⚡️ Рівняння виду cos 𝑥 = 𝑎

До найпростіших тригонометричних рівнянь належать рівняння cos 𝑥 = 𝑎, sin 𝑥 = 𝑎 і tg 𝑥 = 𝑎. Розглянемо окремо кожен вид рівнянь. Почнемо з рівняння виду cos 𝑥 = 𝑎 та способів їх розв'язання.

1️⃣ Розв'язання за формулою

Якщо –1 ⩽ 𝑎 ⩽ 1, то рівняння має такі розв'язки:

𝑥 = ±arccos 𝑎 + 2𝜋𝑘, 𝑘∈𝑍.

Якщо 𝑎 < –1 або 𝑎 > 1, то рівняння немає розв'язків, оскільки косинус не може набувати таких значень.

🔍 Окремі випадки:
🔍 якщо cos 𝑥 = 1, то 𝑥 = 2𝜋𝑘, 𝑘∈𝑍;
🔍 якщо cos 𝑥 = 0, то 𝑥 = 𝜋/2 + 𝜋𝑘, 𝑘∈𝑍;
🔍 якщо cos 𝑥 = –1, то 𝑥 = 𝜋 + 2𝜋𝑘, 𝑘∈𝑍.

2️⃣ Розв'язання за графіком

Функція 𝑦 = cos 𝑥 є періодичною з періодом 2𝜋 і приймає значення від −1 до 1.
🔘 Будуємо графік 𝑦 = cos 𝑥.
🔘 Проводимо горизонтальну пряму 𝑦 = 𝑎.
🔘 Якщо −1 ⩽ 𝑎 ⩽ 1, вона перетинає графік косинуса у точках, що відповідають розв’язкам 𝑥 = ±arccos 𝑎 + 2𝜋𝑘, 𝑘∈𝑍.
🔘 Якщо 𝑎 < –1 або 𝑎 > 1, рівняння не має розв’язків, бо пряма не перетинатиме графік косинуса.

3️⃣ Розв’язання за одиничним колом

Функція 𝑦 = cos 𝑥 визначає косинус як абсцису точки на одиничному колі.
🔘Будуємо коло з радіусом 1 і проводимо вертикальну пряму 𝑥 = 𝑎.
🔘Якщо −1 ⩽ 𝑎 ⩽ 1, ця пряма перетинає коло у двох точках; абсциси цих точок визначають кут 𝑥 = ±arccos 𝑎 + 2𝜋𝑘, 𝑘∈𝑍.
🔘Якщо 𝑎 < –1 або 𝑎 > 1, лінія не перетинає коло, тому розв’язків не буде.

📸 Приклади розв'язання задач дивіться на скриншотах.

💬 Задавайте свої питання в коментарях!

🇺🇦@abitmath 🇺🇦@abitblog