 розробників):
𝐴₈² = 8 ⋅ 7 = 56 варіантів.
2. Обираємо менеджера та помічника (2 ролі з 5 дизайнерів):
𝐴₅² = 5 ⋅ 4 = 20 варіантів.
3. Оскільки нам потрібно сформувати І команду розробників, І команду дизайнерів, за правилом добутку маємо:
56 ⋅ 20 = 1120 способів.
Відповідь: 1120. 🔺

✈️ Приклад. Керівник відділу маркетингу має призначити відповідального та дублера для презентації. Він може обрати їх або серед 6 працівників креативного відділу, або серед 4 працівників аналітичного відділу. Скільки всього існує варіантів призначення?
✈️ Розв'язання. Розглянемо ситуації:
1. Варіанти вибору з креативного відділу (2 ролі з 6 осіб):
𝐴₆² = 6 ⋅ 5 = 30.
2. Варіанти вибору з аналітичного відділу (2 ролі з 4 осіб):
𝐴₄² = 4 ⋅ 3 = 12.
3. Оскільки керівник обирає пару АБО з першого відділу, АБО з другого, за правилом суми маємо:
30 + 12 = 42 способи.
Відповідь: 42. 🔺

📸 Приклади розв'язання задач дивіться на скриншотах.

💬 Задавайте свої питання в коментарях!

🇺🇦@abitmath 🇺🇦@abitblog