⚡️ Рівняння виду tg 𝑥 = 𝑎

Завершуємо розглядати найпростіші тригонометричні рівняння. Останнім буде рівняння виду tg 𝑥 = 𝑎.

1️⃣ Розв'язання за формулою

✈️ На проміжку (−𝜋/2; 𝜋/2) функція 𝑦 = tg 𝑥 зростає (від −∞ до +∞), тому рівняння tg 𝑥 = 𝑎 при будь-якому значенні 𝑎 має тільки один корінь 𝑥₁ = arctg 𝑎 на цьому проміжку (див. скриншот).

🔍 З урахуванням того, що функція 𝑦 = tg 𝑥 періодична з періодом 𝜋 і всі інші корені відрізняються від знайденого на 𝜋𝑛 (𝑛∈𝑍), одержуємо таку формулу коренів рівняння tg 𝑥 = 𝑎:

𝑥 = arctg 𝑎 + 𝜋𝑛, 𝑛∈𝑍.

При 𝑎 = 0 маємо arctg 0 = 0, отже, рівняння tg 𝑥 = 0 має корені 𝑥 = 𝜋𝑛, 𝑛∈𝑍.

2️⃣ Розв'язання за графіком

Функція 𝑦 = tg 𝑥 є періодичною з періодом 𝜋 і приймає значення від −∞ до +∞.
🔘 Будуємо графік функції 𝑦 = tg 𝑥.
🔘 Проводимо горизонтальну пряму 𝑦 = 𝑎.
🔘 При будь-якому 𝑎 графіки перетинаються в точках, що відповідають розв’язкам 𝑥 = arctg 𝑎 + 𝜋𝑛, 𝑛∈𝑍.

3️⃣ Розв’язання за одиничним колом

Функція 𝑦 = tg 𝑥 визначає тангенс як відношення ординати точки до її абсциси. Для наочності використовують додаткову вертикальну пряму.
🔘 Будуємо лінію тангенсів. Проводимо вертикальну пряму, що дотикається до одиничного кола в точці (1; 0). Ця пряма паралельна осі 𝑂𝑦.
🔘 Відкладаємо значення 𝑎. На цій лінії тангенсів позначаємо точку з ординатою 𝑎. Тобто відраховуємо відстань 𝑎 вгору (якщо 𝑎 > 0) або вниз (якщо 𝑎 < 0) від осі 𝑂𝑥.
🔘 Знаходимо точки на колі. З'єднуємо отриману точку на лінії тангенсів із центром кола (початком координат) прямою лінією. Ця пряма перетне одиничне коло у двох точках, що лежать на протилежних кінцях діаметра.
🔘 Записуємо розв’язок. Кут, що відповідає першій точці (у правій півкулі), дорівнює arctg 𝑎. Оскільки точки повторюються рівно через пів кола (180° або π), загальна формула має вигляд: 𝑥 = arctg 𝑎 + 𝜋𝑛, 𝑛∈𝑍.

📸 Приклади розв'язання задач дивіться на скриншотах.

💬 Задавайте свої питання в коментарях!

🇺🇦@abitmath 🇺🇦@abitblog