⚡️ Обернені тригонометричні функції

Уже зовсім скоро ми навчимося з вами розв'язувати рівняння виду sin 𝑥 = 𝑎, cos 𝑥 = 𝑎 і tg 𝑥 = 𝑎. Але перед цим потрібно вміти знаходити вирази, обернені до sin 𝑥, cos 𝑥 і tg 𝑥. Що це за вирази і як з ними працювати, подивимося в цьому пості.

🔍 Обернені тригонометричні функції — це функції, які дозволяють знайти кут за відомим значенням тригонометричної функції.

✈️ Для одержання обернених тригонометричних функцій для кожної тригонометричної функції виділяють проміжок, на якому вона зростає (або спадає). Для позначення обернених тригонометричних функцій перед відповідною функцією ставиться буквосполучення «arc» (читається: «арк»).

1️⃣ Арксинус 𝑦 = arcsin 𝑥 — це функція, обернена до синуса (див. скриншот). Вона визначає кут 𝛼∈[–𝜋/2; 𝜋/2], для якого sin 𝛼 = 𝑏.
🔍 Область визначення: −1 ⩽ 𝑥 ⩽ 1.
🔍 Множина значень: −𝜋/2 ⩽ 𝑦 ⩽ 𝜋/2.
🔍 Функція непарна: arcsin (–𝑥) = –arcsin 𝑥.

✈️ Приклад 1. Обчисліть arcsin √2/2.
✈️ Розв'язання. Оскільки sin 𝜋/4 = √2/2 і 𝜋/4∈[–𝜋/2; 𝜋/2], то arcsin √2/2 = 𝜋/4.
Відповідь: 𝜋/4. 🔺

✈️ Приклад 2. Обчисліть arcsin (–1).
✈️ Розв'язання. За властивістю арксинуса arcsin (–1) = –arcsin 1.
Оскільки sin 𝜋/2 = 1 і 𝜋/2∈[–𝜋/2; 𝜋/2], то arcsin (–1) = –𝜋/2.
Відповідь: –𝜋/2. 🔺

2️⃣ Арккосинус 𝑦 = arccos 𝑥 — це функція, обернена до косинуса (див. скриншот). Вона визначає кут 𝛼∈[0; 𝜋], для якого cos 𝛼 = 𝑏.
🔍 Область визначення: −1 ⩽ 𝑥 ⩽ 1.
🔍 Множина значень: 0 ⩽ 𝑦 ⩽ 𝜋.
🔍 Функція ні парна, ні непарна: arccos (–𝑥) = 𝜋 – arccos 𝑥.

✈️ Приклад 3. Обчисліть arccos 0.
✈️ Розв'язання. Оскільки cos 𝜋/2 = 0 і 𝜋/2∈[0; 𝜋], то arccos 0 = 𝜋/2.
Відповідь: 𝜋/2. 🔺

✈️ Приклад 4. Обчисліть arccos (–1/2).
✈️ Розв'язання. За властивістю арккосинуса arccos (–1/2) = 𝜋 – arccos 1/2.
Оскільки cos 𝜋/3 = 1/2 і 𝜋/3∈[0; 𝜋], то arccos (–1/2) = 𝜋 – 𝜋/3 = 3𝜋/3 – 𝜋/3 = 2𝜋/3.
Відповідь: 2𝜋/3. 🔺

3️⃣ Арктангенс 𝑦 = arctg 𝑥 — це функція, обернена до тангенса (див. скриншот). Вона визначає кут 𝛼, для якого tg 𝛼 = 𝑏.
🔍 Область визначення: 𝑥∈(−∞; +∞).
🔍 Множина значень: −𝜋/2 < 𝑦 < 𝜋/2.
🔍 Функція непарна: arctg (–𝑥) = –arctg 𝑥.

✈️ Приклад 5. Обчисліть arctg √3/3.
✈️ Розв'язання. Оскільки tg 𝜋/6 = √3/3 і 𝜋/6∈(–𝜋/2; 𝜋/2), то arctg √3/3 = 𝜋/6.
Відповідь: 𝜋/6. 🔺

✈️ Приклад 6. Обчисліть arctg (–√3).
✈️ Розв'язання. За властивістю арктангенса arctg (–√3) = –arctg √3.
Оскільки tg 𝜋/3 = √3 і 𝜋/3∈(–𝜋/2; 𝜋/2), то arctg (–√3) = –𝜋/3.
Відповідь: –𝜋/3. 🔺

📸 Приклади розв'язання задач дивіться на скриншотах.

💬 Задавайте свої питання в коментарях!

🇺🇦@abitmath 🇺🇦@abitblog