آقای قدیانی هم زد به سیم آخر

همینجور که میبینید از لحاظ آمادگی جسمانی افت‌ داشتن😢😢

#آ_گاهی
در مکانیک کوانتومی، ما روی وجود ذرات با جرم‌های مشخص حساب باز می‌کنیم. سپس با انتخاب همیلتونی مناسب سیستم، معادله‌ی خطی شرودینگر را می‌نویسیم. در سیستم‌های هرمیتی، این معادله به یک مسئله‌ی مقدارویژه تبدیل می‌شود و ویژه‌حالت‌های آن یک پایه‌ی کامل برای فضای هیلبرت تشکیل می‌دهند. تمام تحولات سیستم، از جمله تحول زمانی، بر اساس همین پایه توصیف می‌شود.

هر ویژه‌حالت، انرژی مشخص خود را دارد. انرژی‌هایی که بسته به شرایط ممکن است گسسته یا پیوسته باشند، و با بالا رفتن شاخص حالت، بزرگ و بزرگ‌تر می‌شوند. اما این روند تا کجا معتبر است؟

از یک مقیاس انرژی به بعد، رژیم فیزیکی تغییر می‌کند. دیگر نمی‌توان جرم ذره را مقدار ثابتی فرض کرد، چرا که در این ناحیه نه تنها کوانتوم، بلکه نسبیت خاص نیز وارد صحنه می‌شود. معادله‌ای که این حقیقت را آشکار می‌کند، ساده ولی عمیق است:

E^2 = p^2 c^2 + m^2 c^4

در این چارچوب، انرژی خود حامل جرم مؤثر است. یعنی اگر به یک سیستم انرژی کافی تزریق کنیم، انرژی می‌تواند به جرم تبدیل شود. از این نقطه به بعد، فرض ثابت‌بودن تعداد ذرات و ثابت‌ماندن جرم آن‌ها، فرو می‌ریزد.

اینجاست که مکانیک کوانتومی کلاسیک دیگر کافی نیست و پای میدان‌های کوانتومی به میان می‌آید، جایی که ذرات، موجودات اولیه نیستند بلکه برانگیختگی‌های میدان‌اند. نتیجه‌ی طبیعی این تصویر، ظهور ماده و پادماده، تولید جفت‌ها از خلا، و نابودی جفت‌ها به انرژی است. خلا در انرژی‌های بالا دیگر «هیچ» نیست، ظرفی از نوساناتی است که می‌توانند تبدیل به ذره شوند. در این رژیم وجود ذره تنها یک فرض نیست، بلکه یک نتیجه است.

وقتی به این نقطه نگاه می‌کنیم، می‌بینیم که انرژی نه فقط یک عدد، بلکه ظرفیت خلق و نابودی واقعیت است.

شاید جالب باشد همین رژیم انرژی‌های بالا در فرمالیسم کوانتوم اپتیک تغییری ایجاد نمی‌کند چون مفهوم فوتون ذاتا از نظریه نسبیتی الکترومغناطیس و معادلات ماکسول استخراج شده، و جرمی ندارد!

آیا جرقه‌هایی در شما شکل نمی‌گیرد؟

@TheObs

#آ_گاهی
برخی از دوستان از تاکید اینکه معادله شرودینگر «خطی» است و همیلتونی «هرمیتی» است، خیلی ذوق‌زده شدند و گفتند مگر اینها از اصول نیستند؟ بیاید کمی بشکافیم.

رفتار هر سیستم کوانتومی توسط همیلتونی و شرایط مرزی آن تعیین می‌شود. در مسئله تک‌ذره، تحلیل شفاف است، اما در سیستم‌های بس‌ذره‌ای به‌سرعت با دنیایی مواجه می‌شویم که هم محاسبات آن سخت است و هم شهود کلاسیک در آن از کار می‌افتد. در این‌جاست که تقارن‌ها نقش کلیدی دارند: عملگرهایی که با همیلتونی جابجا می‌شوند و به ما کمیت‌های پایسته و ساده‌سازی‌های بنیادی می‌دهند. رفتار توپولوژیک سیستم نیز برای گروه‌بندی رفتار و فازهای آن می‌تواند کمک‌کننده باشد.

اما بحث اصلی، آیا معادلهٔ شرودینگر غیرخطی می‌شود؟

در نظریهٔ بنیادی مکانیک کوانتومی، تکامل زمانی حالت خطی است. یعنی برهم‌نهی همیشه معتبر است. اما در مواردی که توصیف سیستم موثر و همراه با تقریب باشد، می‌توان به معادله‌ای رسید که ظاهر غیرخطی پیدا می‌کند.

برای مثال: معادلهٔ گروسی-پیتایفسکی در چگالش بوز-اینشتین (تقریب میدان میانگین) یا معادلهٔ گینزبرگ-لاندائو در ابررسانایی

این غیرخطی‌شدن نتیجه ساده‌سازی است، نه تغییری در بنیان نظریه.

سوال دیگر اینکه، آیا همیلتونی ناهرمیتی می‌شود؟

در کل برای سیستم بسته، همیلتونی باید هرمیتی باشد تا طیف حقیقی و نُرم پایسته بماند.

اما در عمل، بسیاری از سیستم‌هایی که با آن‌ها سروکار داریم، سیستم‌های باز، اتلافی، جذبی، آشکارسازی هستند، که با مدل‌های ناهرمیتی مؤثر توصیف می‌شوند. نتیجه این مدل ناهرمیتی، وجود انرژی مختلط (نه فقط حقیقی) است، که به معنای رشد یا افت احتمالات در زمان است.

همچنین در کیسی دیگر به انرژی‌ موهومی برمی‌خوریم. اگر هدف تحلیل سیستم نسبیتی باشد ولی بخواهیم به متریک اقلیدسی قائل باشیم نه به متریک مینکوفسکی، زمان را به صورت موهومی تعریف میکنیم:

t’ = it

و با بازتعریف معادله شرودینگر می‌بینیم که انرژی‌های مجاز سیستم موهومی هستند!

آیا زیبا نیست؟

@TheObs

#آ_گاهی
شاید برایتان جالب باشه که فیبر نوری رو با همین روش میسازیم.

@TheObs

#آ_گاهی
رسپی قوی شدن تو حل سوال رو گفته بودم قبلا: حل مسائل مکانیک کلاسیک! (چون سوال بسیار زیاده، میتونید پاسختون رو در نهایت چک کنید، و منطق استفاده از قوانین فیزیک رو میفهمید.)

اگه بتونید خودتون همه سوالات کتاب‌های کلپنر، فولز، ماریون، سایمون و غیره رو حل کنید، هم تفکر حل مسئله رو کسب کرده‌اید هم دستتون بنویس شده و با خط و استنتاج روشن مسائل رو حل میکنید.

بحث تقریب و اختلال خیلی مهمه (نه فقط تو المپیاد)، چون برای حل مسائل واقعی‌تر جهان، از نقطه شروعی که حل ساده داره شروع میکنیم و با اضافه شدن پارامتر اختلال به سیستم، ترم‌های جدید در خروجی رو با هر تقریبی که دوست داریم بدست میاریم.

کتاب تقریب و اختلال اقای مظفری گنجینه خوبی از سوالات مربوط به این حوزه هست که خوندن کل کتاب رو توصیه میکنم برای قوی شدن. فصل 6 این کتاب که به مبحث نیروی مرکزی اشاره داره خیلی به درک مسائل نجومی کمک میکنه.

خودم یادم رفته بود ولی پاسخنامه این بخش رو با کمک آقای امیری ساخته بودیم که ریحان زحمت تایپش رو کشید. دوست داشتید استفاده کنید.

Best,
Amirali Ekhteraei
@TheObs

#آ_گاهی
کلیت روش اختلال این است که مسئله را در حالت پرفکت حل میکنیم (بدون اختلال) و بعد پارامتر اختلال وارد به مسئله را آرام آرام از صفر زیاد می‌کنیم و اثر آن را در خروجی مبینیم (به همان مرتبه بزرگی اختلال وارده). بستر کار دقیقا روی بسط تیلور خروجی سواره، که ترم صفرم این بسط جواب بدون اختلال، ترم یکم این بسط تاثیر مرتبه یک پارامتر اختلالی و به همین منوال است.

ولی سوالی که ایجاد میشه اینه که آیا این بسط همگراست؟ در واقع آیا هر چه مراتب بالاتری از جواب اختلال وارده رو حساب کنیم به واقعیت نزدیک‌تر میشویم؟

جواب اینه که نه همیشه! اتفاقا مثالش رو در نظریه میدان کوانتومی می‌بینیم. مسائلی هستند که روند افزایش مرتبه تا جایی بهتر و بهتر می‌شود و به واقعیت نزدیک‌تر می‌شود، اما از مرتبه‌ای به بعد با افزودن ترم‌ها جواب واگرا شده و از حقیقت دور می‌شود.

به این سری‌ها، asymptotic گفته می‌شود که ضرایب بسط از جایی به بعد رشدی بزرگتر از رشد فاکتوریلی دارند (اگر همگرایی ریاضی ۱ یادتون باشه)

a_n >= n!

بنابراین اگر پارامتر اختلال g کوچک هم باشد، از اندیسی به بعد (حدود n = 1/g) سری واگرا می‌شود.

این یعنی نظریهٔ میدان کوانتومی یک نظریه کاملا اختلال‌پذیر نیست و بخشی از پدیده‌ها در آن ذاتا غیر اختلالی هستند. مثل تونل‌زنی، instantonها یا درهم‌رفتگی قوی در QCD.

فریمن دایسون حتی نشان داده بود که اگر سری‌های اختلالی QED همگرا بودند، جهان ما ناپایدار می‌شد! پس این واگرایی نه نقص نظریه، بلکه بخشی از ساختار عمیق و واقعی طبیعت است.

برای درک کامل جهان زیراتمی، روش‌های غیر اختلالی مانند محاسبات شبکه‌ای (به شدت سنگین محاسباتی)، تکنیک‌های بازجمع‌سازی (توضیح در پست‌های بعدی) و تحلیل اثرات توپولوژیک (توضیح در پستهای بعدی) ضروری‌اند.

پ.ن. : QCD یا quantum chromodynamics به حوزه بررسی نیروی هسته‌ای قوی بین کوارک‌ها (که ۳ رنگ قرمز آبی سبز هستند) گفته میشه.

پ.ن. : QED یا quantum electrodynamics به حوزه بررسی میدان الکترومغناطیسی کوانتیزه گفته میشه.

@TheObs

#آ_گاهی
شاید برایتان جالب باشد که در تقریب مرتبه اول میتونیم دیود رو به صورت یک باتری سری شده با مقاومت مدل کنیم.

مقدار باتری به جریان ثابت دیود ربط دارد (نقطه کاری/تعادل) و مقدار مقاومت به مشتق ولتاژ نسبت به جریان در همان نقطه کاری ربط دارد. (امیدوارم بسط تیلور مرتبه یک برایتان شفاف باشد)

اگه از این متن برقی‌پسند اسهال شدی حتما به پست‌های بعدی توجه کن چون منم قبلا دوست نداشتم ولی الان برعکسه.
@TheObs

#آ_گاهی
چرا می‌گوییم الکترومغناطیس؟ چرا مثل آدم نیروی الکتریکی و مغناطیسی رو جدا بررسی نمیکنیم؟

چون این دو میدان در دستگاه‌های مختلف به هم دیگه تبدیل میشن.

یک بار الکتریکی ساکن منفرد رو تصور کنید، ازونجا که جریان بار نداریم فقط میدان الکتریکی کولنی داریم. در دستگاه لخت دیگری که نسبت به این دستگاه سرعت داره، اتفاقا یک بار متحرک به صورت جریان میبینیم، و در این فریم میدان مغناطیسی نیز داریم.

پس هیچ کدوم از دو میدان به صورت مبرا در دستگاه‌های لخت مختلف ناوردا نیستند، بلکه اختلاط آن‌هاست که یک پدیده فیزیکی یکتا در همه دستگاه‌ها را پدید می‌آورد یعنی نیروی الکترومغناطیسی. ۴ قانون ماکسول به نحوه کوپلینگ این دو میدان برداری در حضور بارها و جریان های وارد مسئله اشاره دارند.

حالا میشه به تبدیل این میدان‌ها دردستگاه‌های مختلف فکرد کرد، آیا تبدیلات گالیله‌ای حافظ قوانین ماکسول هستن؟

پ.ن. : یا می‌توان به ۴ معادله ماکسول اتکا کرد، یا می‌توان به ۲ معادله پیچشی میدان‌ها به علاوه قانون پیوستگی جریان/بار اشاره کرد.

پ.ن. : قانون پیوستگی عمق مفهومی خاصی داره که در پست‌های بعد به آن می‌پردازیم.

پ.ن. : قوانین ماکسول هم فرم نقطه‌ای دارن هم فرم انتگرالی، آیا اطلاعات مسئله در یکی ازین دو فرم گم نمی‌شود؟

@TheObs