🔥 Комбінаторні правила суми й добутку

За опитуванням підписників сьогодні розглядаємо комбінаторику — це розділ математики, присвячений розв'язуванню задач вибору та розміщення об'єктів. Ця тема є важливою, оскільки часто її можна зустріти на НМТ. Почнімо вивчення комбінаторики з найпростіших правил.

🔍 Правило суми. Якщо якийсь один об'єкт з групи 𝐴 можна вибрати 𝑚 способами, а один об'єкт з групи 𝐵 — 𝑛 способами, то вибір одного об'єкта з групи 𝐴 або з групи 𝐵 можна здійснити 𝑚 + 𝑛 способами.

✈️ Коли застосовуємо: правило суми застосовуємо коли обираємо лише один об'єкт з різних груп; орієнтуємося на сполучники «або», «чи».

✈️ Приклад. У рюкзаку школяра є 5 підручників і 7 зошитів. Скількома способами можна вибрати один підручник або один зошит?
✈️ Розв'язання. Один підручник із 5 можна вибрати 5 способами, а один зошит із 7 — 7 способами. Оскільки треба обрати підручник АБО зошит, то за правилом суми один предмет можна вибрати 5 + 7 = 12 способами.
Відповідь: 12. 🔺

🔍 Правило добутку. Якщо якийсь один об'єкт з групи 𝐴 можна вибрати 𝑚 способами, а один об'єкт з групи 𝐵 — 𝑛 способами, то вибір одного об'єкта з групи 𝐴 та одного об'єкта з групи 𝐵 можна здійснити 𝑚 ⋅ 𝑛 способами.

✈️ Коли застосовуємо: правило добутку застосовуємо коли обираємо кілька об'єктів з різних груп; орієнтуємося на сполучники «та», «і», «й».

✈️ Приклад. У рюкзаку школяра є 5 підручників і 7 зошитів. Скількома способами можна вибрати пару, яка складається із одного підручника й одного зошита?
✈️ Розв'язання. Із рюкзака обрати один підручник із п'яти можна 5 способами, а один зошит із 7 — 7 способами. Оскільки треба обрати підручник І зошит, то за правилом добутку це можна зробити 5 ⋅ 7 = 35 способами.
Відповідь: 35. 🔺

✈️ Часто в комбінаторних задачах потрібно використовувати різні правила в одній задачі і правильні логічні міркування. Розглянемо приклади таких задач.

✈️ Приклад. У магазині одягу є 5 видів футболок, 4 види сорочок та 6 варіантів джинсів. Клієнт хоче купити комплект: або футболку з джинсами, або сорочку з джинсами. Скільки всього варіантів вибору?
✈️ Розв'язання. Розглянемо ситуації:
1. «Футболка + джинси»: за правилом добутку 5 ⋅ 6 = 30 варіантів.
2. «Сорочка + джинси»: за правилом добутку 4 ⋅ 6 = 24 варіантів.
3. Тоді один із цих двох комплектів він може вибрати 30 + 24 = 54 способами.
Відповідь: 54. 🔺

✈️ Приклад. Для входу в електронний щоденник система генерує тимчасовий пароль. Він складається з трьох цифр, а останнім символом обов'язково є один із спеціальних символів: «!», «?», «.», «*» або «&». Скільки всього таких паролів існує?
✈️ Розв'язання. Для кожної з трьох позицій цифр є по 10 варіантів (цифри 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9 — усього 10). Для символу — 5 варіантів. Оскільки треба створити пароль із трьох цифри І спеціального символу, то за правилом добутку маємо 10 ⋅ 10 ⋅ 10 ⋅ 5 = 5000 паролів.
Відповідь: 5000. 🔺

✈️ Приклад. Здобувач вищої освіти складає тест, який складається з 8 запитань. На кожне запитання можна відповісти лише «правильно» або «неправильно». Скільки всього існує варіантів заповнення такого тесту?
✈️ Розв'язання. Для кожного з 8 запитань є 2 варіанти відповіді. Оскільки треба відповісти на всі 8 запитань, то за правилом добутку маємо 2 ⋅ 2 ⋅ 2 ⋅ 2 ⋅ 2 ⋅ 2 ⋅ 2 ⋅ 2 = 2⁸ = 256 варіантів.
Відповідь: 256. 🔺

📸 Приклади розв'язання задач дивіться на скриншотах.

💬 Задавайте свої питання в коментарях!

🇺🇦@abitmath 🇺🇦@abitblog

✏️ Перестановки

Ми продовжуємо вивчати комбінаторику! Ми вже знаємо, як вибирати об’єкти за допомогою правил суми та добутку. Сьогодні ми навчимося їх упорядковувати. Коли нам важливо не просто обрати речі, а розставити їх у певному порядку, на допомогу приходять перестановки.

🔍 Факторіал натурального числа 𝑛 (позначається як 𝑛!) — це добуток усіх натуральних чисел від 1 до 𝑛 включно.

𝑛! = 1 ⋅ 2 ⋅ 3 ⋅ ... ⋅ 𝑛

✈️ Приклади:
🔍 1! = 1
🔍 3! = 1 ⋅ 2 ⋅ 3 = 6
🔍 5! = 1 ⋅ 2 ⋅ 3 ⋅ 4 ⋅ 5 = 120
Зверніть увагу! За домовленістю 0! = 1.

🔍 Перестановки — це комбінації, що складаються з одних і тих самих 𝑛 елементів і відрізняються лише порядком їхнього розміщення.

𝑃ₙ = 𝑛!

✈️ Коли застосовуємо: коли ми використовуємо УСІ наявні об’єкти й міняємо їх місцями (черга, розстановка книг на полиці, порядок пісень у плейлисті тощо).

✈️ Приклад. У магазині на полиці потрібно виставити 5 нових моделей смартфонів у ряд. Скількома способами можна це зробити?
✈️ Розв'язання. Оскільки ми розставляємо всі 5 смартфонів, то кількість варіантів — це кількість перестановок із 5 елементів:
𝑃₅ = 5! = 1 ⋅ 2 ⋅ 3 ⋅ 4 ⋅ 5 = 120.
Відповідь: 120. 🔺

✈️ Приклад. У фотосесії беруть участь 3 дівчини та 2 хлопці. Скількома способами вони можуть стати в ряд для фото, якщо спочатку мають стояти всі дівчата, а за ними — всі хлопці?
✈️ Розв'язання. Маємо ситуації:
1. Розставляємо 3 дівчат на перших трьох позиціях: 𝑃₃ = 3! = 1 ⋅ 2 ⋅ 3 = 6 способів.
2. Розставляємо 2 хлопців на наступних двох позиціях: 𝑃₂ = 2! = 1 ⋅ 2 = 2 способи.
3. Оскільки нам потрібно розставити І дівчат, І хлопців, за правилом добутку маємо: 6 ⋅ 2 = 12 способів.
Відповідь: 12. 🔺

✈️ Приклад. Дизайнер інтер'єру має розставити на полиці або набір із 4 різних ваз, або набір із 3 різних свічників. Скільки всього існує варіантів розстановки одного з цих наборів?
✈️ Розв'язання. Розглянемо ситуації:
1. Кількість варіантів розставити вази: 𝑃₄ = 4! = 24.
2. Кількість варіантів розставити свічники: 𝑃₃ = 3! = 6.
3. Оскільки дизайнер обирає АБО розстановку ваз, АБО розстановку свічників, за правилом суми маємо: 24 + 6 = 30 способів.
Відповідь: 30. 🔺

📸 Приклади розв'язання задач дивіться на скриншотах.

💬 Задавайте свої питання в коментарях!

🇺🇦@abitmath 🇺🇦@abitblog