Сегодня объявлены лауреаты Нобелевской премии по физике за этот год. В год 100-летия квантовой механики премия присуждена тоже за открытия в квантовой физике - а именно, за макроскопический туннельный эффект.

Подробно об этом открытии расскажут научно-популярные сайты и каналы, ну а мы давайте рассмотрим его через призму квантовых вычислений. В некотором смысле это премия за сверхпроводящий кубит, хотя, конечно, само открытие гораздо более широкое, интересное именно как физическое явление безотносительно возможных технологических приложений. Но один из лауреатов - Джон Мартинис - возглавлял группу в Гугле по сверхпроводящим квантовым компьютерам.

Во-первых, что за туннельный эффект. Представьте себе шарик, катящийся по плоской поверхности, которому нужно преодолеть кочку, но у него не хватает для этого энергии. За кочкой дорога снова продолжается на том же по высоте уровне, что и прежде, но вот именно въехать в кочку, чтобы потом снова спуститься, шарик не может. Он вкатывается в кочку на какую-то высоту, а затем скатывается назад и дальше катится уже обратно. А квантовая частица - может. С некоторой вероятностью она как будто "проходит под" кочкой (раз "взобраться на" не хватает энергии) и продолжает своё движение вперёд.

Этот эффект для квантовых частиц давно известен, им, в частности, объясняется радиоактивный распад, применяется он и в электронике. Но важный вопрос - а могут ли проявлять эти квантовые эффекты не отдельные квантовые частицы, как, например, электроны, а макроскопические объекты - большие совокупности частиц.

Ещё в 1961 году 22-летний аспирант Кембриджского университета Брайан Джозефсон (B. D. Josephson) предсказал такой эффект в сверхпроводниках: туннелирование в сверхпроводнике множества так называемых куперовских пар (пар электронов, но не по отдельности, а именно всем коллективом, "когерентный" эффект) через слой диэлектрика. В 1963 году эффект был экспериментально подтверждён Филиппом Андерсоном (P. W. Anderson) и Джоном Роуэллом (J.M. Rowell) из Bell Labs.

Картинка отсюда: https://arxiv.org/abs/2103.01225

Сегодняшние лауреаты сделали дальнейшее открытие: продемонстрировали, что макроскопический сверхпроводящий электрический контур (100 микрон, или 0,1 мм, т.е. всего в 10 раз меньше миллиметра), включающий джозефсоновский контакт (тот самый тонкий слой диэлектрика толщиной порядка нанометра или десятков нанометров) ведёт себя как одна большая квантовая частица с дискретным энергетическим спектром. Т.е. энергия тока в этом контуре может принимать не любые значения, а только значения из определенного (дискретного) набора.

На фото - регулируемый (tunabe) так называемый трансмонный кубит (разновидность сверхпроводящего кубита), отсюда:
https://arxiv.org/abs/2106.11352

О чем именно идет речь и почему это важно для квантовых вычислений. На последних классах школы и особенно на физических и технических специальностях в институтах/университетах проходят простейший колебательный электрический контур: картинка вверху слева. Он состоит из конденсатора и катушки индуктивности. На двух полюсах конденсатора скапливается заряд, на одном полюсе положительный, на другом - отрицательный. Не могучи преодолеть слой диэлектрика, заряды идут друг к другу в обратном направлении по проводу, но катушка на их пути за счёт электромагнитной индукции создает ток в противоположном направлении, которое обратно скапливает заряды на конденсаторе. Возникают колебания, переменный ток. В обычной схеме он постепенно затухает из-за сопротивления проводника (провода). Однако сверхпроводник не имеет сопротивления и поэтому колебания могут продолжаться до бесконечности.

А эта картинка отсюда: https://arxiv.org/abs/1904.06560

Так вот энергия связана с амплитудой этих колебаний, максимальным током. Вот именно она не какая угодно, а из дискретного набора (картинка слева внизу). То есть весь контур ведёт себя, как один большой атом с дискретными уровнями энергии.

Проблема для квантовых вычислений тут следующая. Из квантовой физики так получается, что расстояния между каждыми соседними уровнями энергии получаются абсолютно одинаковыми - постоянная Планка умножить на частоту колебаний (которая зависит от индуктивности катушки L и электроёмкости конденсатора C, т.е. фиксирована). Это так называемый "квантовый гармонический осциллятор" (на рисунке стоит аббревиатура QHO - "quantum harmonic oscillator") - относительно простая модель, которую проходят студенты на 3 курсе.

Проблема в чем? Как мы это используем для квантовых вычислений? Самый нижний уровень энергии ("основное состояние") пусть соответствует значению бита "0", а следующий уровень ("первое возбуждённое состояние") - значению бита "1". Но может быть и их суперпозиция, это же квантовая "частица". А остальные уровни нам не нужны, т.е. если колебания неконтролируемо перейдут на более высокие уровни, то это приведёт к вычислительной ошибке.

А как мы переводим, скажем, атом из одного уровня на другой? Из школы мы знаем: можно посветить на него светом, определенной частоты. Атом может поглотить фотон определенной энергии и перескочить вверх на то же количество энергии, если там находится уровень. Если не находится, то такие фотоны атом "не видит". Так же и здесь, только здесь мы не светим фотонами, а подводим микроволновый импульс по проводу (частота колебаний сверхпроводникового контура как соответствует микроволновому спектру - длина волны от 1 мм до 1 м).

Вот на этой картинке (оттуда же, откуда и фото трансмона) "qubit drive" - это как раз проводочек управления, тогда как справа - система по считыванию состояния кубита ("0" или "1").

Теперь можно понять, чем плохо, когда расстояния между всеми соседними уровнями энергии одинаковые. Мы, например, подаем по проводу сигнал на частоте перехода между основным и первым возбужденным состоянием, т.е. информационно - между "нулём" и "единицей". Можно таким сигналом, как из "нуля" в "единицу" перевести наш кубит, так и обратно, а можно и в суперпозицию. Но поскольку переход между первым возбужденным уровнем ("единицей") и следующим, вторым возбужденным уровнем, имеет ту же частоту, или ту же разность энергий (разность энергий - это и есть частота перехода, помноженная на постоянную Планка), то наш кубит может при таком сигнале уйти вот на тот, нежелательный уровень, и потом и ещё выше, потому что там и следующая частота тоже такая же, и так далее.

Поэтому создать бы систему, где разности энергий между разными соседними уровнями не были бы одинаковыми. Чтоб вот подали сигнал - и осуществлялись бы переходы между первыми двумя, то есть информационными, уровнями, а в неинформационные более высокие уровни переходы бы не происходили.

Здесь как раз катушку надо заменить на джозефсоновский контакт: на предпоследей картинке - справа вверху, обозначен крестиком. Он тоже работает как индуктивность, но более сложным образом и как раз создаёт "ангармоничность" - расстояние до следующего уровня каждый раз немного уменьшается с повышением уровня (предпоследняя картинка, справа вниху, "Computational subspace" - это как раз "вычислительное подпространство", связанное с первыми двумя уровнями). То есть расстояние между основным и первым возбужденным состоянием оказывается немного больше, чем между первым и вторым возбужденными состояниями, которое, в свою очередь, немного больше, чем между вторым и третьим, и т.д.

Это позволяет подавать управляющий сигнал с нужной частотой "адресно" только на переходы между первыми двумя уровнями, не затрагивая остальные.

Вот так:) Поздравляем лауреатов с заслуженной премией! Хотя слышал изречение, что Нобелевская премия - это не просто премия конкретным людям, а премия, которую человечество присуждает самому себе:)

Ещё небольшое замечание - на предпоследей картинке у трансмона изображен только один джозефсоновский контакт, а на более ранней картике с трансмоном - два контакта, соединенные параллельно. Два контакта параллельно - это уже для управления частотой. Если там через этот подконтур, состоящий из двух джозефсоновских контактов, будем пропускать магнитное поле, то это будет эквивалентно схеме с одним джозефсоновским контактом, но с регулируемой индуктивностью и, значит, с регулируемой частотой.

Приветствую новых подписчиков! Вероятно, скачкообразный приток новых людей связан с появлением статьи в научно-популярном журнале "Quanta magazine" о нашей статье о необходимости комплексных чисел в квантовой механике:
https://www.quantamagazine.org/physicists-take-the-imaginary-numbers-out-of-quantum-mechanics-20251107/

Может, конечно, просто совпадение:) В любом случае, конечно, я не мог об этом не написать. Собирался написать сначала после выхода препринта, потом время ушло, хотел написать уже тогда после публикации научной статьи (но пока на повторной рецензии), но вот пишу после научно-популярной публикации.

В общем, в последние годы внезапно обострился вопрос о необходимости комплексных чисел в квантовой механике.

Для начала о том, что такое комплексное число. Вот мы все со школы знаем правило "минус на минус даёт плюс" при умножении обычных вещественных чисел. То есть, например, (-1)*(-1)=1. Поэтому квадрат никакого числа не может быть отрицательным. В самом деле, если положительное число умножается на себя, то получается, разумеется, положительное число. Если умножается на себя отрицательное число, то в соответствии с этим правилом тоже получается положительное число.

Но математики придумали такое новое число, которое называется "мнимая единица" и обозначается буквой i, которое при умножении на себя даёт -1, т.е. i*i=-1. Первоначально это число ввёл Декарт как некую фикцию (потому и назвал мнимым) для того, чтобы более удобно выражать решения кубических уравнений. Но это находится за пределами школьной программы, поэтому, когда мы проходили комплексные числа в школе, у меня был протест: я не понимал, зачем они нужны, какой в них смысл. Впоследствии понял: эти числа помимо вот той математики алгебраических уравнений очень удобны для представления колебательных и волновых физических процессов.

Дело в том, что комплексное число можно представить как точку на плоскости, см. рисунок: два обычных вещественных числа x и y, одно из которых умножается на эту самую мнимую единицу i. Дальше все действия с этими числами такие же: их можно складывать, вычитать, умножать, если везде, где нам встречается i*i, заменять это на -1.

Или лучше вот представить сейчас комплексное число не как точку на плоскости, а как вектор из начала координат в эту точку. Тогда при сложении и вычитании комплексных чисел действуют обычные правила сложения и вычитания векторов. Если, например, мы скаладываем два таких вектора, одинаковых по длине, которые ещё и "смотрят" в одну сторону, то в сумме получается вектор, "смотрящий" в ту же сторону, но вдвое большей длины. А если мы складываем два одинаковых по длине вектора, которые "смотрят" в противоположные стороны, то в сумме они дают ноль.

Это в точности соответствует тому, что может происходить с волнами: если две волны приходят в какую-то точку "в фазе" (т.е. гребень одной фолны приходится на гребень другой - верхний рисунок), то они усиливают друг друга, получается волна вдвое большей амплитуды. Если же они приходят "в противофазе" (гребень одной волны приходится на впадину другой, нижний рисунок), то они друг друга гасят.

Поэтому комплексные числа удобно использовать для описания колебательных и волновых процессов. Они и используются, например, в электротехнике, когда мы работаем с переменным током, в радиотехнике, когда работаем с волнами.

Но во всех этих случаях речь идёт именно об удобстве. То есть можно обойтись и без этих необычных чисел, но с ними просто удобнее: когда привыкаешь к работе с ними, то обнаруживаешь, что с их помощью можно выражать физические явления, рассчитывать те же электрические схемы и т.д. гораздо удобнее и быстрее. Ряд методов в электротехнике: метод комплексных амплитуд, метод контурных токов, метод узловых потенциалов на этом и основаны. Но в принципе можно всё делать и без использования этих чисел.

В квантовой механике ситуация другая. Там теория с самого начала формулируется на языке комплексных чисел. По той же причине: это волновая механика, каждой частице там соответствует волна. Вот на картике изобажено главное уравение квантовой механики - уравнение Шрёдингера, - которое явным образом содержит эту самую мнимую единицу i. Но, может быть, это просто исторически так получилось, что квантовую механику сформлировали на языке комплексных чисел, но, как и с электродинамикой, можно было сформулировать её на чисто вещественном языке, а комплексные числа ввести уже потом, тоже только для удобства? Или же это невозможно и квантовая механика - именно "фундаментально комплексная" теория? Т.е. тогда комплексные числа - не просто инструмент для удобства, а именно фундаментально необходимы для физики, они заложены в структуре мироздания.

Это фундаментальный вопрос. Он волновал людей начиная с самого возникновения квантовой механики. Сам Шрёдингер был неудовлетворён тем, что его уравнение - комплексное, и выражал надежду, что может быть найдено и вещественнозначное описание без использования комплексных чисел. На картике это изображено в виде человечка, закрашивающего мнимую единицу i. Затем на протяжении XX века многочисленные учёные, в том числе известные, возвращались к этому вопросу.

Небольшое дополнение по поводу Шрёдингера: он не просто надеялся, что можно его уравнение записать без использования комплексных чисел, он даже и написал его впервые без их использования: уравнение, напоминающее волновое уравнение как раз из электродинамики, без комплексных чисел.

Это пока была первая часть, продолжение следует:)

Продолжим. Сама вопрос, можно ли заменить в формулировке квантовой механики комплексные числа вещественными, плохо поставлен. Конечно, можно: если комплексное число - это просто пара вещественных со специфическими правилами арифметических действий, то мы можем везде, где нам встречаются комплексные числа, заменить их на пары вещественных и сказать, что мы действуем с ними по таким-то правилам. То есть держать в голове комплексные числа, но формально не вводить их. Но это будет некрасиво, слишком громоздко, неудобно. Поэтому вопрос должен звучать, можно ли предложить вещественнозначную формулировку квантовой механики так, чтобы она была "красивой", "убедительной". Это, конечно, делает вопрос уже эстетическим, а не чисто математическим.

И тут в игру вступает локальность. Это фундаментальный физический принцип. Представим себе, например, два атома, один на Земле, другой на Луне. Они не взаимодействуют, никак не связаны между собой, но мы хотим по какой-то причине рассматривать их вместе. Тогда, если мы как-то воздействуем на атом на Земле, то на атом на Луне это, очевидно, никак не влияет. Это и есть принцип локальности. Но как это требование выразить математически?