[Barocii's Resonse to Piccolominie's fourth argument]

To the fourth I say that (as he himself confesses) he did not understand what Simplicius meant in that place.

Simplicius says the property of having three angles equal to two right angles is not converted with the rectilinear triangle, since a certain quadrilateral can also have three angles equal to two right angles.

[قلت: يريد الشكل القطاع السطحي]

How this matter holds is taught by Proclus in the 32nd proposition of the first book of
the Elements.

We will diligently examine this in our commentaries on Proclus, as well as in our Dilucidations of all mathematical passages of Plato and Aristotle.

In the present, however, let it be supposed (as it is also supposed by the more recent author, although he by no means knew this matter) that what Simplicius says is true.

When he says, "In every most powerful demonstration the major extremity ought to be converted with the minor; in mathematics it is not thus; therefore there is no most powerful demonstration in mathematics."

We respond by denying the consequence. This consequence would be valid if no property in mathematics were converted with its subject; but because very many properties are found in mathematics which are converted with their subjects, the consequence is invalid.

That what we say is true, let us hear Aristotle in the 29th text of the first book of the Posterior Analytics saying: "Those things which are in mathematics are converted more, since they take no accident, but definitions."

Let this suffice for the fourth argument.

Francisci Barocii | Qvastio De Certitvdine Mathematicarum

[Barocci's Response to Piccolominie's fifth argument]

First, when he says that if that authority of Proclus is true, namely that many elements of Euclid can be mutually elements to themselves, it follows that they do not demonstrate through true causes, since nothing can be the cause of its very self and there is only one definition of each thing.

I respond that this consequence is not valid except in converse theorems.

For if a converse theorem were proved by a direct demonstration through its own converse, the middle term would enter the conclusion, and therefore that theorem would be the cause of its very self, and it would not be the one definition of each thing.

Since this is false, it would follow, as he says, that it would not be demonstrated through true causes. Proclus noticed this at the end of the 24th commentary of the third book, saying that almost all converse theorems are not proved by a direct demonstration proceeding from a true cause, but by deduction to the impossible, because for the sake of more convenient doctrine they are mostly proved through their own converses with no interjected middle term.

Although these are shown through deduction to the impossible, nothing prevents their preceding converses from being demonstrated by a direct demonstration proceeding from a true cause.

Moreover, the converses themselves, if they are not proved through their precedings, will undoubtedly be able to be demonstrated from a true cause through direct demonstration by other means.

But in theorems that are not converse, this by no means follows; because although one is proved from the other, it is nevertheless not the cause of its very self, nor are there diverse definitions of the same thing, since indeed they are not converse.

Therefore, that consequence is not valid, except in converse theorems, while they are proved through their preceding converses.

Wherefore, even if certain theorems are not proved by demonstrations proceeding from a true cause but by deductions to the impossible, it must not be said on account of this that no theorem in mathematics is demonstrated through a true cause.

Francisci Barocii | Qvastio De Certitvdine Mathematicarum

From this it is abundantly evident that mathematical science holds itself as to certainty compared to natural and divine science just as we have said: and it must be placed in the first order of certainty not only on account of the matter subjected to it (as the most erudite more recent author wished), but also on account of its most powerful demonstrations. And let this indeed be my opinion about the certainty of mathematicals, excerpted from the best Authors.

THE END

Francisci Barocii | Qvastio De Certitvdine Mathematicarum

فرانسيسكوس باروسيوس (تـ 1604 م) رياضي إيطالي، دَرَس في جامعة بادوا ثمانية سنوات قبل أن يبدأ بتدريس الرياضيات فيها مدة قصيرة من الزمان.

ترجم بعض الأعمال الرياضية، منها شرح برقلس على المقالة الأولى من كتاب إقليدس، ومنها بعض الأعمال لـ: هيرون السكندري، بابس السكندري، أرشميدس.

له مصنفات في علم الهيئة والهندسة.

اتهم بممارسة السحر والشعوذة، اُدين في محاكم التفتيش سنة 1583، وفي سنة 1587 أدين بالإلحاد والهرطقة والانخراط في الباطنية.

اتهم بأنه المتسبب في إعصار وعاصفة مطرية شديدة، وثبتت عليه التهمة، وحكم عليه بالسجن ولكن لم ينفذ الحكم. وأيضًا اتهم أنه قص شعر أحدهم في الجامعة لأغراض مجهولة.

قُلتُ: أما الباطنية والالحاد والزندقة، فربما، وأما أنه تسبب في إعصار، فدونه خرط القتاد.

كتب فرانسيسكوس باروسيوس كتابه "السؤال عن يقينية الرياضيات" للرد على أليساندرو بيكولوميني.

وقد تضمن الكتاب مناقشة لأدلة بيكولوميني الخمسة على عدم وجود البراهين المطلقة في الرياضيات.

وحاول فيه المصنف إثبات ما يلي:

– تتضمن الهندسة براهين مطلقة بتوسيط العلتين الصورية والمادية.

– لا تتضمن الهندسة براهين مطلقة بتوسيط العلتين الفاعلية والغائية.

– ليست كل البراهين الهندسية براهين مطلقة، إذ تتضمن برهان العلامة وبرهان الرد إلى المحال.

– أفلاطون وأرسطو وثامسطيوس وبرقلس وسيمبليسوس ويوسطراطوس وإبن رشد معتقدون بأن الهندسة تتضمن البراهين المطلقة.

– وإن كان لموضوع الهندسة مدخلية في يقينيتها، ولكن للبراهين المطلقة أيضًا مدخلية.

كما فعلت مع بيكولوميني، إذ قررت أدلته وحججه، سأقرر حجج باروسيوس على وجود البراهين المطلقة بالإضافة إلى نقضه لأدلة بيكولوميني الخمسة.

وأما التحكيم فينبغي أن يؤجل، لاسيما وهناك أطراف مهمة في هذا الصراع ما قررت رأيها بعد، مثل كريستوفر كلافيوس، وهو أفضل منهما في الرياضيات بلا مقارنة.

[تشويقة]

منذ أن أنشأت هذه المجموعة وبدأت بالكتابة فيها قبل بضع أيام، وأنا ما أزال أمنع نفسي من البوح بكل شيء؛ لأن من الأشياء ما لا ينبغي البوح به إلا بعد نشره بنحوٍ رسمي.

ولا أطلب من الرياضي (خصوص المشغوف بأواخر القرن التاسع عشر وبدايات القرن العشرين) إلا أن ينتظر قليلًا.

فإنه بين أمرين لا ثالث لهما: إما (١) أنه سيقرأ ما يسوؤه ويسوِّد وجهه ووجه أصحابه وسيبقى مسودًّا أبد الدهر إذ جحد الحق تعصّبًا لأصحابه بعدما أيقنه عندما كشفته له كشفًا صحيحًا صريحًا، أو (٢) أنه سيفرح فرحًا عظيمًا باكتشافه الحقيقة وبخلاصه من السفسطة بعدما كان مشغوفًا بها وبأصحابها من حيث لا يعلم.

من مشكلات الرياضيات الحديثة:

(١) أخذ ما بالعرض مكان ما بالذات.

(٢) عدم تعقُّل موضوع النظر.

والثاني لا يرجع بالضرورة إلى الترميز، فإن الرمز لو كان دالًّا على موضوع يُنظَر فيه نظرًا عقليًّا لم تكن هناك مشكلة.

ولكنه يرجع إلى الترميز الصوري؛ والمقصود منه وضع رموز مفرّغة عن أي معنى وغير دالة على أي معنى، وليس لها أي طبيعة ولا أي خصائص ذاتية.

وهذا ستنتج عنه فيما بعد كوارث معرفية، ويجب على من يلتزم هذا النظر الصوري المحض أن يلتزم إمكان اجتماع النقيضين، كما سوف أبين بالتفصيل الممل فيما بعد.

ثُمّ فليُنظَر في رجل يدرس رموزًا لا معنى لها ولا تعريف لها يدل على معناها وحقيقتها، موضوع بإزاء تلك الرموز الجوفاء مبادئ تجعلها بالقياس لبعضها البعض تحاكي الأعداد بالقياس لبعضها البعض.

هل يدرس هذا الرجل الأعداد حقيقة؟ وبتعبير آخر هل يدرس الرياضيات حقيقة؟ أم يدرس لعبة متسقة في نفسها تحاكي الرياضيات محاكاة جيدة؟

فلعله ليس برياضيّ وإنما متشبه بالرياضي.

Truthfully, these opinions can be reconciled:

a preceding part in a definition, while it is a form, functions as "matter" in relation to the following part.

For everything that is less perfect in relation to its own more perfect intrinsic element functions as matter.

They could be reconciled in other ways as well, but it is irrelevant here.

Returning to our purpose: we say that even if we set aside the material cause (or take it in the sense just described), only the formal cause remains.

Alxenadri Piccolominei | Commentarium De Certitudine Mathematicarum Scientiarum

[باروسيوس في البراهين الهندسية بتوسيط العلتين المادية والصورية]

بعدما نوَّع باروسيوس أصناف التعريف إلى صوريّ يدل على حقيقة الماهية بنحو أكمل، وماديّ يدل على الماهية بصورة أنقص.

قال إن مبدأ البرهان المطلق هو الحدّ، فقرر أن البرهان الموسِّط للتعريف الصوري برهان بتوسيط العلة الصورية، والبرهان الموسِّط للتعريف المادي برهان بتوسيط العلة المادية.

وأعطى مثالًا اتكل عليه في مناقضة بيكولوميني:

التعريف المادي: الزاوية القائمة نصف الزاويتين القائمتين.

التعريف الصوري: الزاوية القائمة هي المساوية لمثلها المجاورة لها عند نهاية خط مستقيم يقوم عمودًا على آخر مستقيم.

– البرهان بتوسيط العلة المادية.

الصغرى: كل زاوية تقوم على قوس نصف الدائرة هي نصف الزاويتين القائمتين.

الكبرى: كل نصف الزاويتين القائمتين زاوية قائمة.

النتيجة: كل زاوية تقوم على قوس نصف الدائرة زاوية قائمة

– البرهان بتوسيط العلة الصورية

الصغرى: كل زاوية تقوم على قوس نصف دائرة فإنها تساوي الزاوية المجاورة لمثلها على نهاية مستقيم يقوم عمودًا على صاحبه.

الكبرى: كل زاوية تساوي الزاوية المجاورة لمثلها على نهاية خط يقوم عمودًا على صاحبه زاوية قائمة.

النتيجة: كل زاوية تقوم على قوس نصف الدائرة زاوية قائمة.

...

فالأول إذ يتضمن توسيط التعريف المادي فهو برهان مطلق بتوسيط العلة المادية.

والثاني إذ يتضمن توسيط التعريف الصوري فهو برهان مطلق بتوسيط العلة الصورية.


وهذا تقرير كلامه ومراده...

[رد باروسيوس على الحجة الأولى]

حجة بيكولوميني الأولى: (الكبرى) الحد الأوسط في كل برهان مطلق إما مأخوذ في حدّ العرض أو مأخوذ في حدّ الموضوع، (الصغرى) ولا شيء من الأدلة الهندسية كذلك.

رد باروسيوس: الصغرى كاذبة؛ إذ قد أثبتنا العرض [الزاوية القائمة] للموضوع [الزاوية التي تقوم على قوس نصف الدائرة] بتوسيط حد العرض.

وأما دعوى بيكولوميني أن الصغرى صادقة بالاستقراء التام، فإنه لم يتكل فيها إلا على I.32، ونحن نسلم أن البرهان عليها ليس برهانًا مطلقًا، ولكن وجود البرهان غير المطلق في الهندسة لا يمنع وجود البرهان المطلق فيها، وإنما أن يمنع أن يكون كل برهان هندسي برهانًا مطلقًا، ولا ندعي ذلك.

هذا رده...

[رد باروسيوس على الحجة الثانية]

حجة بيكولوميني الثانية: (الكبرى) كل برهان مطلق حده الأوسط علة قريبة للعرض، (الصغرى) ولاشيء من البراهين الرياضية كذلك.

رد باروسيوس: أولًا نمنع الصغرى لأننا قد بينا براهين هندسية بتوسيط العلة الصورية القريبة وبتوسيط العلة المادية القريبة.

وثانيًا نناقض قوله إن المقدار لا يفعل وليس مبدأ للفعل، بأن الرياضيات إذ تتناول الصور فأكثر العلل فيها صورية، ويمكننا أن نستشهد ببعض النصوص من شرح برقلس حيث يبين فيها أن بعض الصور علل لبعض الخواص.

[رد باروسيوس على الحجة الثالثة]

حجة بيكولوميني الثالثة: (الكبرى) كل حد أوسط مباشر يوسط في البرهان المطلق على المسألة الواحدة فإنه واحد لا يوجد غيره، (الصغرى) ولكن الخواص الرياضية ليس لها حد أوسط مباشر واحد.

رد باروسيوس: الصغرى ممنوعة؛ لأنه على الرغم من أنه لا يوجد فعل في الكمية وبالتالي لا تكون الخواص الرياضية نابعة من صور الموضوع بحسب ترتيب أقدمية الفعل، ولكنها تنبع بحسب ترتيب أقدمية البراهين والعلل التي تبين وجود هذه الخواص لموضوعاتها.

وأما استشهاده بسلطة أفلاطون وبرقلس، من أن البراهين الكثيرة على الخواص الرياضية في رتبة واحدة، فلم يقولوا إن تلك البراهين كلها على أعلى درجة من الكمال.

[رد باروسيوس على الحجة الرابعة]

حجة بيكولوميني الرابعة: الأكبر في البرهان المطلق يساوي الأصغر وينعكس عليه عكسًا كليًّا في الحمل، ولكن بسلطة سيمبليسيوس، ليس الأمر في الرياضيات كذلك.

ردّ باروسيوس: فلنفرض صحة ما ذكره سيمبليسيوس [من أن الشكل القطاع (المثلث رباعي الأضلاع كما يسميه برقلس) مجموع زواياه الداخلية كقائمتين].

ولكن بعض المسائل الرياضية يساوي فيها الأكبر الاصغر وينعكس عليه في الحمل، وهذا يكفي.

[رد باروسيوس على حجة بيكولوميني الخامسة]

حجة بيكولوميني: كثير من أصول إقليدس قد تكون مبادئ لبعضها البعض، فيلزم أن لا تكون براهينها بتوسيط العلل الحقيقية، إذ يمتنع أن يكون الشيء علة لنفسه، وللشيء الواحد حد واحد.

رد بارسيوس: مسلَّم في خصوص مسائل العكوس الكلية؛ فإن المسألة العكس لو تبرهنت بالبرهان المستقيم بتوسيط الأصل للزم الذي ذكر، وبالتالي لا تكون هذه البراهين موسط فيها علل حقيقية.

وقد تنبه برقلس إلى هذا إذ ذكر أن جميع العكوس الكلية التي تبرهنت بأصولها، براهينها ليست مستقيمة وليست بتوسيط العلل الحقيقية، وإنما بالردّ إلى المحال.

ولكن على الرغم من ذلك لا يوجد ما يمنع برهنة الأصل ببرهان مستقيم توسط فيه علة حقيقية، وأيضًا لا يوجد ما يمنع برهنة العكس الكلي لا بتوسيط الأصل ولا بالخلف، وإنما بمستقيم بتوسيط علة أخرى دون توسيط الأصل.

[رد باروسيوس الجملي على بيكولوميني]

بينت قبل قليل رد باروسي/باروسيوس التفصيلي على أدلة بيكولوميني الخمسة، ولم أكن قد بينت الرد الإجمالي السابق على الرد التفصيلي.

قبل أن تطرق بيكولوميني لأدلته الخمسة التفصيلية بيّن أن البرهان المطلق لو كان موجودًا في الهندسة لكان إما بتوسيط العلة الفاعلية أو الغائية أو المادية أو الصورية.

ومن ثم أبطل توسيط العلل الفاعلية والغائية والمادية، وقال نصًا "سأثبت بطلان توسيط العلة الصورية".

وبعد ذلك مباشرة قام بتقرير أدلته الخمسة على عدم وجود البراهين المطلقة في الهندسة.

قال باروسيوس ما حاصله: هذه الأدلة الخمسة لا تثبت امتناع وجود البرهان المطلق بتوسيط العلة الصورية، وأنما تثبت أن البرهان المطلق لا يوجد في الهندسة على الإطلاق.

فإن قال بيكولوميني: بينت مسبقًا امتناع توسيط العلل الفاعلية والغائية والمادية، وهنا بينت امتناع وجود البرهان المطلق بتوسيط مطلق العلة، فيلزم أيضًا امتناع توسيط العلة الصورية.

ردّ عليه باروسيوس: هذا استدلال دوريّ؛ لأنه لما أراد من البداية أن يثبت عدم وجود البرهان المطلق أراد تبيينه بتوسيط عدم وجود أي من العلل الأربعة، فإذا أراد أن يبين عدم وجود البرهان بتوسيط العلة الصورية بتوسيط عدم وجود البرهان المطلق ارتكب دورًا وبين الشيء بنفسه.

وبهذا أكون قد بينت أدلة الطرفين الرئيسين في هذا النزاع:

– الطرف الأول المتمثل بـ أليسنادرو بيكولوميني يمنع وجود البراهين المطلقة على الإطلاق.

– والطرف الثاني المتمثل بـ فرانسيسكو باروسي يوجب وجود بعض البراهين المطلقة بالإضافة لبراهين الوجود.

وأزعم ابتداءً من دون أن أتطرق للتقييم التفصيلي في هذه المرحلة من الطرح: أن بيكولوميني أطول الإثنين في المنطق باعًا وأرحبهم في المعالي ذراعًا.

وعلى الرغم من ذلك يبدو أن الواحد منهما لم يحز الحق كله، وإن كان لأحدهما الحظ الأعظم منه، ومجموع الحق الذي عندهما يقترب من مساواة الحق كله.

فليوظَّف هذا الجدل وليستعان به حتى يتوصل إلى الحق في هذا الصراع، كما كانت طريقة أرسطوطاليس، بطرح المذاهب المتضادة، والتفتيش عن الحق الذي فيها مع جمعه، والكشف عن الباطل لإزاحته، حتى يكون الجدل مقرِّبًا للوصول إلى الدليل الحاسم للنزاع.

[تمهيد لبحث عام في صناعة البرهان]

قبل إضافة أي أطراف أخرى لهذا الجدال الدائر حول المنهج الاستدلالي في العلوم الرياضية...

وبعبارة أخرى، قبل توسيع دائرة البحث بتكثير الحجج والآراء والردود والأجوبة...

يجب أولًا أن نبين بعض الأسس المهمة في صناعة البرهان، لأن هذا الجدال من أوله إلى آخره في الحقيقة ليس سوى اختبار لفهمنا لصناعة البرهان.

فإنه عبارة عن مقايسة منهج استدلالي عام بأحد العلوم الخاصة، هل هذا المنهج الاستدلالي العام (الذي هو بالفعل وبنحوٍ واضح منهج لكثير من العلوم الخاصة) منهج لخصوص هذا العلم الخاص أم لا؟

فإن كان هناك انطباق وكان المنهج الرياضي هو بعينه المنهج البرهاني المشائي مخصصًا بالمادة الرياضية، فعلينا أن نبين ذلك وكيف يكون؟ وإن لم يكن ينطبق فعلينا أن نجيب عن لـم لا ينطبق؟

[الغاية الرئيسة: اليقين المضاعف أم العلم المطلق]

وضع إبن سينا في برهان الشفاء أن الغاية الرئيسة من صناعة البرهان هي تحصيل اليقين المضاعف، ومن هنا فإن البرهان على الحقيقة هو القياس المفيد لليقين المضاعف.

فإذا أردنا أن نحصِّل اليقين المضاعف بـذوات الأسباب، مالذي ينبغي علينا أن نشترطه في ذلك البرهان حتى يكون مفيدًا لهذه الغاية؟

للإجابة عن هذا السؤال وضع إبن سينا قاعدة: ذوات الأسباب لا تُعلَم يقينًا مضاعفًا إلا من طريق العلم بأسبابها.

فالجواب إذن: حتى نحصِّل اليقين المضاعف بذوات الأسباب يجب أن نشترط توسيط العلة.

وبهذا صار البرهان على الحقيقة هو برهان اللم، ولم تكن البراهين الأخرى التي لا يكون الأوسط فيها سببًا لذي السبب براهين على الحقيقة.

فإذا تمهد هذا، يجب أن نكشف عن أن الذي مرّ مبنى سينوي خاص، وهو مخالف للمبنى الذي عليه الجمهور من المشائين.

وذلك من جهتين:

الأولى: أن الغاية الرئيسة من صناعة البرهان هي تحصيل العلم المطلق، لا تحصيل اليقين المضاعف، والعلم المطلق أخصّ من اليقين المضاعف، والقياس المفيد للعلم المطلق هو البرهان المطلق، وأما القياس المفيد لليقين المضاعف فهو مطلق البرهان، ومطلق البرهان الذي ليس ببرهان مطلق هو برهان الوجود.

الثانية: قاعدة ذوات الأسباب السينوية ليست قاعدة معتبرة عند المشائين، والجمهور على كذبها.

وتوضيح الجهة الثانية اختصارًا:

القاعدة الأصل: ذوات الأسباب لا تُعلَم بالعلم المطلق إلّا من طريق أسبابها الذاتية.

وقد وضع إبن سينا اليقين المضاعف (العام) مكان العلم المطلق (الخاص)، فاختلفت القاعدة وتحرَّفت عن أصلها.

وفي المنشورات القادمة تفصيل هذا الإجمال كله.

[أقسام البرهان عند إبن سينا وعند أرسطو]

يُقسِّم إبن سينا البرهان باعتبار أنه بالمعنى العام قياس ينتقل فيه ضمن محور السببية:

فإما ينتقل فيه من العلة إلى المعلول فهو (١) برهان اللم، أو ينتقل فيه من المعلول إلى العلة فهو (٢) برهان الإن الدليل، أو ينتقل فيه من المعلول الأول إلى المعلول الثاني كلاهما لعلة واحدة وهو (٣) برهان الإن المطلق.

ولكن باعتبار أن المفيد لليقين المضاعف من بين هذه الأدلة الثلاثة – بناء على قاعدة ذوات الأسباب السينوية – هو برهان اللم فقط، فإن البرهان بالمعنى الأخص (وهو القياس المفيد لليقين المضاعف) ليس إلّا برهان اللم.

وأمّا عند أرسطو فإنه يُقسِّم البرهان بالمعنى الأعم، وهو البرهان المفيد لليقين المضاعف بلحاظ الغاية:

فإنه إما يفيد العلم المطلق فهو (١) البرهان المطلق وإما لا يفيد العلم المطلق وإنما يفيد مجرد اليقين المضاعف غير المطلق، فهو (٢) برهان الوجود.

بناء على قاعدة ذوات الأسباب الأصلية البرهان الذي يفيد العلم المطلق هو البرهان بتوسيط العلة القريبة فقط، فكل برهان على ذي سبب لا يكون بتوسيط العلة القريبة فهو يقع تحت برهان الوجود.

فيقع تحت برهان الوجود كل برهان يفيد علمًا ضروريًا غير مطلق، مثل (٢.١) البرهان بتوسيط المعلول (والذي يسميه إبن سينا برهان الإن الدليل) و (٢.٢) البرهان بتوسيط العلة البعيدة، و(٢.٣) برهان الردّ إلى المحال.