Это фундаментальный вопрос. Он волновал людей начиная с самого возникновения квантовой механики. Сам Шрёдингер был неудовлетворён тем, что его уравнение - комплексное, и выражал надежду, что может быть найдено и вещественнозначное описание без использования комплексных чисел. На картике это изображено в виде человечка, закрашивающего мнимую единицу i. Затем на протяжении XX века многочисленные учёные, в том числе известные, возвращались к этому вопросу.

Небольшое дополнение по поводу Шрёдингера: он не просто надеялся, что можно его уравнение записать без использования комплексных чисел, он даже и написал его впервые без их использования: уравнение, напоминающее волновое уравнение как раз из электродинамики, без комплексных чисел.

Это пока была первая часть, продолжение следует:)

Продолжим. Сама вопрос, можно ли заменить в формулировке квантовой механики комплексные числа вещественными, плохо поставлен. Конечно, можно: если комплексное число - это просто пара вещественных со специфическими правилами арифметических действий, то мы можем везде, где нам встречаются комплексные числа, заменить их на пары вещественных и сказать, что мы действуем с ними по таким-то правилам. То есть держать в голове комплексные числа, но формально не вводить их. Но это будет некрасиво, слишком громоздко, неудобно. Поэтому вопрос должен звучать, можно ли предложить вещественнозначную формулировку квантовой механики так, чтобы она была "красивой", "убедительной". Это, конечно, делает вопрос уже эстетическим, а не чисто математическим.

И тут в игру вступает локальность. Это фундаментальный физический принцип. Представим себе, например, два атома, один на Земле, другой на Луне. Они не взаимодействуют, никак не связаны между собой, но мы хотим по какой-то причине рассматривать их вместе. Тогда, если мы как-то воздействуем на атом на Земле, то на атом на Луне это, очевидно, никак не влияет. Это и есть принцип локальности. Но как это требование выразить математически?

В классической механике частица в каждый момент времени характеризуется своим положением и скоростью. В квантовой механике, как известно, частица не занимает определённое положение, а "размазана" в пространстве, так же со скоростью. Вот эта "размазка" характеризуется так называемой волновой функцией. На рисунке изображены волновые функции для атома водорода.

Эта волновая функция комплекснозначная, уравнение Шрёдингера - как раз уравнение на волновую функцию. И эти функции "живут" в специальных математических линейных (точнее, гильбертовых) пространствах.

Так вот если у нас уже не один атом, а два, то волновые функции двух атомов "живут" в так называемом тензорном произведении гильбертовых пространств. Это некое правило, сопоставляющее пространствам отдельных атомов "большее" пространство уже пары (или произвольного числа) атомов или других частиц.

Так вот тензорное произведение как раз так устроено, что принцип локальности выполняется автоматически.

Но в 2021 году группа авторов опубликовала в журнале Nature результат, что если комплексное тензорное произведение на вещественное, то такая теория не способна объяснить определённые эксперименты, связанные уже даже не с двумя, а с тремя квантовыми частицами. Это и вдохнуло новый импульс в дискуссии о том, может ли квантовая теория обойтись без комплексных чисел. Авторы статьи заключают, что нет. Надо отметить, что Nature - это самый авторитетный научный журнал в мире и крайне редко публикует чисто теоретические статьи: эксперименты всегда выглядят более "ярко" для таких "витринных" журналов. А тут была опубликована чисто теоретическая статья!

Собственно, я изначально отнёсся к тематике скептически: вопрос, как я уже сказал, не совсем математический, а скорее эстетический, большого практического смысла не имеет. Никто, конечно, не собирается отказываться от комплексных чисел и переходить к другой формулировке квантовой механики. Но вот меня убедил аргумент, что публикация в Nature означает, что научное сообщество считает этот вопрос важным и интересным. Что подтверждается и (относительно) большим количеством статей, которые вышли в этом году в ответ на эту статью в Nature, помимо, собственно, нашей. Мы оказались первыми, но тут же нам написали люди о том, что они тоже этим занимаются, и после нас, вышел ещё ряд статей, чему я был удивлён.

Часть этих статьей упомянуты в статье в Quanta, с которой я начал, но не все. Были ещё интересные статьи моего научного руководителя Игоря Васильевича Воловича и Ирины Ярославны Арефьевой, которые по какой-то причине не упомянуты в Quanta, хотя я журналистам Quanta о них говорил и советовал взять интервью и у них тоже!

Суть и нашей статьи, и статей наших коллег в том, что да, правило тензорного произведения даёт нам автоматически локальность, но это не единственное правило, которое даёт локальность. Да, вещественное тензорное произведение, в отличие от комплексного, упускает существенную для квантовой механики степень свободы. Мы с коллегами предлагаем разные способы немного подправить вещественное тензорное произведение, чтобы оно снова учитывало все особенности именно комплексного тензорного произведения.

В конечном счёте, мы, избавляясь от комплексных чисел, все всё равно симулируем комплексную структуру посредством вещественных чисел. Так что, хоть наши статьи и называются в том духе, что можно обойтись без комплексных чисел, лично я сделал такой вывод из этой истории:

1. Да, можно предложить убедительную и даже красивую формулировку квантовой механики, используя только вещественные числа.
2. Тем не менее, всё равно это симуляция комплексной структуры.

Так что я бы сказал, что комплексная структура в самом деле фундаментальна для квантовой механики. А комплексные числа наиболее удобны для передачи этой структуры, так что в этом смысле они тоже фундаментальны.

Любые числа - математическая абстракция. Можно ещё здесь вспомнить фразу немецкого математика XIX века Леопольда Кронекера: "Бог создал целые числа, всё остальное - дело рук человека". То есть целые или даже просто натуральные числа и ноль (т.е. 0,1,2,...) фундаментальны "по-настоящему", остальные числа вводятся для удобства, для выражения определённых математических структур.

Размышляя об этом вопросе, мы выходим на общий вопрос и философии математики: математики ИЗОБРЕТАЮТ или ОТКРЫВАЮТ свои структуры? Можно ли считать, что те же вещественные или комплексные числа, геометрия Евклида и т.д. в некотором смысле существуют (в платоновском мире идей, в мыслях Бога) и человек их открывает в том же смысле, что и законы физики? Или это действительно исключительно дело рук человека, язык, который изобретает человек для описания физической реальности? Я больше склоняюсь к первой позиции.

Кстати, интересная история произошла с названием нашей статьи. Первоначально мы планировали её назвать "Quantum theory does not need complex numbers" - "Квантовая теория не нуждается в комплексных числах". Но я изложил свои аргументы, что так утверждать неправильно, т.к. непонятно, что значит "нуждаться": в принципе, так можно и от вещественных чисел отказаться, дойти до натуральных. В итоге мы назвали свою статью не так громко, но по сути: "Quantum mechanics based on real numbers: A consistent description" - "Квантовая механика, основанная на вещественных числах: Согласованное описание", как раз в духе пункта 1 выше. То есть мы приводим, насколько у нас получилось, согласованное описание квантовой теории, основанное только на вещественных числах, но всё равно это симуляция комплексной структуры.

И спустя время выходит статья с названием в точности, как мы имели вначале - "Quantum theory does not need complex numbers", - но авторов из Франции. Дело в том, что в промежутке между выходами наших статей один наш соавтор рассказал на конференции коллегам, что первоначальное наше название было таким, и мы поэтому стали подозревать, что коллеги "украли" наше первоначальное название. Однако они нас заверили, что нет, у них тоже ещё давно было такое название и они, в отличие от нас, его оставили. Они и так удивились, что мы вперёд их опубликовали работу на ту же тему, а вот бы было их удивление, если б ещё и название было тем же! 😁

Это название более громкое, так что в плане "славы" они где-то нас даже опередили: люди лучше обращают внимание на громкие заголовки, поэтому у учёных есть соблазн "overselling" своих результатов в заголовках.

☝️Известная популяризаторша науки Сабина Хоссенфельдер о наших результатах по вещественной квантовой механике. Я ждал её критики, она часто критикует физиков за то, что занимаются "не тем", но в итоге она даже и не критиковала, а изложила собственно мою точку зрения.

Заметил, что наши статьи по вещественной квантовой механике стали обсуждать на разных каналах, в комментариях на сайтах, поэтому ещё раз хочу подчеркнуть, что это история не просто про то, что комплексное число представляется как пара вещественных - тут нечего и думать, это действительно очевидно изначально. Как я писал до этого, вся это история - про адекватное представление составных квантовых систем: как состояния подсистем складываются в состояния составной системы и обратно.

Просто аккуратное объяснение этого требует понятие тензорного произведения. Оно несложное, но всё-таки оно находится за предалами не только школьной математики, даже углубленной, но и математической программы технических вузов, да даже, наверное, и многих физических специальностей, не связанных с квантовой информатикой. Поэтому все популярные изложения не могут хорошо объяснить этот момент. Тут на словах сложно, надо писать формулы.

Популярные изложения хороши для того, чтобы понять, что в принципе сейчас в науке происходит. Но чтоб понять, в чем конкретно там заключается "битва", в чем сложность, часто нужно уже погружаться. Экспериментальные научные результаты, наверное, проще объяснить популярно, но что касается абстрактной теоретической науки, то вот так:)

Но в моем рассказе осталась недосказанной одна вещь. Здесь я писал, что "наивное" вещественное тензорное произведение упускает существенную для квантовой механики степень свободы. Что это за степень свободы? Как всегда несколько упрощая, можно сказать, что речь о "phase kickback" - явлении, хорошо известном и использующемся в квантовых вычислениях. Не видел перевод на русский. Фазовая отдача?

Суть вот в чём. На рисунке изображена операция "Управляемое НЕ" (Controlled NOT, CNOT). Эта операция может быть и классической, неквантовой. Здесь q0 и q1 - два входных бита 0/1. Если q0=0, то с битом q1 ничего не происходит. А если q0=1, то значение бита q1 переворачивается, т.е. если q1 на входе был равен 0, то его значение меняется на 1, и наоборот.

Это изображено в виде операции "+", поскольку это можно представлять как сложение q0 и q1 по модулю два, или двоичное сложение. Т.е. сначала мы складываем обычным образом, а потом берём остаток от деления на 2. Например, 1+1=2, остаток от деления 2 на 2 равен, конечно, нулю, поэтому 1+1=0 по модулю 2.

Если q0=0, то 0+q1=q1, т.е. ничего не происходит. Если q0=1, то 1+q1 - это переворот бита q1, т.к. 1+0=1, а 1+1=0.

В квантовом случае всё то же самое, но на входе, а значит, и на выходе могут быть суперпозиции из всех четырёх комбинаций значений двух (ку)битов: 00, 01, 10, 11. И тут возникает такой момент: при определенных суперпозициях управляющий и целевой кубит как бы меняются местами. В классической операции q0 - управляющий кубит, т.к. он сам не меняется, от него только зависит, изменится ли целевой кубит q1. А в квантовом случае такое различие провести уже нельзя: кто целевой кубит, а кто управляющий, зависит, если угодно, от "угла зрения" (с точки зрения какой наблюдаемой котором мы это рассматриваем).

Это показано на рисунке: при определенном преобразовании над кубитами, которое называется преобразованием Адамара (Hadamard, H) управляющий и целевой кубит меняются местами. Как раз за счёт явления фазовой отдачи.

Проще всего объяснить явление переворота фазы на примере другого преобразования, или "вентиля", или "гейта" (gate) - управляемого переворота фазы. Этот вентиль в классическом смысле вообще ничего не делает: значения битов остаются теми же. Но он переворачивает фазу комбинации "11", оставляя без изменений фазы остальных комбинаций "00", "01" и "10". Это соответствует тому, что где у волны был гребень, теперь впадина, и наоборот: волна как бы сдвинута. Тогда при наложении волн интерференционная картина будет другой. Мы уже обсуждали, что интерференция должна играть роль в каждом квантовом вычислении.

Так вот здесь можно считать, что кубит q0 управляющий: когда он ноль, ничего не происходит, а когда он единица, то происходит переворот фазы q1, если он тоже единица. Но в равно степени можно считать и наоборот: что это q1 управляющий, а q0 целевой. Потому вентиль и изображается симметрично, оба кубита полностью равнозначны.

Это, можно сказать, и есть фазовая отдача: составные квантовые системы так устроены, что нельзя провести разницу, "чья" именно фаза поменялась: того или другого кубита. Математически тут перемножаются два комплексных числа, и от перестановки сомножителей произведение не меняется.

"Отдача" тут в том смысле, что "ты" (кубит) думаешь, что ты управляешь фазой другого кубита, но можно сказать, что и на тебя самого оказывается такое же воздействие. Речь, ещё раз подчеркну, про составные системы: как рассматривать два кубита вместе.

А вот если мы начинаем изображать комплексные числа в виде пар вещественных, то это мы уже работаем не с числами, а с векторами и матрицами - и здесь от перестановки сомножителей произведение начинает меняться. Поэтому при "наивной" вещественнозначной формулировке квантовой механики явление фазовой отдачи исчезает или по крайней мере искажается. А это, повторю, практическая вещь, которая используется в квантовых вычислениях.

Но несмотря на простоту идеи всё-таки было непросто предложить конкретный эксперимент, который нельзя было никаким образом объяснить исходя из вещественной квантовой механики. Авторы статьи в Nature это сделали.

Ну а мы как раз предложили модифицированное правило составления составных систем из простых (например, кубитов) так, чтобы фазовая отдача снова появилась. В этом и есть основной технический результат.

P.S. А, ну вот, кажется, изложил-таки суть без использования понятия тензорного произведения, обращаясь только к элементарной математике, насколько это было возможно:)

Всех с Новым годом и Рождеством Христовым! 🎄🌟🕯

Хочу собраться с мыслями и написать о других темах, но всё-таки придётся ещё раз вернуться к вещественной квантовой механике: о чём всё-таки на самом деле та статья в Nature, которую мы как бы критикуем? Недавно один из соавторов той статьи Мигель Наваскес (Miguel Navascues) выступил с открытой и довольно эмоциональной критикой нашей работы и параллельной работы коллег:
https://sciencecommunicationexplained.blogspot.com/2025/12/quanta-delenda-est.html

В менее эмоциональном виде соответствующий научный аргумент был уже высказан до того (но уже после наших статей) одним из известнейших специалистов в области оснований квантовой механики Робертом Шпеккенсом (Robert Spekkens) и его соавторами.

Правильно интерпретировать эти результаты из Nature не как утверждение о фальсифицируемости квантовой механики на вещественных числах в принципе, а о фальсифицируемости конкретного варианта квантовой теории на вещественных числах. Вот просто возьмём стандартные постулаты квантовой теории и заменим в них комплексные числа на вещественные, без всяких модификаций, которые мы предлагаем, чтобы описать эффекты от комплексных чисел на вещественном языке. Получится другая теория, которая и не претендует на то, чтоб быть той же самой. Но можем ли мы поставить какой-то эксперимент, который бы исключил саму теоретическую возможность, что наш мир управляется вот этой альтернативной теорией? Вопрос непростой.

Дальше буду использовать иллюстрации из процитированного блога Наваскеса. Есть известные эксперименты типа Белла: есть некий источник, создающий пары квантовых частиц (фотоны, электроны и т.д.) в так называемом сцепленном состоянии (оно же зацепленное, оно же запутанное, по-английски entangled). Это такое необычное, "волшебное" состояние, что эти частицы как бы "чувствуют" друг друга, даже находясь на далёком расстоянии.

Эти две частицы принимают два персонажа, Алиса и Боб. Они, допустим, могут ничего не знать о квантовой механике, перед ними просто черный ящик с двумя кнопками - "0" и "1". Они одновременно и независимо друг от друга выбирают, на какую кнопку нажать. А ещё в каждый из этих двух ящиков влетает по частице, образающие ту самую сцепленную пару. Дальше ящики на выходе тоже выдают двоичный ответ: например, "-1" или "+1".

Ящики при этом или сами эти персонажи Алиса и Боб не могут переговариваться друг с другом. Если всё происходит одновременно, то это и невозможно ввиду невозможности мгновенной передачи информации. Может, в ящики-устройства предварительно загрузили какие-то согласованные программы, может они предварительно вместе подбросили монетку нужное число раз, т.е. имеют общую случайность и через неё могут действовать согласованно, но в момент эксперимента они не могут переговариваться, это важно. Алиса не знает, на какую кнопку нажмёт Боб, и наоборот.

Тогда пара частиц в сцепленном состоянии может создать такую степень согласованности ответов ящиков (при разных комбинациях кнопок Алисы и Боба: 00, 01, 10 и 11), что как будто между Алисой и Бобом (или ящиками) существует телепатия: они не могут общаться, но степень согласованности будет такой, что её нельзя объяснить только лишь возможным предварительным согласованием действий устройств. Это официальный научный термин: квантовые псевдотелепатические игры.

Так вот, может быть, такой же или более сложный аналогичный эксперимент (с бОльшим количеством участников, кнопок на входе и вариантов ответов на выходе) может и исключить ту конкретную вещественную квантовую механику? То есть можно ли предложить эксперимент такого типа, что что бы ни было спрятано в ящиках и что бы ни генерировал источник, имеющуюся согласованность выходов нельзя было бы объяснить, если мы "верим" в конкретный вариант вещественной квантовой механики?

Нет нельзя: не просто никто не придумал и не предложил подходящий эксперимент, а именно доказаны теоремы, что ВСЕ эксперименты этого класса теоретически возможно объяснить и исходя из вещественной квантовой механики.

И вот авторы статьи в Nature предложили такую модификацию этого эксперимента: пусть у нас будет не один, а два источника сцепленных пар, причём, что важно, они независимы. И пусть будет три участника со своими чёрными ящиками. Как здесь изображено, у Алисы на ящике три кнопки, "1", "2" и "3", у Боба вообще нет никаких кнопок, т.е. Боб на вход ничего не подаёт, только считывает ответ, а у третьего участника Чарли аж 6 кнопок. На выходе ящики (устройства) Алисы и Чарли выдают двоичный ответ "-1" или "+1", а ящик Боба - один из четырех вариантов ответы (от "1" до "4"). Принципиальны здесь именно два независимых, не общающихся друг с другом источника, "сетевой" сценарий.

Так вот именно в этом эксперименте им и удалось доказать, что что бы ни генерировали источники и как бы ни были запрограммированы устройства-чёрные ящики, если мы верим не только в независимость действий Алисы и Чарли по выбору входа, но и в независимость источников, то степень согласованности (по-научному речь об определенной характеристике корреляции) нельзя объяснить, если мы "верим" в конкретную вещественную квантовую механику.

Это замечательный результат, люди решили старую известную проблему, само доказательство тоже непростое, с этим спору нет.

Так и объясняет Шпеккенс с соавторами: статью в Nature надо понимать как опровержение именно этой альтернативной квантовой теории.

Наваскес в своём блоге эмоционально пишет, что это и имелось в виду изначально и это было ясно всем, кто в теме, в этой узкой теме по квантовой нелокальности (другое, более "академическое" название этих "псевдотелепатических" свойств). Мы же, мол, не совсем в этой теме, не знаем контекст и поэтому опровергаем то, что они не утверждали. Ну и достаётся изданию Quanta, что они, якобы не разобравшись, написали именно нашу версию.

Вот наиболее эмоциальная часть:

In their narrative, our initial goal was formulating a real-valued representation of quantum physics. However, because we are stupid, we only considered a very restricted class of representations, which we proved could not account for certain quantum experiments. Hence, we wrongly concluded that real-valued representations of the quantum foil didn’t exist.

Enter the authors of the pre-prints, who, like a modern Copernicus, proposed a “more physical, less mathematical” axiom for system composition that did the trick, thence proving that complex numbers were not needed to represent the quantum foil. Thank you, oh Knights of Quantum, you freed the world of the curse of i! You saviors of theoretical physics, there is not enough gold in the planet to forge the 10⁴² power rings that you deserve!

Ну что я тут скажу. Извините, ребята, в вашей статье контекст не объясняется с такой ясностью, как сейчас это написано Наваскесом в его новом блоге. Потребовалась дополнительная статья Шпеккенса с соавторами для разъяснения этого. Более того, Nature - журнал для очень широкой аудитории, не для узкого сообщества в конкретно этой области, поэтому контекст надо объяснять очень ясно. А тут как минимум два независимых коллектива (тоже не общались друг с другом до выхода нашей статьи - прямо как в этих экспериментах;)), которые поняли вашу статью именно как утверждение о необходимости комплексных чисел в квантовой механике в принципе. Более того, вы же сами включили прямо в аннотацию вашей статьи (и в последующий текст тоже) соответствующие фразы:

Here we investigate whether complex numbers are actually needed in the quantum formalism. We show this to be case...

Более того, конечно, это было сделано сознательно, чтобы "продать" статью в Nature, чтоб это выглядело именно как общее утверждение, а не частная задача для узкого сообщества. К сожалению, "overselling" результатов, т.е. "громкие" заголовки и утверждения в аннотации и введении, создающие впечатление о более общих результатах, чем то, что реально сделано, для ловли "хайпа" и прохождения в престижные журналы - бич современной науки.

Цена за это - получайте порцию критики именно за то, что необоснованно сделали слишком общие утверждения. Собственно, это и есть реакция научного сообщества: и наши статьи, и статья Шпеккенса с соавторами - разъяснение, что в той замечательной (на самом деле замечательной) статье в Nature реально сделано, а с чем они погорячились и решили словить хайп:)

Разъяснив здесь этот момент, в чем замечательность результата в Nature, я считаю свой научный долг выполненным:) В самой статье мы тоже это поясним.