🔥 Парність, непарність і періодичність тригонометричних функцій

У цьому пості ми розглянемо поняття парності і непарності синуса, косинуса і тангенса, а також визначимо періодичність цих функцій, що може допомогти обчислювати значення функцій кутів, більших за 360°.

🔍 Парність і непарність тригонометричних функцій. Розглянемо точку 𝑃(𝑥; 𝑦) на одиничному колі, яка відповідає куту 𝛼.
🔍 Косинус кута — це абсциса цієї точки: cos(𝛼) = 𝑥.
🔍 Синус кута — це ордината цієї точки: sin(𝛼) = 𝑦.
🔍 Тангенс кута визначається як tg(𝛼) = sin(𝛼)/cos(𝛼).

✈️Якщо замінити 𝛼 на −𝛼 (відбиття точки відносно осі 𝑂𝑥), то:
🔍абсциса точки (значення косинуса) залишається незмінною, тобто cos(−𝛼) = cos(𝛼).
🔍ордината точки (значення синуса) змінює знак: sin(−𝛼) = −sin(𝛼).
🔍тангенс також змінює знак, оскільки він є відношенням синуса до косинуса: tg(−𝛼) = sin(−𝛼)/cos(−𝛼) = −sin(𝛼)/cos(𝛼) = −tg(𝛼).

🔍 Висновки:
🔍 синус — непарна функція, бо sin(−𝛼) = −sin(𝛼);
🔍 косинус — парна функція, бо cos(−𝛼) = cos(𝛼);
🔍 тангенс — непарна функція, бо tg(−𝛼) = −tg(𝛼).

🔍 Періодичність тригонометричних функцій. Функція 𝑓(𝑥) називається періодичною, якщо існує таке число 𝑇 > 0, що для всіх 𝑥 виконується рівність:

𝑓(𝑥 – 𝑇) = 𝑓(𝑥) = 𝑓(𝑥 + 𝑇).

Число 𝑇 називається найменшим додатним періодом функції.

✈️Розглянемо точку 𝑃(𝑥; 𝑦) на одиничному колі, яка відповідає куту 𝛼.

✈️Для синуса маємо:
🔍ордината точки на одиничному колі визначає значення sin(𝛼);
🔍якщо до кута 𝛼 додати 2𝜋, точка повернеться у вихідне положення (пройде все коло), тобто: sin(𝛼 + 2𝜋) = sin(𝛼);
🔍найменший додатний період синуса: 𝑇 = 2𝜋.

✈️Для косинуса маємо:
🔍абсциса точки на одиничному колі визначає значення cos(𝛼);
🔍додавши 2𝜋 до кута, ми отримуємо той самий косинус, оскільки точка повертається у вихідне положення: cos(𝛼 + 2𝜋) = cos(𝛼);
🔍найменший додатний період косинуса: 𝑇 = 2𝜋.

✈️Для тангенса маємо:
🔍оскільки tg(𝛼) = sin(𝛼)/cos(𝛼), то потрібно знайти, коли значення тангенса повторюється;
🔍Якщо додати до кута 𝜋, то точка переміститься в протилежну точку кола, тобто: tg(𝛼 + 𝜋) = sin(𝛼 + 𝜋)/cos(𝛼 + 𝜋) = [–sin(𝛼)]/[–cos(𝛼)] = sin(𝛼)/cos(𝛼) = tg(𝛼);
🔍найменший додатний період тангенса: 𝑇 = 𝜋.

🔍 Висновки:
🔍 sin(𝛼 + 2𝜋) = sin(𝛼);
🔍 cos(𝛼 + 2𝜋) = cos(𝛼);
🔍 tg(𝛼 + 𝜋) = tg(𝛼).

📸 Приклади розв'язання задач дивіться на скриншотах.

💬 Задавайте свої питання в коментарях!

🇺🇦@abitmath 🇺🇦@abitblog