If he should say: that by showing they are not most powerful he shows they do not happen through a cause altogether, and since he has already shown they do not happen through an efficient, final, or material cause, it necessarily follows that they do not happen through a formal cause either.
I respond: that he begs the principle. Since from the beginning he had proposed to show that mathematical demonstrations are not most powerful, he began to show this by reasoning that they happen through none of the four genera of causes.
If, therefore, wishing to show that mathematical demonstrations do not happen from the genus of formal cause, he were to show this from the fact that they are not most powerful, he would beg the principle by showing the same thing through the same thing.
Either this is to be said, or that he by no means shows that mathematical demonstrations do not happen through a formal cause.
Francisci Barocii | Qvastio De Certitvdine Mathematicarum
I respond: that he begs the principle. Since from the beginning he had proposed to show that mathematical demonstrations are not most powerful, he began to show this by reasoning that they happen through none of the four genera of causes.
If, therefore, wishing to show that mathematical demonstrations do not happen from the genus of formal cause, he were to show this from the fact that they are not most powerful, he would beg the principle by showing the same thing through the same thing.
Either this is to be said, or that he by no means shows that mathematical demonstrations do not happen through a formal cause.
Francisci Barocii | Qvastio De Certitvdine Mathematicarum
[Barocii's Response to Piccolominie's first argument]
To his first argument we say that the minor proposition is false, since we have already shown that such middle terms are found in mathematics.
For in those demonstrations which we posited about the angle standing upon an arc in a semicircle, the middle term is furthermore the definition of the property.
Since the property is indeed to be a right angle, the definition of a right angle is either to be half of two right angles, or to be equal to the angle consecutively conjoined to itself at the extremity of a straight line falling perpendicularly upon a straight line.
Euclid took each of these as a middle term to show this property concerning the angle constituted upon an arc in a semicircle.
Francisci Barocii | Qvastio De Certitvdine Mathematicarum
To his first argument we say that the minor proposition is false, since we have already shown that such middle terms are found in mathematics.
For in those demonstrations which we posited about the angle standing upon an arc in a semicircle, the middle term is furthermore the definition of the property.
Since the property is indeed to be a right angle, the definition of a right angle is either to be half of two right angles, or to be equal to the angle consecutively conjoined to itself at the extremity of a straight line falling perpendicularly upon a straight line.
Euclid took each of these as a middle term to show this property concerning the angle constituted upon an arc in a semicircle.
Francisci Barocii | Qvastio De Certitvdine Mathematicarum
[Barocii: Not all mathematical proofs are of the most powerful type]
Although the more recent author might say that his minor premise is confirmed by inducing through all the theorems of Euclid, Theodosius, Archimedes, and other mathematicians, he nevertheless did not induce it himself except through the thirty-second proposition of the first book of Euclid's Elements, which Euclid demonstrated not through a most powerful demonstration, but through a certain conjecture rather.
But it is not to be said on account of this that no mathematical demonstration is most powerful, just because one, two, or even more proofs are found in that science which are not true and most powerful demonstrations.
Francisci Barocii | Qvastio De Certitvdine Mathematicarum
Although the more recent author might say that his minor premise is confirmed by inducing through all the theorems of Euclid, Theodosius, Archimedes, and other mathematicians, he nevertheless did not induce it himself except through the thirty-second proposition of the first book of Euclid's Elements, which Euclid demonstrated not through a most powerful demonstration, but through a certain conjecture rather.
But it is not to be said on account of this that no mathematical demonstration is most powerful, just because one, two, or even more proofs are found in that science which are not true and most powerful demonstrations.
Francisci Barocii | Qvastio De Certitvdine Mathematicarum
[Barocii's Response to Piccolominie's second argument]
To the second, we respond similarly by showing that the minor premise is false.
His argument is not valid: there is no action or reason of action in quantity; therefore mathematical properties do not flow from a formal cause, and neither from any other cause, and therefore they are not most powerful.
On the contrary, since mathematical sciences consider forms, they bring in properties mostly from formal causes, just as Averroes asserts in his 68th commentary on the second book of the Physics.
We have already shown that mathematical properties concerning subjects are shown not only through a formal cause, but also a material one.
When he says that no one can say how it is in the reason and form of the triangle that the external angle is greater than whatever opposite internal angle, it must be responded to him that if the triangular form and its origin are rightly weighed (as Proclus teaches in commentaries 21 and 22 of the third book), it will be known that this property is found in the reason and form of the triangle.
Francisci Barocii | Qvastio De Certitvdine Mathematicarum
To the second, we respond similarly by showing that the minor premise is false.
His argument is not valid: there is no action or reason of action in quantity; therefore mathematical properties do not flow from a formal cause, and neither from any other cause, and therefore they are not most powerful.
On the contrary, since mathematical sciences consider forms, they bring in properties mostly from formal causes, just as Averroes asserts in his 68th commentary on the second book of the Physics.
We have already shown that mathematical properties concerning subjects are shown not only through a formal cause, but also a material one.
When he says that no one can say how it is in the reason and form of the triangle that the external angle is greater than whatever opposite internal angle, it must be responded to him that if the triangular form and its origin are rightly weighed (as Proclus teaches in commentaries 21 and 22 of the third book), it will be known that this property is found in the reason and form of the triangle.
Francisci Barocii | Qvastio De Certitvdine Mathematicarum
[Barocii' Response to Piccolominie's third argument]
To the third we say similarly that it is false that a single immediate middle term can by no means be found in mathematics.
For although there is no action in quantity, and therefore mathematical properties do not flow from the forms of subjects according to an order of priority of action, they nevertheless flow according to the order of priority of the demonstrations and causes showing those properties about the subjects.
To the authority of Plato and Proclus saying that diverse demonstrations of properties can occur equally in mathematics, I say that neither Proclus nor Plato states that many equally perfect demonstrations can occur demonstrating the same property about the same subject.
Rather, the same properties about the same subjects can be demonstrated in an equal way through diverse middle terms, whether those middle terms are of the same or diverse coordination, which Aristotle also taught in the 42nd text of the first book of the Posterior Analytics.
This addresses the third argument.
Francisci Barocii | Qvastio De Certitvdine Mathematicarum
To the third we say similarly that it is false that a single immediate middle term can by no means be found in mathematics.
For although there is no action in quantity, and therefore mathematical properties do not flow from the forms of subjects according to an order of priority of action, they nevertheless flow according to the order of priority of the demonstrations and causes showing those properties about the subjects.
To the authority of Plato and Proclus saying that diverse demonstrations of properties can occur equally in mathematics, I say that neither Proclus nor Plato states that many equally perfect demonstrations can occur demonstrating the same property about the same subject.
Rather, the same properties about the same subjects can be demonstrated in an equal way through diverse middle terms, whether those middle terms are of the same or diverse coordination, which Aristotle also taught in the 42nd text of the first book of the Posterior Analytics.
This addresses the third argument.
Francisci Barocii | Qvastio De Certitvdine Mathematicarum
[Barocii's Resonse to Piccolominie's fourth argument]
To the fourth I say that (as he himself confesses) he did not understand what Simplicius meant in that place.
Simplicius says the property of having three angles equal to two right angles is not converted with the rectilinear triangle, since a certain quadrilateral can also have three angles equal to two right angles.
[قلت: يريد الشكل القطاع السطحي]
How this matter holds is taught by Proclus in the 32nd proposition of the first book of
the Elements.
We will diligently examine this in our commentaries on Proclus, as well as in our Dilucidations of all mathematical passages of Plato and Aristotle.
In the present, however, let it be supposed (as it is also supposed by the more recent author, although he by no means knew this matter) that what Simplicius says is true.
When he says, "In every most powerful demonstration the major extremity ought to be converted with the minor; in mathematics it is not thus; therefore there is no most powerful demonstration in mathematics."
We respond by denying the consequence. This consequence would be valid if no property in mathematics were converted with its subject; but because very many properties are found in mathematics which are converted with their subjects, the consequence is invalid.
That what we say is true, let us hear Aristotle in the 29th text of the first book of the Posterior Analytics saying: "Those things which are in mathematics are converted more, since they take no accident, but definitions."
Let this suffice for the fourth argument.
Francisci Barocii | Qvastio De Certitvdine Mathematicarum
To the fourth I say that (as he himself confesses) he did not understand what Simplicius meant in that place.
Simplicius says the property of having three angles equal to two right angles is not converted with the rectilinear triangle, since a certain quadrilateral can also have three angles equal to two right angles.
[قلت: يريد الشكل القطاع السطحي]
How this matter holds is taught by Proclus in the 32nd proposition of the first book of
the Elements.
We will diligently examine this in our commentaries on Proclus, as well as in our Dilucidations of all mathematical passages of Plato and Aristotle.
In the present, however, let it be supposed (as it is also supposed by the more recent author, although he by no means knew this matter) that what Simplicius says is true.
When he says, "In every most powerful demonstration the major extremity ought to be converted with the minor; in mathematics it is not thus; therefore there is no most powerful demonstration in mathematics."
We respond by denying the consequence. This consequence would be valid if no property in mathematics were converted with its subject; but because very many properties are found in mathematics which are converted with their subjects, the consequence is invalid.
That what we say is true, let us hear Aristotle in the 29th text of the first book of the Posterior Analytics saying: "Those things which are in mathematics are converted more, since they take no accident, but definitions."
Let this suffice for the fourth argument.
Francisci Barocii | Qvastio De Certitvdine Mathematicarum
[Barocci's Response to Piccolominie's fifth argument]
First, when he says that if that authority of Proclus is true, namely that many elements of Euclid can be mutually elements to themselves, it follows that they do not demonstrate through true causes, since nothing can be the cause of its very self and there is only one definition of each thing.
I respond that this consequence is not valid except in converse theorems.
For if a converse theorem were proved by a direct demonstration through its own converse, the middle term would enter the conclusion, and therefore that theorem would be the cause of its very self, and it would not be the one definition of each thing.
Since this is false, it would follow, as he says, that it would not be demonstrated through true causes. Proclus noticed this at the end of the 24th commentary of the third book, saying that almost all converse theorems are not proved by a direct demonstration proceeding from a true cause, but by deduction to the impossible, because for the sake of more convenient doctrine they are mostly proved through their own converses with no interjected middle term.
Although these are shown through deduction to the impossible, nothing prevents their preceding converses from being demonstrated by a direct demonstration proceeding from a true cause.
Moreover, the converses themselves, if they are not proved through their precedings, will undoubtedly be able to be demonstrated from a true cause through direct demonstration by other means.
But in theorems that are not converse, this by no means follows; because although one is proved from the other, it is nevertheless not the cause of its very self, nor are there diverse definitions of the same thing, since indeed they are not converse.
Therefore, that consequence is not valid, except in converse theorems, while they are proved through their preceding converses.
Wherefore, even if certain theorems are not proved by demonstrations proceeding from a true cause but by deductions to the impossible, it must not be said on account of this that no theorem in mathematics is demonstrated through a true cause.
Francisci Barocii | Qvastio De Certitvdine Mathematicarum
First, when he says that if that authority of Proclus is true, namely that many elements of Euclid can be mutually elements to themselves, it follows that they do not demonstrate through true causes, since nothing can be the cause of its very self and there is only one definition of each thing.
I respond that this consequence is not valid except in converse theorems.
For if a converse theorem were proved by a direct demonstration through its own converse, the middle term would enter the conclusion, and therefore that theorem would be the cause of its very self, and it would not be the one definition of each thing.
Since this is false, it would follow, as he says, that it would not be demonstrated through true causes. Proclus noticed this at the end of the 24th commentary of the third book, saying that almost all converse theorems are not proved by a direct demonstration proceeding from a true cause, but by deduction to the impossible, because for the sake of more convenient doctrine they are mostly proved through their own converses with no interjected middle term.
Although these are shown through deduction to the impossible, nothing prevents their preceding converses from being demonstrated by a direct demonstration proceeding from a true cause.
Moreover, the converses themselves, if they are not proved through their precedings, will undoubtedly be able to be demonstrated from a true cause through direct demonstration by other means.
But in theorems that are not converse, this by no means follows; because although one is proved from the other, it is nevertheless not the cause of its very self, nor are there diverse definitions of the same thing, since indeed they are not converse.
Therefore, that consequence is not valid, except in converse theorems, while they are proved through their preceding converses.
Wherefore, even if certain theorems are not proved by demonstrations proceeding from a true cause but by deductions to the impossible, it must not be said on account of this that no theorem in mathematics is demonstrated through a true cause.
Francisci Barocii | Qvastio De Certitvdine Mathematicarum
From this it is abundantly evident that mathematical science holds itself as to certainty compared to natural and divine science just as we have said: and it must be placed in the first order of certainty not only on account of the matter subjected to it (as the most erudite more recent author wished), but also on account of its most powerful demonstrations. And let this indeed be my opinion about the certainty of mathematicals, excerpted from the best Authors.
THE END
Francisci Barocii | Qvastio De Certitvdine Mathematicarum
THE END
Francisci Barocii | Qvastio De Certitvdine Mathematicarum
❤1
فرانسيسكوس باروسيوس (تـ 1604 م) رياضي إيطالي، دَرَس في جامعة بادوا ثمانية سنوات قبل أن يبدأ بتدريس الرياضيات فيها مدة قصيرة من الزمان.
ترجم بعض الأعمال الرياضية، منها شرح برقلس على المقالة الأولى من كتاب إقليدس، ومنها بعض الأعمال لـ: هيرون السكندري، بابس السكندري، أرشميدس.
له مصنفات في علم الهيئة والهندسة.
اتهم بممارسة السحر والشعوذة، اُدين في محاكم التفتيش سنة 1583، وفي سنة 1587 أدين بالإلحاد والهرطقة والانخراط في الباطنية.
اتهم بأنه المتسبب في إعصار وعاصفة مطرية شديدة، وثبتت عليه التهمة، وحكم عليه بالسجن ولكن لم ينفذ الحكم. وأيضًا اتهم أنه قص شعر أحدهم في الجامعة لأغراض مجهولة.
قُلتُ: أما الباطنية والالحاد والزندقة، فربما، وأما أنه تسبب في إعصار، فدونه خرط القتاد.
ترجم بعض الأعمال الرياضية، منها شرح برقلس على المقالة الأولى من كتاب إقليدس، ومنها بعض الأعمال لـ: هيرون السكندري، بابس السكندري، أرشميدس.
له مصنفات في علم الهيئة والهندسة.
اتهم بممارسة السحر والشعوذة، اُدين في محاكم التفتيش سنة 1583، وفي سنة 1587 أدين بالإلحاد والهرطقة والانخراط في الباطنية.
اتهم بأنه المتسبب في إعصار وعاصفة مطرية شديدة، وثبتت عليه التهمة، وحكم عليه بالسجن ولكن لم ينفذ الحكم. وأيضًا اتهم أنه قص شعر أحدهم في الجامعة لأغراض مجهولة.
قُلتُ: أما الباطنية والالحاد والزندقة، فربما، وأما أنه تسبب في إعصار، فدونه خرط القتاد.
👍1
كتب فرانسيسكوس باروسيوس كتابه "السؤال عن يقينية الرياضيات" للرد على أليساندرو بيكولوميني.
وقد تضمن الكتاب مناقشة لأدلة بيكولوميني الخمسة على عدم وجود البراهين المطلقة في الرياضيات.
وحاول فيه المصنف إثبات ما يلي:
– تتضمن الهندسة براهين مطلقة بتوسيط العلتين الصورية والمادية.
– لا تتضمن الهندسة براهين مطلقة بتوسيط العلتين الفاعلية والغائية.
– ليست كل البراهين الهندسية براهين مطلقة، إذ تتضمن برهان العلامة وبرهان الرد إلى المحال.
– أفلاطون وأرسطو وثامسطيوس وبرقلس وسيمبليسوس ويوسطراطوس وإبن رشد معتقدون بأن الهندسة تتضمن البراهين المطلقة.
– وإن كان لموضوع الهندسة مدخلية في يقينيتها، ولكن للبراهين المطلقة أيضًا مدخلية.
وقد تضمن الكتاب مناقشة لأدلة بيكولوميني الخمسة على عدم وجود البراهين المطلقة في الرياضيات.
وحاول فيه المصنف إثبات ما يلي:
– تتضمن الهندسة براهين مطلقة بتوسيط العلتين الصورية والمادية.
– لا تتضمن الهندسة براهين مطلقة بتوسيط العلتين الفاعلية والغائية.
– ليست كل البراهين الهندسية براهين مطلقة، إذ تتضمن برهان العلامة وبرهان الرد إلى المحال.
– أفلاطون وأرسطو وثامسطيوس وبرقلس وسيمبليسوس ويوسطراطوس وإبن رشد معتقدون بأن الهندسة تتضمن البراهين المطلقة.
– وإن كان لموضوع الهندسة مدخلية في يقينيتها، ولكن للبراهين المطلقة أيضًا مدخلية.
❤4
كما فعلت مع بيكولوميني، إذ قررت أدلته وحججه، سأقرر حجج باروسيوس على وجود البراهين المطلقة بالإضافة إلى نقضه لأدلة بيكولوميني الخمسة.
وأما التحكيم فينبغي أن يؤجل، لاسيما وهناك أطراف مهمة في هذا الصراع ما قررت رأيها بعد، مثل كريستوفر كلافيوس، وهو أفضل منهما في الرياضيات بلا مقارنة.
وأما التحكيم فينبغي أن يؤجل، لاسيما وهناك أطراف مهمة في هذا الصراع ما قررت رأيها بعد، مثل كريستوفر كلافيوس، وهو أفضل منهما في الرياضيات بلا مقارنة.
❤2🤩2
[تشويقة]
منذ أن أنشأت هذه المجموعة وبدأت بالكتابة فيها قبل بضع أيام، وأنا ما أزال أمنع نفسي من البوح بكل شيء؛ لأن من الأشياء ما لا ينبغي البوح به إلا بعد نشره بنحوٍ رسمي.
ولا أطلب من الرياضي (خصوص المشغوف بأواخر القرن التاسع عشر وبدايات القرن العشرين) إلا أن ينتظر قليلًا.
فإنه بين أمرين لا ثالث لهما: إما (١) أنه سيقرأ ما يسوؤه ويسوِّد وجهه ووجه أصحابه وسيبقى مسودًّا أبد الدهر إذ جحد الحق تعصّبًا لأصحابه بعدما أيقنه عندما كشفته له كشفًا صحيحًا صريحًا، أو (٢) أنه سيفرح فرحًا عظيمًا باكتشافه الحقيقة وبخلاصه من السفسطة بعدما كان مشغوفًا بها وبأصحابها من حيث لا يعلم.
منذ أن أنشأت هذه المجموعة وبدأت بالكتابة فيها قبل بضع أيام، وأنا ما أزال أمنع نفسي من البوح بكل شيء؛ لأن من الأشياء ما لا ينبغي البوح به إلا بعد نشره بنحوٍ رسمي.
ولا أطلب من الرياضي (خصوص المشغوف بأواخر القرن التاسع عشر وبدايات القرن العشرين) إلا أن ينتظر قليلًا.
فإنه بين أمرين لا ثالث لهما: إما (١) أنه سيقرأ ما يسوؤه ويسوِّد وجهه ووجه أصحابه وسيبقى مسودًّا أبد الدهر إذ جحد الحق تعصّبًا لأصحابه بعدما أيقنه عندما كشفته له كشفًا صحيحًا صريحًا، أو (٢) أنه سيفرح فرحًا عظيمًا باكتشافه الحقيقة وبخلاصه من السفسطة بعدما كان مشغوفًا بها وبأصحابها من حيث لا يعلم.
❤17👍3👎3🔥2🤬1🤩1
من مشكلات الرياضيات الحديثة:
(١) أخذ ما بالعرض مكان ما بالذات.
(٢) عدم تعقُّل موضوع النظر.
والثاني لا يرجع بالضرورة إلى الترميز، فإن الرمز لو كان دالًّا على موضوع يُنظَر فيه نظرًا عقليًّا لم تكن هناك مشكلة.
ولكنه يرجع إلى الترميز الصوري؛ والمقصود منه وضع رموز مفرّغة عن أي معنى وغير دالة على أي معنى، وليس لها أي طبيعة ولا أي خصائص ذاتية.
وهذا ستنتج عنه فيما بعد كوارث معرفية، ويجب على من يلتزم هذا النظر الصوري المحض أن يلتزم إمكان اجتماع النقيضين، كما سوف أبين بالتفصيل الممل فيما بعد.
(١) أخذ ما بالعرض مكان ما بالذات.
(٢) عدم تعقُّل موضوع النظر.
والثاني لا يرجع بالضرورة إلى الترميز، فإن الرمز لو كان دالًّا على موضوع يُنظَر فيه نظرًا عقليًّا لم تكن هناك مشكلة.
ولكنه يرجع إلى الترميز الصوري؛ والمقصود منه وضع رموز مفرّغة عن أي معنى وغير دالة على أي معنى، وليس لها أي طبيعة ولا أي خصائص ذاتية.
وهذا ستنتج عنه فيما بعد كوارث معرفية، ويجب على من يلتزم هذا النظر الصوري المحض أن يلتزم إمكان اجتماع النقيضين، كما سوف أبين بالتفصيل الممل فيما بعد.
❤3
ثُمّ فليُنظَر في رجل يدرس رموزًا لا معنى لها ولا تعريف لها يدل على معناها وحقيقتها، موضوع بإزاء تلك الرموز الجوفاء مبادئ تجعلها بالقياس لبعضها البعض تحاكي الأعداد بالقياس لبعضها البعض.
هل يدرس هذا الرجل الأعداد حقيقة؟ وبتعبير آخر هل يدرس الرياضيات حقيقة؟ أم يدرس لعبة متسقة في نفسها تحاكي الرياضيات محاكاة جيدة؟
فلعله ليس برياضيّ وإنما متشبه بالرياضي.
هل يدرس هذا الرجل الأعداد حقيقة؟ وبتعبير آخر هل يدرس الرياضيات حقيقة؟ أم يدرس لعبة متسقة في نفسها تحاكي الرياضيات محاكاة جيدة؟
فلعله ليس برياضيّ وإنما متشبه بالرياضي.
❤2
المنهج العلمي الواقعي | علي آل شُبَّر
It is not to be said, therefore, that the mathematician does not demonstrate through a material cause because he considers form alone. For it is one thing to consider form alone, and another to demonstrate only through the genus of formal cause. Insofar as…
Truthfully, these opinions can be reconciled:
a preceding part in a definition, while it is a form, functions as "matter" in relation to the following part.
For everything that is less perfect in relation to its own more perfect intrinsic element functions as matter.
They could be reconciled in other ways as well, but it is irrelevant here.
Returning to our purpose: we say that even if we set aside the material cause (or take it in the sense just described), only the formal cause remains.
Alxenadri Piccolominei | Commentarium De Certitudine Mathematicarum Scientiarum
a preceding part in a definition, while it is a form, functions as "matter" in relation to the following part.
For everything that is less perfect in relation to its own more perfect intrinsic element functions as matter.
They could be reconciled in other ways as well, but it is irrelevant here.
Returning to our purpose: we say that even if we set aside the material cause (or take it in the sense just described), only the formal cause remains.
Alxenadri Piccolominei | Commentarium De Certitudine Mathematicarum Scientiarum
المنهج العلمي الواقعي | علي آل شُبَّر
For although intelligible matter is like a form, it nevertheless bears the role of matter in a certain way. And although all the parts of the definition (which is the cause in a most powerful demonstration) are forms, as Averroes says in his 28th commentary…
[باروسيوس في البراهين الهندسية بتوسيط العلتين المادية والصورية]
بعدما نوَّع باروسيوس أصناف التعريف إلى صوريّ يدل على حقيقة الماهية بنحو أكمل، وماديّ يدل على الماهية بصورة أنقص.
قال إن مبدأ البرهان المطلق هو الحدّ، فقرر أن البرهان الموسِّط للتعريف الصوري برهان بتوسيط العلة الصورية، والبرهان الموسِّط للتعريف المادي برهان بتوسيط العلة المادية.
وأعطى مثالًا اتكل عليه في مناقضة بيكولوميني:
التعريف المادي: الزاوية القائمة نصف الزاويتين القائمتين.
التعريف الصوري: الزاوية القائمة هي المساوية لمثلها المجاورة لها عند نهاية خط مستقيم يقوم عمودًا على آخر مستقيم.
– البرهان بتوسيط العلة المادية.
الصغرى: كل زاوية تقوم على قوس نصف الدائرة هي نصف الزاويتين القائمتين.
الكبرى: كل نصف الزاويتين القائمتين زاوية قائمة.
النتيجة: كل زاوية تقوم على قوس نصف الدائرة زاوية قائمة
– البرهان بتوسيط العلة الصورية
الصغرى: كل زاوية تقوم على قوس نصف دائرة فإنها تساوي الزاوية المجاورة لمثلها على نهاية مستقيم يقوم عمودًا على صاحبه.
الكبرى: كل زاوية تساوي الزاوية المجاورة لمثلها على نهاية خط يقوم عمودًا على صاحبه زاوية قائمة.
النتيجة: كل زاوية تقوم على قوس نصف الدائرة زاوية قائمة.
...
فالأول إذ يتضمن توسيط التعريف المادي فهو برهان مطلق بتوسيط العلة المادية.
والثاني إذ يتضمن توسيط التعريف الصوري فهو برهان مطلق بتوسيط العلة الصورية.
وهذا تقرير كلامه ومراده...
بعدما نوَّع باروسيوس أصناف التعريف إلى صوريّ يدل على حقيقة الماهية بنحو أكمل، وماديّ يدل على الماهية بصورة أنقص.
قال إن مبدأ البرهان المطلق هو الحدّ، فقرر أن البرهان الموسِّط للتعريف الصوري برهان بتوسيط العلة الصورية، والبرهان الموسِّط للتعريف المادي برهان بتوسيط العلة المادية.
وأعطى مثالًا اتكل عليه في مناقضة بيكولوميني:
التعريف المادي: الزاوية القائمة نصف الزاويتين القائمتين.
التعريف الصوري: الزاوية القائمة هي المساوية لمثلها المجاورة لها عند نهاية خط مستقيم يقوم عمودًا على آخر مستقيم.
– البرهان بتوسيط العلة المادية.
الصغرى: كل زاوية تقوم على قوس نصف الدائرة هي نصف الزاويتين القائمتين.
الكبرى: كل نصف الزاويتين القائمتين زاوية قائمة.
النتيجة: كل زاوية تقوم على قوس نصف الدائرة زاوية قائمة
– البرهان بتوسيط العلة الصورية
الصغرى: كل زاوية تقوم على قوس نصف دائرة فإنها تساوي الزاوية المجاورة لمثلها على نهاية مستقيم يقوم عمودًا على صاحبه.
الكبرى: كل زاوية تساوي الزاوية المجاورة لمثلها على نهاية خط يقوم عمودًا على صاحبه زاوية قائمة.
النتيجة: كل زاوية تقوم على قوس نصف الدائرة زاوية قائمة.
...
فالأول إذ يتضمن توسيط التعريف المادي فهو برهان مطلق بتوسيط العلة المادية.
والثاني إذ يتضمن توسيط التعريف الصوري فهو برهان مطلق بتوسيط العلة الصورية.
وهذا تقرير كلامه ومراده...
❤1
المنهج العلمي الواقعي | علي آل شُبَّر
[تقرير أدلة بيكولوميني على أن الأدلة الهندسية ليست براهين مطلقة] – استدل بيكولوميني على مطلوبه بخمس أدلة، كبرياتها منطقية، وصغرياتها رياضية. – سأشرح هذه الأدلة بنحو تفصيلي: المقدمات الرياضيات سأوضحها في هذا المنشور، وأما المقدمات المنطقية ففي منشور لاحق…
[رد باروسيوس على الحجة الأولى]
حجة بيكولوميني الأولى: (الكبرى) الحد الأوسط في كل برهان مطلق إما مأخوذ في حدّ العرض أو مأخوذ في حدّ الموضوع، (الصغرى) ولا شيء من الأدلة الهندسية كذلك.
رد باروسيوس: الصغرى كاذبة؛ إذ قد أثبتنا العرض [الزاوية القائمة] للموضوع [الزاوية التي تقوم على قوس نصف الدائرة] بتوسيط حد العرض.
وأما دعوى بيكولوميني أن الصغرى صادقة بالاستقراء التام، فإنه لم يتكل فيها إلا على I.32، ونحن نسلم أن البرهان عليها ليس برهانًا مطلقًا، ولكن وجود البرهان غير المطلق في الهندسة لا يمنع وجود البرهان المطلق فيها، وإنما أن يمنع أن يكون كل برهان هندسي برهانًا مطلقًا، ولا ندعي ذلك.
هذا رده...
حجة بيكولوميني الأولى: (الكبرى) الحد الأوسط في كل برهان مطلق إما مأخوذ في حدّ العرض أو مأخوذ في حدّ الموضوع، (الصغرى) ولا شيء من الأدلة الهندسية كذلك.
رد باروسيوس: الصغرى كاذبة؛ إذ قد أثبتنا العرض [الزاوية القائمة] للموضوع [الزاوية التي تقوم على قوس نصف الدائرة] بتوسيط حد العرض.
وأما دعوى بيكولوميني أن الصغرى صادقة بالاستقراء التام، فإنه لم يتكل فيها إلا على I.32، ونحن نسلم أن البرهان عليها ليس برهانًا مطلقًا، ولكن وجود البرهان غير المطلق في الهندسة لا يمنع وجود البرهان المطلق فيها، وإنما أن يمنع أن يكون كل برهان هندسي برهانًا مطلقًا، ولا ندعي ذلك.
هذا رده...
❤1
المنهج العلمي الواقعي | علي آل شُبَّر
[تقرير أدلة بيكولوميني على أن الأدلة الهندسية ليست براهين مطلقة] – استدل بيكولوميني على مطلوبه بخمس أدلة، كبرياتها منطقية، وصغرياتها رياضية. – سأشرح هذه الأدلة بنحو تفصيلي: المقدمات الرياضيات سأوضحها في هذا المنشور، وأما المقدمات المنطقية ففي منشور لاحق…
[رد باروسيوس على الحجة الثانية]
حجة بيكولوميني الثانية: (الكبرى) كل برهان مطلق حده الأوسط علة قريبة للعرض، (الصغرى) ولاشيء من البراهين الرياضية كذلك.
رد باروسيوس: أولًا نمنع الصغرى لأننا قد بينا براهين هندسية بتوسيط العلة الصورية القريبة وبتوسيط العلة المادية القريبة.
وثانيًا نناقض قوله إن المقدار لا يفعل وليس مبدأ للفعل، بأن الرياضيات إذ تتناول الصور فأكثر العلل فيها صورية، ويمكننا أن نستشهد ببعض النصوص من شرح برقلس حيث يبين فيها أن بعض الصور علل لبعض الخواص.
حجة بيكولوميني الثانية: (الكبرى) كل برهان مطلق حده الأوسط علة قريبة للعرض، (الصغرى) ولاشيء من البراهين الرياضية كذلك.
رد باروسيوس: أولًا نمنع الصغرى لأننا قد بينا براهين هندسية بتوسيط العلة الصورية القريبة وبتوسيط العلة المادية القريبة.
وثانيًا نناقض قوله إن المقدار لا يفعل وليس مبدأ للفعل، بأن الرياضيات إذ تتناول الصور فأكثر العلل فيها صورية، ويمكننا أن نستشهد ببعض النصوص من شرح برقلس حيث يبين فيها أن بعض الصور علل لبعض الخواص.
❤1
المنهج العلمي الواقعي | علي آل شُبَّر
[تقرير أدلة بيكولوميني على أن الأدلة الهندسية ليست براهين مطلقة] – استدل بيكولوميني على مطلوبه بخمس أدلة، كبرياتها منطقية، وصغرياتها رياضية. – سأشرح هذه الأدلة بنحو تفصيلي: المقدمات الرياضيات سأوضحها في هذا المنشور، وأما المقدمات المنطقية ففي منشور لاحق…
[رد باروسيوس على الحجة الثالثة]
حجة بيكولوميني الثالثة: (الكبرى) كل حد أوسط مباشر يوسط في البرهان المطلق على المسألة الواحدة فإنه واحد لا يوجد غيره، (الصغرى) ولكن الخواص الرياضية ليس لها حد أوسط مباشر واحد.
رد باروسيوس: الصغرى ممنوعة؛ لأنه على الرغم من أنه لا يوجد فعل في الكمية وبالتالي لا تكون الخواص الرياضية نابعة من صور الموضوع بحسب ترتيب أقدمية الفعل، ولكنها تنبع بحسب ترتيب أقدمية البراهين والعلل التي تبين وجود هذه الخواص لموضوعاتها.
وأما استشهاده بسلطة أفلاطون وبرقلس، من أن البراهين الكثيرة على الخواص الرياضية في رتبة واحدة، فلم يقولوا إن تلك البراهين كلها على أعلى درجة من الكمال.
حجة بيكولوميني الثالثة: (الكبرى) كل حد أوسط مباشر يوسط في البرهان المطلق على المسألة الواحدة فإنه واحد لا يوجد غيره، (الصغرى) ولكن الخواص الرياضية ليس لها حد أوسط مباشر واحد.
رد باروسيوس: الصغرى ممنوعة؛ لأنه على الرغم من أنه لا يوجد فعل في الكمية وبالتالي لا تكون الخواص الرياضية نابعة من صور الموضوع بحسب ترتيب أقدمية الفعل، ولكنها تنبع بحسب ترتيب أقدمية البراهين والعلل التي تبين وجود هذه الخواص لموضوعاتها.
وأما استشهاده بسلطة أفلاطون وبرقلس، من أن البراهين الكثيرة على الخواص الرياضية في رتبة واحدة، فلم يقولوا إن تلك البراهين كلها على أعلى درجة من الكمال.
❤2
المنهج العلمي الواقعي | علي آل شُبَّر
[تقرير أدلة بيكولوميني على أن الأدلة الهندسية ليست براهين مطلقة] – استدل بيكولوميني على مطلوبه بخمس أدلة، كبرياتها منطقية، وصغرياتها رياضية. – سأشرح هذه الأدلة بنحو تفصيلي: المقدمات الرياضيات سأوضحها في هذا المنشور، وأما المقدمات المنطقية ففي منشور لاحق…
[رد باروسيوس على الحجة الرابعة]
حجة بيكولوميني الرابعة: الأكبر في البرهان المطلق يساوي الأصغر وينعكس عليه عكسًا كليًّا في الحمل، ولكن بسلطة سيمبليسيوس، ليس الأمر في الرياضيات كذلك.
ردّ باروسيوس: فلنفرض صحة ما ذكره سيمبليسيوس [من أن الشكل القطاع (المثلث رباعي الأضلاع كما يسميه برقلس) مجموع زواياه الداخلية كقائمتين].
ولكن بعض المسائل الرياضية يساوي فيها الأكبر الاصغر وينعكس عليه في الحمل، وهذا يكفي.
حجة بيكولوميني الرابعة: الأكبر في البرهان المطلق يساوي الأصغر وينعكس عليه عكسًا كليًّا في الحمل، ولكن بسلطة سيمبليسيوس، ليس الأمر في الرياضيات كذلك.
ردّ باروسيوس: فلنفرض صحة ما ذكره سيمبليسيوس [من أن الشكل القطاع (المثلث رباعي الأضلاع كما يسميه برقلس) مجموع زواياه الداخلية كقائمتين].
ولكن بعض المسائل الرياضية يساوي فيها الأكبر الاصغر وينعكس عليه في الحمل، وهذا يكفي.
❤1
المنهج العلمي الواقعي | علي آل شُبَّر
[تقرير أدلة بيكولوميني على أن الأدلة الهندسية ليست براهين مطلقة] – استدل بيكولوميني على مطلوبه بخمس أدلة، كبرياتها منطقية، وصغرياتها رياضية. – سأشرح هذه الأدلة بنحو تفصيلي: المقدمات الرياضيات سأوضحها في هذا المنشور، وأما المقدمات المنطقية ففي منشور لاحق…
[رد باروسيوس على حجة بيكولوميني الخامسة]
حجة بيكولوميني: كثير من أصول إقليدس قد تكون مبادئ لبعضها البعض، فيلزم أن لا تكون براهينها بتوسيط العلل الحقيقية، إذ يمتنع أن يكون الشيء علة لنفسه، وللشيء الواحد حد واحد.
رد بارسيوس: مسلَّم في خصوص مسائل العكوس الكلية؛ فإن المسألة العكس لو تبرهنت بالبرهان المستقيم بتوسيط الأصل للزم الذي ذكر، وبالتالي لا تكون هذه البراهين موسط فيها علل حقيقية.
وقد تنبه برقلس إلى هذا إذ ذكر أن جميع العكوس الكلية التي تبرهنت بأصولها، براهينها ليست مستقيمة وليست بتوسيط العلل الحقيقية، وإنما بالردّ إلى المحال.
ولكن على الرغم من ذلك لا يوجد ما يمنع برهنة الأصل ببرهان مستقيم توسط فيه علة حقيقية، وأيضًا لا يوجد ما يمنع برهنة العكس الكلي لا بتوسيط الأصل ولا بالخلف، وإنما بمستقيم بتوسيط علة أخرى دون توسيط الأصل.
حجة بيكولوميني: كثير من أصول إقليدس قد تكون مبادئ لبعضها البعض، فيلزم أن لا تكون براهينها بتوسيط العلل الحقيقية، إذ يمتنع أن يكون الشيء علة لنفسه، وللشيء الواحد حد واحد.
رد بارسيوس: مسلَّم في خصوص مسائل العكوس الكلية؛ فإن المسألة العكس لو تبرهنت بالبرهان المستقيم بتوسيط الأصل للزم الذي ذكر، وبالتالي لا تكون هذه البراهين موسط فيها علل حقيقية.
وقد تنبه برقلس إلى هذا إذ ذكر أن جميع العكوس الكلية التي تبرهنت بأصولها، براهينها ليست مستقيمة وليست بتوسيط العلل الحقيقية، وإنما بالردّ إلى المحال.
ولكن على الرغم من ذلك لا يوجد ما يمنع برهنة الأصل ببرهان مستقيم توسط فيه علة حقيقية، وأيضًا لا يوجد ما يمنع برهنة العكس الكلي لا بتوسيط الأصل ولا بالخلف، وإنما بمستقيم بتوسيط علة أخرى دون توسيط الأصل.