🔥 Текстові задачі на прогресії

Прогресії — це не просто абстрактні рядки чисел. Це математичні моделі того, як ростуть ваші підписки в соцмережах, як накопичуються бонуси на картці або як поширюються вірусні відео. Сьогодні вчимося бачити прогресії в реальному житті.

✈️ Як розпізнати прогресію в текстовій задачі. Головне — знайти «ключове слово», яке підкаже тип залежності:

🔍 Арифметична прогресія, якщо величина змінюється НА сталу кількість одиниць.
✈️ Маркери: «щодня на 5 більше», «в кожному наступному ряду на 2 місця більше, ніж попереднього, «ціна зростає на 20 грн щомісяця».

✈️ Приклад 1. Кур’єр-початківець отримує 800 грн за зміну. За кожний наступний місяць роботи його денна ставка зростає на 40 грн за рахунок стажу. Яку суму він зароблятиме за зміну через рік роботи?
✈️ Розв'язання. Це арифметична прогресія, де 𝑎₁ = 800, а різниця 𝑑 = 40. Нам потрібно знайти 12-й член.
Використаємо формулу 𝑎ₙ = 𝑎₁ + 𝑑(𝑛 – 1).
𝑎₁₂ = 𝑎₁ + 11𝑑 = 800 + 11 ⋅ 40 = 800 + 440 = 1240 грн.
Відповідь: 1240 грн. 🔺

✈️ Приклад 2. Аліса підписалася на програму лояльності кав'ярні, де за першу чашку кави нараховують 10 бонусів, а за кожну наступну — на 5 бонусів більше, ніж за попередню. Скільки всього бонусів накопичите Аліса, купивши 10 чашок кави?
✈️ Розв'язання. Це арифметична прогресія, де 𝑎₁ = 10, 𝑑 = 5, 𝑛 = 10. Потрібно знайти 𝑆₁₀.
Використовуємо формулу: 𝑆ₙ = ((2𝑎₁ + 𝑑(𝑛 – 1))∕2) ⋅ 𝑛.
𝑆₁₀ = ((2 ⋅ 10 + 5 ⋅ (10 – 1))∕2) ⋅ 10 = ((20 + 45)∕2) ⋅ 10 = 32,5 ⋅ 10 = 325.
Відповідь: 325 бонусів. 🔺

🔍 Геометрична прогресія, якщо величина змінюється У сталу кількість разів.
✈️ Маркери: «щогодини подвоюється», кожного наступного дня у 3 рази менше, ніж попереднього», «кількість користувачів зростає на 10 % щомісяця» (складні відсотки — це завжди геометрична прогресія).

✈️ Приклад 3. Відео в TikTok за першу годину набрало 1000 переглядів. Завдяки алгоритмам кожної наступної години кількість нових переглядів збільшувалася в 1,5 раза. Скільки нових переглядів отримає відео саме за четверту годину?
✈️ Розв'язання. Це геометрична прогресія, де 𝑏₁ = 1000, 𝑞 = 1,5. Шукаємо 𝑏₄.
Використаємо формулу 𝑏ₙ = 𝑏₁ ⋅ 𝑞ⁿ⁻¹.
𝑏₄ = 𝑏₁ ⋅ 𝑞³ = 1000 ⋅ (1,5)³ = 1000 ⋅ 3,375 = 3375 переглядів.
Відповідь: 3375 переглядів. 🔺

✈️ Приклад 4. IT-стартап у перший місяць залучив 100 нових користувачів. Кожного наступного місяця кількість нових користувачів зростала вдвічі порівняно з попереднім. Скільки всього користувачів залучить стартап за перші 5 місяців роботи?
✈️ Розв'язання. Це геометрична прогресія, де 𝑏₁ = 100, 𝑞 = 2, 𝑛 = 5. Шукаємо суму 𝑆₅:
Використовуємо формулу: 𝑆ₙ = (𝑏₁(𝑞ⁿ – 1))∕(𝑞 – 1).
𝑆₅ = (100 ⋅ (2⁵ – 1))∕(2 – 1) = 100 ⋅ (32 – 1)∕1 = 100 ⋅ 31 = 3100 користувачів.
Відповідь: 3100 користувачів. 🔺

🔍 Пам'ятайте! Якщо в задачі на відсотки сума змінюється щоразу від початкового значення — це арифметична прогресія. Якщо від попереднього (складні відсотки) — це геометрична прогресія.

📸 Приклади розв'язання задач дивіться на скриншотах.

💬 Задавайте свої питання в коментарях!

🇺🇦@abitmath 🇺🇦@abitblog