⚡️ Основні тригонометричні формули

Сьогодні подивимося найважливіші тригонометричні формули, за допомогою яких можна спрощувати тригонометричні вирази. У цьому пості будуть наведені основні тригонометричні тотожності та формули подвійного аргументу, а також стратегії їх використання.

🔍 Основні тригонометричні формули для НМТ. У тригонометрії існує ряд основних тотожностей, які допомагають спрощувати вирази та розв’язувати рівняння. Важливо вміти їх швидко розпізнавати та застосовувати.

1️⃣Основна тригонометрична тотожність:

sin² 𝛼 + cos² 𝛼 = 1

Наслідки:
🔍 sin² 𝛼 = 1 – cos² 𝛼;
🔍 cos² 𝛼 = 1 – sin² 𝛼.

2️⃣ Визначення тангенса:

tg 𝛼 = sin 𝛼/cos 𝛼

3️⃣ Тотожність для тангенса:

1 + tg² 𝛼 = 1/cos² 𝛼

4️⃣ Формули подвійного аргумента:

sin 2𝛼 = 2 sin 𝛼 cos 𝛼;
cos 2𝛼 = cos² 𝛼 – sin² 𝛼.

Наслідки:
🔍 cos 2𝛼 = 2 cos² 𝛼 – 1;
🔍 cos 2𝛼 = 1 – 2 sin² 𝛼.

✈️ Стратегії спрощення тригонометричних виразів. Щоб ефективно спрощувати тригонометричні вирази, необхідно слідувати таким крокам.

1️⃣ Розпізнавати тригонометричні формули. Завжди шукайте знайомі вирази.
✈️ Приклад: sin² 𝛼 + cos² 𝛼 + tg² 𝛼 = (sin² 𝛼 + cos² 𝛼) + tg² 𝛼 = 1 + tg² 𝛼 = 1/cos² 𝛼.

2️⃣ Зводити функції до синуса і косинуса. Якщо вираз складається з різних тригонометричних функцій, то зазвичай тангенси замінюють через tg 𝛼 = sin 𝛼/cos 𝛼, щоб мати лише синуси та косинуси.
✈️ Приклад: cos 𝛼 ⋅ tg 𝛼 = cos 𝛼 ⋅ sin 𝛼/cos 𝛼 = sin 𝛼.

3️⃣ Урівнювати кути у функціях. Якщо в прикладі є, наприклад, sin 2𝛼 і cos 𝛼, можна звести все до однакового аргументу 𝛼. Для цього застосовуються формули подвійного аргумента: sin 2𝛼 = 2 sin 𝛼 cos 𝛼 і cos 2𝛼 = cos² 𝛼 – sin² 𝛼.
✈️ Приклад: cos 2𝛼 + sin² 𝛼 = cos² 𝛼 – sin² 𝛼 + sin² 𝛼 = cos² 𝛼.

4️⃣ Застосовувати методи спрощення виразів. Застосування формул скороченого множення
1) (𝑎 + 𝑏)(𝑎 – 𝑏) = 𝑎² – 𝑏²;
2) (𝑎 + 𝑏)² = 𝑎² + 2𝑎𝑏 + 𝑏²;
3) (𝑎 – 𝑏)² = 𝑎² – 2𝑎𝑏 + 𝑏².
✈️ Приклад: (cos 𝛼 – sin 𝛼)(cos 𝛼 + sin 𝛼) = cos² 𝛼 – sin² 𝛼 = cos 2𝛼.

5️⃣ Винесення спільного множника за дужки. Якщо бачите спільний числовий множник або повтор тригонометричної функції, то можна спробувати винести його за дужки, щоб отримати в дужках певну тригонометричну тотожність.
✈️ Приклад: (2 – 2cos² 𝛼) / sin 𝛼 = 2(1 – cos² 𝛼) / sin 𝛼 = 2 sin² 𝛼 / sin 𝛼 = 2sin 𝛼.

📸 Приклади розв'язання задач дивіться на скриншотах.

💬 Задавайте свої питання в коментарях!

🇺🇦@abitmath 🇺🇦@abitblog