Есть сейчас такая "мечта о квантовом интернете" - глобальной сети больших или маленьких квантовых компьютеров. Задачи, которые предполагается решать в таких сетях:

- Система защищенной связи (то бишь квантовая криптография)

- Системы из квантовых сенсоров для измерений и синхронизации времени сверхвысокой точности. В частности, что лично меня вдохновляет, мы можем выйти так и на квантовую гравитацию. Как-нибудь надо написать.

- Распределенные квантовые вычисления. В том числе "слепые" квантовые вычисления, когда клиент подключается к большому облачному квантовому компьютеру.

Почему я говорю "мечта"? Тут в целом моё отношение к этой области: пока всё-таки и технологические перспективы, и перспективы экономической целесообразности этой сферы неясны. Наверное, можно сказать так: квантовая информатика - это такая "научная фантастика" в рамках представлений и фантастическом высокотехнологическом будущем, которая хочет стать реальной.

По квантовым сетям и квантовому интернету выходит сейчас очень много работ.

Выделяют разные этапы развития квантового интернета. Пока что мы находимся на самой низшей ступени: сети из доверенных узлов, которые связаны системами квантового распределения ключей. Это не требует квантовых вычислений, нужны только лазеры и однофотонные детекторы, это у нас давно есть. Узлы называются "доверенными", потому что они доверяют друг другу. В частности, предполагается, что потенциальный подслушиватель не имеет к ним доступа, не захватил ни один из этих узлов, иначе - всё пропало. На картинке - наиболее развитая гигантская китайская сеть.

Когда у нас появится квантовая память, то наши возможности возрастут. Мы сможем делать недоверенные узлы (квантовые повторители), т.е. защищенность сохраняется даже в случае захвата этих узлов противником. Далее - сеть из маленьких квантовых компьютеров и, наконец, сети с участием больших полноценных компьютеров.

Вернёмся к нашему самому первому, уже существующему уровню. Одна из задач здесь - создание секретного ключа не для двух участников, а для нескольких или даже всей сети - конференционного секретного ключа. Можно себе представить конфиденциальную видеоконференцию, где все участники, обладающие общим для них секретным ключом для зашифрования и расшифрования, посылают друг другу видео- и аудиосигнал в зашифрованном виде.

Но устройства квантового распределения ключей у нас связывают только пары участников. Как тогда наиболее оптимально собирать из парных ключей общий конференционный ключ? Оказывается, это связано с задачей оптимальной упаковки так называемых остовных деревьев в граф. Недавно в журнале Physical Review Applied опубликована наша статья (в свободном доступе) об этом. Она получила очень положительные отзывы рецензентов за свою актуальность.

На этом рисунке из нашей статьи приведены примеры таких упаковок. Граф - это наша сеть: узлы (вершины) и парные системы распределения ключей (рёбра). Остовное дерево - это подграф, в котором все вершины связаны, т.е. из любой можно попасть в любую, но обязательно этот путь только один, нет двух разных дорог. Эквивалентно можно сказать, что нет замкнутых путей.

Каждое ребро в графе можно использовать только один раз. Сколько таких деревьев мы сможем найти в графе, использовав по разу каждое ребро, столько бит конференционного ключа и сможем генерировать.

Можно исходный граф умножить на 2, 3 и т.д., чтоб можно было использовать каждое ребро не один, а соответствующее число раз. Но тогда потом и поделить надо будет число деревьев на этот множитель. А в самом конце отрицательный пример - когда осталось последнее ребро, не соединяющее все вершины.

Отдельно мы рассматриваем вопрос оптимизации сети. Пусть нам выделены дополнительные ресурсы, на которые мы можем добавить в нашу сеть ещё одну парную связь. Тогда какие именно вершины дополнительно соединить: 1 и 4 или 6 и 2 на левом рисунке? Оказывается, 1 и 4 сильнее увеличивает скорость генерации конференционного ключа. А если можно ещё одну из вариантов, изображенных на рисунке справа? Тогда равнозначно можно 6 и 2 или 6 и 3, а вот 1 и 5 даёт меньший эффект.

Формулы, выведенные в статье, можно использовать для оптимизации уже существующих сетей квантового распределения ключей. Но, как обычно, есть и дальнейшие задачи.

Такс, простите за долгий перерыв, возвращаюсь:) Сейчас в теоретической квантовой информатике, как и во всей математике, происходит огромный прогресс от использования ИИ. Буквально этим летом он резко вышел на такие мощности, что стал не просто продвинутым инструментом поиска, когда, в отличие от Яндекса и Google, необязательно знать ключевые слова, а можно по сути объяснить, что тебе нужно, и не просто средством ускорения решения несложных вспомогательных задач, где сам бы справился за несколько часов или дней, может, но он это сделал за секунды, а стал способен решать задачи, для которых у людей уже не хватает "мозгов". Посыпались решения открытых задач.

Начать придётся не с квантовой информатики, а с недавней сенсации - решена одна из семи "задач тысячелетия" о решениях уравнений Навье-Стокса:
Какие ваши доказательства. Действительно ли модель OpenAI решила Задачу тысячелетия?

Список из семи "задач тысячелетия" был составлен в 2000 году Математическим институтом Клэя в США. Сами задачи придуманы не ими, но они отобрали самые важные и обещали премию в миллион долларов за решение каждой.

Самая известная из них - гипотеза Римана из аж 19 века. Задача из списка, связанная с информатикой, - это открытый вопрос о равенстве или неравенстве классов сложности P и NP. Если по-простому, то это вопрос о существовании вычислительно эффективных алгоритмов решения сложных задач - таких как, например, разложение целого числа на простые сомножители, лежащие в основе современной криптографии.

Единственная до недавнего времени решенная задача - это так называемая гипотеза Пуанкаре, решенная петербургским математиком Григорием Перельманом в 2002-2003 годах. Была тогда знатная история, когда он отказался и от миллиона долларов, и от всех премий.

И вот есть в этом списке и проблема о существовании решений на бесконечном промежутке времени для уравнений Навье-Стокса. Это уравнения движения жидкости и газа, по ссылке на портале nplus1, например, можно кое-что о них прочитать, а также и о собственно происходящей истории их решения. Если коротко, то вопрос в том, могут ли при каких-то условиях в решениях этих уравнений за конечное время развиваться так называемые сингулярности, когда какая-то физическая величина (плотность, скорость и т.д.) становится бесконечной. Разумеется, в реальном мире такого быть не может, поэтому развитие сингулярностей означает обычно, что само уравнение вблизи этих сингулярностей перестаёт действовать и нужно их уточнение, а то и вовсе другая теория. Они могут свидетельствовать и о возникновении какого-то нового качества (ударной волны, например), которое, собственно, и требует какой-то новой теории.

Там довольно запутанная история между учеными Тристаном Бакмастером и Левеном Альпёге и компанией OpenAI, разработчиком ChatGPT: какой слух прошел, кто что первым опубликовал, какие там подковёрные переговоры, конкуренция OpenAI и Anthropic (разработчик конкурирующей системы Claude) - тут ещё дело в том, что Альпёге работает в Anthropic.

Но что в итоге: Бакмастер и Альпёге опубликовали развитие сингулярностей для более простого уравнения Эйлера, но, вроде, проверяют своё доказательство и для собственно уравнений Навье-Стокса. В своей работе они активно использовали ИИ, но опирались и на недавние "человеческие" результаты Диего Кордобы и Луиса Мартинеса-Зороа. Также OpenAI то ли опубликовала, то ли только объявила об аналогичном результате именно для уравнений Навье-Стокса: в них действительно тоже развиваются сингулярности. Для этого они использвали новейшую, пока непубличную модель своего ChatGPT. Бакмастер и Альпёге обвинили компанию в том, что вот они общались с ИИ в процессе своих исследований, и эти данные могли утечь в "океан знаний" ChatGPT, так что OpenAI как бы "украли" их результат. В компании сказали, что такое маловероятно, но не исключено, но подчеркнули, что их метод совершенно другой.

Большинство изложений этой истории, в том числе вот этот в nplus1, не упоминают ещё и о третьей группе - ученые Adarsh Ganeshram, Valentin Duruisseaux и Anima Anandkumar из Калифорнийского технологического института, которые тоже решили проблему для уравнений Эйлера (может, в другом варианте, не буквально то же, что Бакмастер и Альпёге), но с минимальным использованием ИИ. Вот их статья: Euler.pdf

Что тут хочется сказать. Это, конечно, шокирующая новость: ИИ решил задачу тысячелетия. Но всё же, мне так кажется - я не специалист в этой области, но вот сопоставляя эти все факты: и третья группа, обошедшаяся без ИИ, и опора Бакмастера и Альпёге на предшествующие человеческие результаты, - дело тут в том, что человечество приблизилось к решению этой задачи в последние годы. Наверное, она была бы решена в ближайшие годы и без ИИ. Но с ИИ это получилось быстрее.

А это картинка, опубликованная OpenAI: Визуализация одного из решений уравнений Навье–Стокса в окрестности точки, где формируется сингулярность.
Оранжевым цветом отмечено более быстрое угловое вращение, бирюзовым — более медленное. Как видим, скорость вращения возрастает при приближении к центральной оси - и, видимо, обращается там в бесконечность. Также говорится о растяжении (тоже бесконечном?) вдоль этой оси.

Теперь что это означает для реальных жидкостей и газов. И в статье nplus1, и в других источниках (например, Теренс Тао - выдающийся современный математик и популяризатор) пишут, что практического смысла тут уже не очень много. Изначально задача была практической, но с тех пор моделирование движений жидкостей и газов продвинулось далеко вперёд и там знают, как обходиться с такими ситуациями.

Более того, результат не стал неожиданным: в научном сообществе уже был консенсус о том, что да, при определенных условиях в решениях уравнения Навье-Стокса могут развиваться сингулярности, просто не могли найти такой пример. Мощный ИИ это сделал, но, как я предположил, наверное, и люди бы в скором времени нашли: в этой области в последние годы происходил большой прогресс и без ИИ.

Развитие за конечное время сингулярностей происходит при довольно специфических математических условиях (поэтому-то их и трудно было найти), которые, возможно, сами физически неустойчивы, т.е. нереализуемы. В этом смысле можно спать спокойно: никакое цунами от неожиданно возникших сингулярностей в мировом океане нас не смоет, ни в какую неожиданно возникшую воронку в атмосфере не засосёт 😅.

Но всё-таки можно поставить вопрос о том, что уравнения Навье-Стокса нуждаются в корректировке, если приводят к нефизическим решениям с сингулярностями. Даже если тут и нет уже непосредственного практического смысла для моделирования динамики жидкостей и газов. Для нашего понимания физики и математики это может быть важно, а цель науки - понимание.

Этой осенью стартует курс «Введение в квантовые алгоритмы»

Друзья, в рамках Научно-образовательной программы МИАН пройдёт курс, подготовленный сотрудниками Российского квантового центра.

📔НОЦ МИАН — это открытая образовательная программа при Математическом институте им. В. А. Стеклова РАН. Её идея — дать студентам и молодым исследователям возможность изучать современную математику и физику непосредственно у действующих учёных и постепенно включаться в настоящую исследовательскую работу. Лекции проходят по вечерам, посещение свободное; можно подключаться удалённо, а также смотреть лекции в записи.

Курс посвящён одной из центральных областей современной теории квантовых вычислений — квантовым алгоритмам. Слушатели разберутся, как устроены отдельные алгоритмы и какие общие принципы лежат в основе их построения:

🔹 откуда возникает квантовое ускорение;
🔹 какой математический аппарат используют квантовые алгоритмы;
🔹 как оценивать их эффективность и практический потенциал.

Курс рассчитан прежде всего на старших студентов, аспирантов и начинающих исследователей в области математики, физики и computer science. Желательно знакомство с основами квантовых вычислений и математическим аппаратом квантовой механики.

Программа курса подготовлена сотрудниками группы «Квантовые информационные технологии» РКЦ, часть из которых также работает в Математическом институте им. В. А. Стеклова РАН.

Преподаватели : Евгений Киктенко, Максим Гавреев и Всеволод Яшин.

🗓 Лекции будут проходить по четвергам в период с 24 сентября по 24 декабря 2026 г. в 18:15

Участие бесплатное, но необходима регистрация на странице курса:
https://www.mathnet.ru/conf2803

Перешлите этот пост тем, кому интересны квантовые вычисления и современные алгоритмы!

Ну и минутка рекламы: образовательный курс в МИАН+онлайн про квантовые алгоритмы от моих замечательных друзей и коллег Евгения Киктенко, Максима Гавреева и Всеволода Яшина. 👆 Очень здорово, что затронуты не только классические алгоритмы Шора и Гровера, но и современные. Скажем, недавно рецензировал статью про "decoded quantum interferometry" - DQI ("декодированная квантовая интерферометрия"?). Подумал: ничего себе, сколько новых вещей сейчас возникает - надо бы разобраться. И тут вижу эту тему в этом курсе - коллеги, оказывается, уже разобрались! 🤝

Ну и заодно вот попалось объявление от образовательной программы в МИФИ, где я консультант. 👆 Пишут, что предварительное знакомство с квантовыми технологиями не требуется, то есть, должно быть, это довольно доступное мероприятие.

Только вот я настаиваю (перечитывая объявление), чтоб наша подобласть называлась по-русски не "квантовые коммуникации", а "квантовая связь". "Квантовые коммуникации" - это транслитерация с английского "quantum communications" и как будто утвердилась по-русски, но вообще-то неудачная: в русском языке "коммуникации" - это скорее провода и трубы, "проложены коммуникации".

Скажем, основополагающие труды Шеннона "Mathematical theory of communication" и "Communication theory of secrecy systems" переведены на русский как "Математическая теория связи" и "Теория связи в секретных системах". Так что в науке о связи, передаче информации, "communications" так и переводят - "связь". Поэтому и "quantum communications" предлагаю переводить "квантовая связь".

Итак, какие же задачи уже именно в квантовой информации были решены при помощи ИИ. Их много, в один прекрасный июльский день вообще сразу пять статей с решениями давних открытых задач опубликовали, не обо всех этих открытых задачах я знал. Я расскажу о двух. Сегодня - о предельных возможностях исправления ошибок в квантовых каналах, если по-научному - строгое обращение теоремы кодирования.

Мы много раз затрагивали коды, исправляющие ошибки, например, здесь. Суть в том, что в битовые строки мы добавляем "избыточные", "проверочные" биты, которые позволяют исправить ошибки, если они возникнут в процессе передачи или хранения информации. Например, как мы обсуждали, можно просто повторить каждый бит три раза. Тогда, если возникнет ошибка в одном бите, то по двум повторениям, которые не поменялись, мы эту ошибку обнаружим и исправим.

Ключевая характеристика здесь - это отношение информационных битов к сумме информационных и проверочных. В данном случае оно равно 1/3: каждый бит повторяется три раза, т.е. именно информацию несут только треть битов, остальные проверочные. Код Хемминга, который упомянут по ссылке, более экономный: на 4 информационных бита приходится 3 проверочных, так что это отношение равно 4/(4+3)=4/7. Это отношение называется "кодовой скоростью" (code rate). А можно ли ещё лучше? Так вот основнополагающая теорема Шеннона из упомянутой в предыдущей записи работы "Математическая теория связи" устанавливает предельную возможность: к какой предельной кодовой скорости теоретически можно приблизиться при заданной вероятности ошибок. Ну то есть одно дело, когда ошибка возникает в каждом третьем бите, а другое - когда только в каждом сотом. Разумеется, во втором случае нам нужно меньше проверочных битов и можно достигнуть более высоких кодовых скоростей. Теорема Шеннона говорит, каких именно. Предельная теоретически возможная кодовая скорость называется пропускной способностью (capacity) канала связи.

Что значит "предельная" и "теоретически возможная". Для улучшения кодовой скорости лучше кодировать не отдельными битами, а блоками. Вот как код Хемминга берёт не отдельные биты, а блоки по 4 бита. Когда у нас блок, то у нас больше возможностей, мы можем осуществлять более "коллективные" операции. Так что беря блоки всё большей и большей длины, мы можем придумывать коды с более высокой кодовой скоростью.

А "теоретически возможная" - потому что кодовая скорость - не единственная характеристика кода с точки зрения практики. Например, код должен иметь быстрые алгоритмы кодирования и декодирования. Кодирование блоками слишком большой длины может быть и вычислительно сложным, и приводить к задержкам в линии связи: отправитель должен накопить весь блок, прежде чем начать его обрабатывать, а получатель всё это время ждёт. Но тем не менее теорема сообщает, какие у нас предельные теоретические возможности, когда мы абстрагируемся от этих подробностей. Для людей, разрабатывающих практические коды, она задаёт некий ориентир: что хотя бы теоретически возможно, а что принципиально невозможно. Как закон сохранения энергии в физике, например. Современные коды, исправляющие ошибки, достигают теоретического предела, являясь при этом вычислительно эффективными, практическими.

Теорема Шеннона состоит из двух частей. Во-первых, требуется доказать, что к этой предельной кодовой скорости действительно можно приблизиться, увеличивая длину блока, существуют соответствующие коды. А именно, утверждение выглядит так: существует бесконечная последовательность кодов для блоков возрастающей длины, скорости которых приближаются к пропускной способности канала, а ошибка декодирования при этом стремится к нулю.

Ошибка декодирования - это ситуация, когда ошибок произошло слишком много, что код уже не может все их исправить. Скажем, вот мы повторили каждый бит трижды: 0->000, 1->111. Если произошла не одна, а две ошибки, т.е. вместо 000 получили 011, то получатель подумает, что было послано 111 и произошла одна ошибка в первой позиции. В результате он декодирует неправильно: не в 0, а в 1. Вот эта ошибка должна стремится к нулю.

А во-вторых, теорема Шеннона доказывает, что лучше - нельзя. Это довольно обычная схема, которую знают и школьники-олимпиадники по математике, "пример+оценка", кажется это называется: надо с одной стороны предъявить пример того, что можно достичь нужного "показателя качества", а с другой - доказать, что ещё лучше - нельзя.

И вот тут в случае с теоремой кодирования и есть тонкость. Что значит "нельзя"? Можно сформулировать так: если мы увеличиваем длину блока, но добавляем слишком мало проверочных битов, т.е. пытаемся передавать информацию быстрее, чем допускает пропускная способность, то вероятность ошибки декодирования НЕ стремится к нулю. Это называется "слабое обращение".

Почему слабое? Окей, хорошо, пусть моя ошибка декодирования не стремится к нулю, а стремится, допустим, к одной сотой. Т.е. примерно один раз из ста приёмник ошибочно декодирует сообщение. Но может, это не так страшно, если это позволяет передавать сообщения с намного большей скоростью? Т.е. вставляем намного меньше проверочных битов, платя за это лишь небольшой вероятностью "сбоя", - вполне неплохо.

Так вот "сильное обращение" (доказанное уже не Шенноном, а позже) утверждает, что нет: если мы вставляем слишком мало проверочных битов для данного уровня шума, то вероятность ошибки не просто не стремится к нулю, а стремится к единице! Причём стремится очень быстро (экспоненциально, в геометрической прогрессии) с размером блока. Вот это уже точно никуда не годится: не один раз из ста, а ПОЧТИ ВСЕГДА мы будем декодировать ошибочно. Никакую информацию так передавать нельзя, так что пропускная способность канала - действительно предел.

Это всё касалось пока классических каналов связи. Известна теорема кодирования и для квантовых каналов, т.е. когда передаются не классические биты, а квантовые состояния. То же самое: несколько физических кубитов могут кодировать один логический. Ну или блок из n физических кубитов может кодировать k<n логических, тогда k/n - квантовая кодовая скорость. Тоже выводится формула пропускной способности - предела этого отношения.

Так вот до сих пор оставался открытым вопрос о сильном обращении. Прямое утверждение, т.е. существование квантовых кодов, достигающих пропускной способности и обеспечивающих стремящуюся к нулю вероятность ошибки - пожалуйста. Утверждение о том, что, если мы пытаемся делать кодовую скорость выше пропускной способности, то вероятность ошибки НЕ стремится к нулю - пожалуйста. А точно ли она не просто не стремится к нулю, а именно стремится к единице? Было неизвестно.

И вот этим летом при помощи ИИ произошел прорыв, причем многие исследователи шли наперегонки: в один день один коллектив публикует, через несколько дней другие уже могли это обобщить. Приведу лишь обобщающий текст от Марко Томамихеля (Tomamichel):
https://marcotom.info/the-tale-of-two-proofs-of-the-strong-converse/

В конце там приведены ссылки на две его работы (обе сентябрьские!), где он доказывает сильное обращение двумя способами, а в середине текста содержится ссылка и на статью моих друзей и коллег из Дюссельдорфского университета, которые летом доказали эту теорему для определенных классов квантовых каналов. Томамихель с соавторами обобщили на все так называемые конечномерные каналы (когда мы кодируем информацию только в конечное число "степеней свободы" квантовой частицы). Одна из статей так и называется - "No information transmission through quantum channels above capacity" - "Невозможность передачи информации по квантовым каналам выше пропускной способности".

А на этой неделе появилась и ещё статья Марка Вайлда (Wilde) с доказательством строгого обращения для важного и практического класса уже бесконечномерных каналов:
https://arxiv.org/abs/2609.16608

Все использовали ИИ, но здесь хочу подчеркнуть, что и Томамихель, и Вайлд - это ведущие учёные в этой области. То есть не то что любой человек может при помощи ИИ решить открытую задачу. Степень взаимодействия с ИИ может быть разной и возникающая на наших глазах научная этика в этом отношении предписывает об этом сообщать (что все и делают), но, во-первых, уж по крайней мере человек должен быть способен понять, то ли сделал ИИ или не совсем, и проверить его решение. А во-вторых, как именно работает ИИ, не до конца ясно, но всё же факт есть факт: даже когда профессионал признаётся, что все идеи не его, а ИИ, всё-таки именно с его подачи, с его формулировок и диалога с ИИ последний оказался способен выдать решение:)