⚡️ Тригонометричні функції кута і числового аргумента

Сьогодні ми розберемо фундамент тригонометрії — означення синуса, косинуса та тангенса. Розуміння цих понять допоможе вам легко орієнтуватися у складніших темах і формулах.

✈️ Через прямокутний трикутник. Це класичний геометричний підхід. Нехай у △𝐴𝐵𝐶 кут ∠𝐶 = 90°, 𝑐 — гіпотенуза, 𝑎 та 𝑏 — катети, а ∠𝐴 = 𝛼 (див. скриншот). Тоді:
🔍 синус кута 𝛼 — це відношення протилежного катета до гіпотенузи:

sin 𝛼 = 𝑎∕𝑐

🔍 косинус кута 𝛼 — це відношення прилеглого катета до гіпотенузи:

cos 𝛼 = 𝑏∕𝑐

🔍 тангенс кута 𝛼 — це відношення протилежного катета до прилеглого:

tg 𝛼 = 𝑎∕𝑏

✈️ Через одиничне коло. В алгебрі ми використовуємо коло з центром у точці (0; 0) та радіусом 𝑅 = 1 (його рівняння 𝑥² + 𝑦² = 1). Якщо повернути початкову точку 𝑃(1; 0) на кут 𝛼, ми отримаємо точку 𝑀(𝑥₀; 𝑦₀) на цьому колі. Тоді:
🔍 синус кута 𝛼 — ордината (𝑦) точки 𝑀:

sin 𝛼 = 𝑦₀

🔍 косинус кута 𝛼 — абсциса (𝑥) точки 𝑀:

cos 𝛼 = 𝑥₀

🔍 тангенс кута 𝛼 — відношення ординати до абсциси:

tg 𝛼 = 𝑦₀∕𝑥₀ = sin 𝛼∕cos 𝛼

✈️ Зверніть увагу! Оскільки точка 𝑀(𝑥₀; 𝑦₀) завжди лежить у межах одиничного кола, значення синуса та косинуса обмежені:

–1 ⩽ sin 𝛼 ⩽ 1;
–1 ⩽ cos 𝛼 ⩽ 1.

🔍 Чверті та знаки функцій. Знаки тригонометричних функцій залежать від того, у якій координатній чверті опиниться точка 𝑀 після повороту:
🔍 Синус (𝑦₀): додатний у I та II чвертях (де 𝑦 > 0), від'ємний у III та IV.
🔍 Косинус (𝑥₀): додатний у I та IV чвертях (де 𝑥 > 0), від'ємний у II та III.
🔍 Тангенс (𝑦₀∕𝑥₀): має знак «+» там, де синус і косинус однакові (I та III чверті), і знак «–» там, де вони різні (II та IV чверті).

📸 Приклади розв'язання задач дивіться на скриншотах.

💬 Задавайте свої питання в коментарях!

🇺🇦@abitmath 🇺🇦@abitblog