⚛️ Электронная система сверхпроводника ⚛️

📚 Часть 6 - Эта сложная, но очень полезная теория БКШ
(📚 Ранее - Часть 5)

Теория достаточно объемна, поэтому нам придется пройтись "по верхам".

Итак, чтоб объяснить сверхпроводимость, Бардин, Купер и Шриффер делают ряд ключевых предположений

- Образование пар из "электронов" с противоположными волновыми векторами k и -k, а также противоположно направленными спинами - энергетически выгодно, потому как эти пары начинают подчиняться общей бозонной статистике. Это предположение явно выражено в том виде Гамильтониана, который выбрали БКШ, и он называется - сюрприз - гамильтонианом БКШ (см. вставку 1).

- Этот выигрыш по энергии - обозначим его V(k,k') - возникает из за притягивающего взаимодействия отдельных электронов, распространяющегося посредством фононов - или квантов (квазичастиц) колебаний ионного остова в кристалле (то есть, кристаллической решетки).

- Как хорошо известно - и было известно задолго до теории БКШ - у фононного спектра в любом твердом теле есть высокочастотная отсечка, так называемая дебаевская частота, W_d. Поэтому, возможные частоты фононов, дающих вклад в упомянутое притягивающее взаимодействие, лежат в диапазоне от 0 до W_d. При грубом рассмотрении, можно считать, что энергия постоянная и не зависит от частоты фонона, то есть, V(k,k') = -V, но в любом случае нужно учесть отсечку. Важно понять, что вид взаимодействия может описать притяжение любых электронов, но сильнее всего притягиваются только электроны с противоположными импульсами, и за счет этого пары (именно такие, которые мы описали) начинают "взаимодействовать", то есть в итоге испытывать конденсацию.

- Задача сводится к поиску основного состояния гамильтониана БКШ. Для этого, сначала нужно предложить какой то анзац (подстановку) для формальной записи основного состояния. БКШ предложили красивую форму записи такого состояния, в которой каждая пара находится в одинаковой с другими суперпозиции состояний "вакуум" + "одиночная пара", см. вставку 2. То есть, все пары одновременно существуют и нет, при этом находясь в одной и той же суперпозиции - согласитесь, трудно придумать что-то более квантовое, чем это! В этом выборе - также существенная часть оригинальности идеи: проницательность авторов проявилась здесь в полной мере.

- Далее в дело вступает довольно формальная математика. Авторы используют вариационный принцип для поиска точных параметров основного состояния и его энергии. Записывая среднее для энергии основного состояния, они ищут ее минимум методом множителей Лагранжа, налагая при этом ограничение на полное количество частиц в кристалле - в самом деле, в типичном металле оно конечно и равно, например, N_0, порядок этого числа хорошо известен. (Смотрите наши прошлые публикации про число Авогадро).

Этот вариационный поиск позволяет объяснить "все и сразу":
1) Он дает точное выражение для спектра возбуждений отдельных электронов (не пар), который четко показывает наличие энергетической щели Δ - меньше этой энергии потратить невозможно, система просто не имеет соответствующих возбужденных состояний.
2) Квазичастицы оказываются вполне фермиевскими "электронами", поэтому пользуясь стандартной статистикой Ферми-Дирака, можно обобщить результат варьирования на случай конечной температуры, и что самое главное - получить точное выражение для критической температуры Тс:

2Δ = 3.52 kTc (k - постоянная Больцмана),

и разные другие правильные закономерности, о которых мы поговорим уже в следующий раз.

Продолжение следует...