Берег

Этот вопрос введëт тебя в ступор: какова длина береговой линии Великобритании?

Тебе кажется, что ответ должен быть один. Но это не так.

В первой половине XX века британец Льюис Ричардсон, математик и убеждённый пацифист, искал причины войн. Он предположил, что чем длиннее общая граница двух стран, тем выше шанс конфликта. Стал собирать данные о границах и наткнулся на парадокс.

Испания считала свою границу с Португалией равной 987 км. Португалия ту же самую границу принимала за 1214 км. Расхождение в 227 километров. Кто ошибся? Ошиблись обе стороны, верного результата нет.

🌟Расхождение произошло, потому что геодезисты мерили линейками разной длины.

Представь, что ты стал великаном и решил обойти изрезанный берег шагами по 100 метров. Перишагивая мелкие бухты короче шага, ты будешь срезать дистанцию. Вспомни физкультуру: если бежишь не по периметру спортзала, а по его диагонали (гипотенузе), то пробегаешь меньше.

Если превратишься в кенгуру и каждый твой прыжок составит 10 метров, бухты добавятся к измеряемой длине. Если ты взрослый человек, твой шаг это метр, к длине прибавятся валуны. Будешь шагать по сантиметру — добавятся камешки.

Чем короче линейка, тем длиннее берег. И это не сходится к пределу: у каждой бухты есть бухты поменьше, у каждого камня есть неровности помельче. Ричардсон назвал это эффектом в честь самого себя.

Доведу мысль до конца. Если взять линейку практически нулевой длины, тобишь точку, длина берега устремится к бесконечности.

В 1967 году математик Бенуа Мандельброт опубликовал статью с издевательским заголовком: «Какова длина побережья Британии?». Точного ответа, как вы меня поняли, конечно, нет. Вопрос поставлен неверно.

❤️Ты можешь подумать, что это всё неточность измерений... Ахах, вздор! ❤️

Подберëмся к вопросу со стороны геометрии. Возьмëм отрезок длиной 3 см и разделим его на три равные части. Заменим тот, что в середине, равносторонним треугольником без стороны, лежащей на этом отрезке. Получится ломаная, состоящая из четырёх звеньев длиной по 1 см.

На следующем шаге повторим операцию для каждого из четырёх получившихся звеньев и так до бесконечности. Получится снежинка Коха. Её периметр нельзя выразить конечным числом. А площадь, которую она огораживает, конечна.

🤡 Это не цирк, а тривиальный расчëт, в котором может убедиться любой, кто хоть немного понимает математику.

Такие фигуры назвали фракталами. Их главное, максимально безумное свойство, это самоподобие: часть выглядит как целое. Приблизишь кусочек берега, тогда он станет похож на весь берег. Увеличишь ветку — она окажется похожей на всё дерево.

Тут начинается самый треш.

Размерность линии равна 1. Плоскость существует в двух измерениях. А у западного побережья Британии размерность... около 1,25. Как так получилось, что это число не целое?

Берег «толще» линии, но „тоньше“ плоскости. Он настолько изрезан, что начинает заполнять плоскость, но не до конца.

Природа любит фракталы. Бронхи в лёгких, кровеносные сосуды, речные дельты, молния, крона дерева, соцветие брокколи, снежинка. Почему?

Потому что фрактал решает инженерную задачу: уместить максимум поверхности в минимум объёма. Лёгкие упаковывают в грудную клетку десятки квадратных метров ткани. Это больше, чем площадь твоей комнаты. Иначе кислороду некуда было бы всасываться.

Твоя школьная геометрия с её гладкими линиями и целыми размерностями оказывается редким исключением. Идеальный круг в природе почти не встречается. Зато ветвящийся, изрезанный, шероховатый мир повсюду.

Длина берега зависит от линейки, которую ты принес. Похоже, измерение никогда не бывает нейтральным. Инструмент всегда чуть-чуть решает за нас, что именно мы найдём.

🌟Даю тебе домашнее задание: свяжи эту мысль с проблемой измерения в квантовой механике. Присылай ответ в комментариях, или поставлю пять двоек

📱 Поступи в ВУЗ без ЕГЭ | Призёр ВсОШ по математике (9 класс)

Выложил новое видео на канале ЕГЭ-Хакер. Актуально всем, кто хочет попасть в Forbes или затащить финал Всеросса.

Приятного просмотра 🤜

Перчатки Эйнштейна

Как-то Эйнштейн спрашивает коллегу: «Неужели ты всерьёз веришь, что Луна существует, только пока ты смотришь на неё?»

Это была не шутка. К 1930-м квантовая механика, которую он сам же и начинал разрабатывать, утверждала: у частицы нет определённых свойств, пока их не измерили. Эйнштейн такого абсурда не принял и в 1935-м нанёс точный удар.

Вместе с Подольским и Розеном он рассмотрел пару связанных частиц, разлетевшихся далеко друг от друга. В квантовой механике ни у одной из них нет определённого состояния. Но стоит измерить первую, как состояние второй фиксируется мгновенно. Даже на другом конце Галактики.

Возмущëнный этим безобразием, Эйнштейн придумал объяснение здравого смысла.

🧤 Возьми пару перчаток. Отвернувшись в сторону, разложи по двум коробкам. Одну отправь в Новосибирск. Откроешь свою и обнаружишь левую, значит мгновенно узнаешь, что в Новосибирске — правая. Это не магия. Перчатки были левой и правой с самого начала, ты просто не знал в какой коробке какая.

Частицы, говорил Эйнштейн, также несут скрытые инструкции с момента рождения. А раз квантовая механика их не видит, еë нужно переделывать.

Логично. Наглядно. И непроверяемо: три десятилетия спор Эйнштейна с Бором считали метафизикой.

Однако в 1964 году Джон Белл, специалист по ускорителям из ЦЕРНа, сделал ход, который проглядели все.

Он посчитал ⌛

Если корреляции частиц порождены любыми скрытыми инструкциями — «перчатками» какого угодно устройства, — то в специальной комбинации измерений под разными углами определенный параметр не превысит числа 2. Это математический потолок сразу для всех теорий здравого смысла. Квантовая механика предсказывает 2√2 ≈ 2,83.

Полувековой философский спор внезапно стал вопросом одного эксперимента.

И его провели. Не в одной лаборатории, не один раз и, конечно же, до безупречности тонко. Уже в 1972 стало ясно, что прав Нильс Бор. В 2015-ом три лаборатории закрыли все технические лазейки и вынесли вердикт: 2,83. Как в аптеке.

Перчаток не существует. У частиц нет заранее заготовленных ответов — результат рождается в момент измерения, и вторая частица согласуется с ним так, словно расстояния нет.

Умерла вера в то, что свойства готовы заранее и влияния не могут мгновенно скакать через пространство. Хотя бы от одного из двух пунктов Вселенной пришлось отказаться. Эйнштейн ставил на оба.

Только не спешите радоваться. Изобрести квантовый телеграф не получится. Передать сигнал через запутанность нельзя: каждый наблюдатель у себя видит чистую случайность, а корреляция всплывает, лишь когда записи сравнивают по обычному каналу, общаясь не быстрее скорости света. Причинность уцелела. Здравый смысл — нет.

Финальная ирония. ЭПР-парадокс (парадокс Эйнштейна - Подольского - Розена) задумывался как приговор квантовой механике — а стал фундаментом квантовых технологий. Работы Белла сегодня служат как детектор прослушки: влез посредник — корреляции проседают, ключ сгорает. Спутник раздаёт запутанные пары фотонов на 1200 километров. А учёные, поставившие первые эксперименты, Клаузер, Аспе и Цайлингер, увезли Нобеля в 2022.

Эйнштейн проиграл этот спор. Но это было самое плодотворное поражение в истории физики.

Вот такой экспонат впечатлил меня этим летом

Познайте и вы

Не надо искать выигрыша в силе, самый тяжёлый груз в голове ☠️

📱 Параметр с нуля | 1.1 Идея и Семейство Кривых

Выпустил новый ролик на канале по математике. По весомым причинам мне пришлось сделать ребрендинг, теперь этот ютуб канал принадлежит проекту «Гильберт».

⚠️ Некоторые всерьёз считают, что мои ролики генерирует ИИ. Не смешно, меня это сердит!

Это видео длится 1 час 10 минут, но исходники с бесконечными дублями, словами паразитами и долгими паузами составили 4 часа 33 минуты. Каждые 5 минут урока это более 20 минут перед камерой.


Желаю приятного просмотра.