Трещина 💔

В начале XX века математика переживала кризис. В теории множеств, на которой она была построена, обнаружили парадоксы. Самый популярный сформулировал Бертран Рассел:

множество всех множеств, не содержащих самих себя — оно содержит себя или нет?

Любой ответ ведёт к противоречию.

Лучшие умы взволновались не на шутку: а вдруг подобная трещина прячется ещё глубже — в арифметике?

Немецкий математик Давид Гильберт предложил план спасения. Перестроить всю математику как формальную систему: конечный список аксиом + механические правила вывода. И затем поставить точку, доказав два свойства этой системы:

🌟Полнота — любое истинное утверждение выводимо из аксиом.

🌟Непротиворечивость — никакое утверждение нельзя доказать вместе с его отрицанием.

Тогда математика превратилась бы в идеальный механизм. Любая задача была бы вопросом времени и усердия. «Мы должны знать — мы будем знать» — повелел выбить Гильберт на своём надгробии.

В 1930 году на конференции в Кёнигсберге, где Гильберт произнёс эти слова, в кулуарах скромный 24-летний австриец Курт Гёдель упомянул свой свежий результат. На него почти не обратили внимания.

Зря. Этот результат похоронил программу Гильберта целиком.

Гёдель совершил диверсию изнутри. Он придумал, как закодировать числами сами утверждения о числах. Каждой формуле сопоставил свой номер. Каждому доказательству — свой номер. Внезапно арифметика стала говорить о самой себе.

Тогда Гёдель сконструировал формулу G, которая, если расшифровать её, означает:

🌟Утверждение G недоказуемо в этой системе🌟.

Ловушка таится в том, что если G доказуема, значит, она лжёт, и система доказала ложь: система противоречива.

Если G недоказуема, значит, она говорит правду. Существует истинное утверждение, которое система доказать не может.

Это выбор без выбора: либо система противоречива, либо неполна.

Это не дефект конкретных аксиом, который можно залатать. Добавьте G как новую аксиому и конструкция Гёделя немедленно построит новую недоказуемую истину G′. И так до бесконечности. Трещина двигается вместе с фундаментом.

Вторая теорема добила. Система не может доказать собственную непротиворечивость. Математика в принципе не способна изнутри гарантировать, что она не противоречива. Мы пользуемся ею на доверии — таком же, на каком держатся деньги.

Спустя 5 лет Алан Тьюринг перенёс ту же конструкцию на машины и получил проблему остановки: невозможно написать программу, которая для любой программы определит, зависнет та или завершится. Это то же самое гёделевское самоприменение. Именно из этих размышлений родилась модель компьютера, на котором вы прямо сейчас читаете этот пост.

Проблема идёт куда дальше. Физика упёрлась в предел наблюдения, в квантовую неопределённость. Термодинамика — в предел порядка.

Гёдель показал, что даже чистый разум, не привязанный ни к какой материи, имеет встроенный предел.

Не бывает системы знаний, которая видит себя целиком. Глаз не может увидеть сам себя. Ему нужно зеркало. Зеркало — уже другая система, у которой своё слепое пятно.

🌟Где мы?🌟

Бесконечна ли Вселенная? Испугает любой ответ. Если да, значит где-то существует твоя точная копия, читающая этот же пост. Если нет, тогда что находится за её краем?

К счастью, у учёных есть третий вариант, снимающий дилемму. Вселенная может быть конечной и при этом без края.

Помню как в далёком 2012 мы играли с сёстрами и братьями на PSP. Персонажи там могли улетать за правый край экрана и появляется слева. Поверхность замкнута сама на себя, хотя никаких «стенок» нет. Трёхмерное пространство может быть устроено так же — как бублик (математики называют его 3-тором).

У такой Вселенной должно быть особое свойство. Луч света, пущенный вперёд, обогнёт пространство и вернётся сзади. Вы бы увидели «затылок» собственной галактики. Небо стало бы зеркальным залом: одни и те же объекты в разных направлениях выглядили бы как бесконечные отражения между двумя зеркалами.

Идея красивая. Но как её проверить? Облететь Вселенную нереально. Даже свету не хватит возраста нашего мира.

🌟Однако физики придумали гениальный ход.

Самый далёкий свет, который мы видим — это реликтовое излучение, эхо Большого Взрыва. Оно приходит со всех сторон и образует вокруг нас гигантскую сферу (в физике она называется поверхностью последнего рассеяния).

Вся соль в том, что если Вселенная меньше этой сферы, то сфера пересечёт саму себя. Но какая остается линия при пересечении двух сфер? Окружность. Причём одну и ту же окружность мы увидим в двух разных точках неба, с идентичным узором температурных пятен.

Никуда лететь не нужно. Достаточно прочесать карту реликтового неба и поискать пары близнецовых кругов с одинаковым рисунком. Метод так и назвали, «круги на небе».

Спутник WMAP, а затем телескоп Planck отсканировали небо целиком и запустили этот поиск.

И как вы думаете, что они обнаружили? Ни одной совпадающей пары. Ни поиск кругов, ни байесовский анализ не обнаружили следов замкнутой топологии в данных Planck — кратчайшая петля вокруг нас должна быть длиннее диаметра видимой Вселенной. Если мир бублик, то очень большой: его «обхват» превосходит всё, что мы в принципе способны разглядеть.

Вопрос мог быть закрыт.

🌟Но в 2024 году коллаборация COMPACT заметила подвох. Искали только простейший бублик — «прямой», у которого круги-близнецы лежат строго напротив друг друга. Вдруг бублик скручен в месте склейки? Тогда круги расползаются по небу непредсказуемо, и прежние поиски их бы просто пропустили. Простой 3-тор данными действительно исключён, но его скрученные версии остаются возможны даже на масштабах меньше горизонта.

Форма Вселенной по-прежнему под секретом.

Мы внутри объекта, у которого не знаем даже числа «дырок». И, возможно, разглядывая ночное небо, смотрим на одну и ту же галактику дважды, не подозревая, что это близнецы.

Берег

Этот вопрос введëт тебя в ступор: какова длина береговой линии Великобритании?

Тебе кажется, что ответ должен быть один. Но это не так.

В первой половине XX века британец Льюис Ричардсон, математик и убеждённый пацифист, искал причины войн. Он предположил, что чем длиннее общая граница двух стран, тем выше шанс конфликта. Стал собирать данные о границах и наткнулся на парадокс.

Испания считала свою границу с Португалией равной 987 км. Португалия ту же самую границу принимала за 1214 км. Расхождение в 227 километров. Кто ошибся? Ошиблись обе стороны, верного результата нет.

🌟Расхождение произошло, потому что геодезисты мерили линейками разной длины.

Представь, что ты стал великаном и решил обойти изрезанный берег шагами по 100 метров. Перишагивая мелкие бухты короче шага, ты будешь срезать дистанцию. Вспомни физкультуру: если бежишь не по периметру спортзала, а по его диагонали (гипотенузе), то пробегаешь меньше.

Если превратишься в кенгуру и каждый твой прыжок составит 10 метров, бухты добавятся к измеряемой длине. Если ты взрослый человек, твой шаг это метр, к длине прибавятся валуны. Будешь шагать по сантиметру — добавятся камешки.

Чем короче линейка, тем длиннее берег. И это не сходится к пределу: у каждой бухты есть бухты поменьше, у каждого камня есть неровности помельче. Ричардсон назвал это эффектом в честь самого себя.

Доведу мысль до конца. Если взять линейку практически нулевой длины, тобишь точку, длина берега устремится к бесконечности.

В 1967 году математик Бенуа Мандельброт опубликовал статью с издевательским заголовком: «Какова длина побережья Британии?». Точного ответа, как вы меня поняли, конечно, нет. Вопрос поставлен неверно.

❤️Ты можешь подумать, что это всё неточность измерений... Ахах, вздор! ❤️

Подберëмся к вопросу со стороны геометрии. Возьмëм отрезок длиной 3 см и разделим его на три равные части. Заменим тот, что в середине, равносторонним треугольником без стороны, лежащей на этом отрезке. Получится ломаная, состоящая из четырёх звеньев длиной по 1 см.

На следующем шаге повторим операцию для каждого из четырёх получившихся звеньев и так до бесконечности. Получится снежинка Коха. Её периметр нельзя выразить конечным числом. А площадь, которую она огораживает, конечна.

🤡 Это не цирк, а тривиальный расчëт, в котором может убедиться любой, кто хоть немного понимает математику.

Такие фигуры назвали фракталами. Их главное, максимально безумное свойство, это самоподобие: часть выглядит как целое. Приблизишь кусочек берега, тогда он станет похож на весь берег. Увеличишь ветку — она окажется похожей на всё дерево.

Тут начинается самый треш.

Размерность линии равна 1. Плоскость существует в двух измерениях. А у западного побережья Британии размерность... около 1,25. Как так получилось, что это число не целое?

Берег «толще» линии, но „тоньше“ плоскости. Он настолько изрезан, что начинает заполнять плоскость, но не до конца.

Природа любит фракталы. Бронхи в лёгких, кровеносные сосуды, речные дельты, молния, крона дерева, соцветие брокколи, снежинка. Почему?

Потому что фрактал решает инженерную задачу: уместить максимум поверхности в минимум объёма. Лёгкие упаковывают в грудную клетку десятки квадратных метров ткани. Это больше, чем площадь твоей комнаты. Иначе кислороду некуда было бы всасываться.

Твоя школьная геометрия с её гладкими линиями и целыми размерностями оказывается редким исключением. Идеальный круг в природе почти не встречается. Зато ветвящийся, изрезанный, шероховатый мир повсюду.

Длина берега зависит от линейки, которую ты принес. Похоже, измерение никогда не бывает нейтральным. Инструмент всегда чуть-чуть решает за нас, что именно мы найдём.

🌟Даю тебе домашнее задание: свяжи эту мысль с проблемой измерения в квантовой механике. Присылай ответ в комментариях, или поставлю пять двоек

📱 Поступи в ВУЗ без ЕГЭ | Призёр ВсОШ по математике (9 класс)

Выложил новое видео на канале ЕГЭ-Хакер. Актуально всем, кто хочет попасть в Forbes или затащить финал Всеросса.

Приятного просмотра 🤜

Перчатки Эйнштейна

Как-то Эйнштейн спрашивает коллегу: «Неужели ты всерьёз веришь, что Луна существует, только пока ты смотришь на неё?»

Это была не шутка. К 1930-м квантовая механика, которую он сам же и начинал разрабатывать, утверждала: у частицы нет определённых свойств, пока их не измерили. Эйнштейн такого абсурда не принял и в 1935-м нанёс точный удар.

Вместе с Подольским и Розеном он рассмотрел пару связанных частиц, разлетевшихся далеко друг от друга. В квантовой механике ни у одной из них нет определённого состояния. Но стоит измерить первую, как состояние второй фиксируется мгновенно. Даже на другом конце Галактики.

Возмущëнный этим безобразием, Эйнштейн придумал объяснение здравого смысла.

🧤 Возьми пару перчаток. Отвернувшись в сторону, разложи по двум коробкам. Одну отправь в Новосибирск. Откроешь свою и обнаружишь левую, значит мгновенно узнаешь, что в Новосибирске — правая. Это не магия. Перчатки были левой и правой с самого начала, ты просто не знал в какой коробке какая.

Частицы, говорил Эйнштейн, также несут скрытые инструкции с момента рождения. А раз квантовая механика их не видит, еë нужно переделывать.

Логично. Наглядно. И непроверяемо: три десятилетия спор Эйнштейна с Бором считали метафизикой.

Однако в 1964 году Джон Белл, специалист по ускорителям из ЦЕРНа, сделал ход, который проглядели все.

Он посчитал ⌛

Если корреляции частиц порождены любыми скрытыми инструкциями — «перчатками» какого угодно устройства, — то в специальной комбинации измерений под разными углами определенный параметр не превысит числа 2. Это математический потолок сразу для всех теорий здравого смысла. Квантовая механика предсказывает 2√2 ≈ 2,83.

Полувековой философский спор внезапно стал вопросом одного эксперимента.

И его провели. Не в одной лаборатории, не один раз и, конечно же, до безупречности тонко. Уже в 1972 стало ясно, что прав Нильс Бор. В 2015-ом три лаборатории закрыли все технические лазейки и вынесли вердикт: 2,83. Как в аптеке.

Перчаток не существует. У частиц нет заранее заготовленных ответов — результат рождается в момент измерения, и вторая частица согласуется с ним так, словно расстояния нет.

Умерла вера в то, что свойства готовы заранее и влияния не могут мгновенно скакать через пространство. Хотя бы от одного из двух пунктов Вселенной пришлось отказаться. Эйнштейн ставил на оба.

Только не спешите радоваться. Изобрести квантовый телеграф не получится. Передать сигнал через запутанность нельзя: каждый наблюдатель у себя видит чистую случайность, а корреляция всплывает, лишь когда записи сравнивают по обычному каналу, общаясь не быстрее скорости света. Причинность уцелела. Здравый смысл — нет.

Финальная ирония. ЭПР-парадокс (парадокс Эйнштейна - Подольского - Розена) задумывался как приговор квантовой механике — а стал фундаментом квантовых технологий. Работы Белла сегодня служат как детектор прослушки: влез посредник — корреляции проседают, ключ сгорает. Спутник раздаёт запутанные пары фотонов на 1200 километров. А учёные, поставившие первые эксперименты, Клаузер, Аспе и Цайлингер, увезли Нобеля в 2022.

Эйнштейн проиграл этот спор. Но это было самое плодотворное поражение в истории физики.

Вот такой экспонат впечатлил меня этим летом

Познайте и вы

Не надо искать выигрыша в силе, самый тяжёлый груз в голове ☠️

📱 Параметр с нуля | 1.1 Идея и Семейство Кривых

Выпустил новый ролик на канале по математике. По весомым причинам мне пришлось сделать ребрендинг, теперь этот ютуб канал принадлежит проекту «Гильберт».

⚠️ Некоторые всерьёз считают, что мои ролики генерирует ИИ. Не смешно, меня это сердит!

Это видео длится 1 час 10 минут, но исходники с бесконечными дублями, словами паразитами и долгими паузами составили 4 часа 33 минуты. Каждые 5 минут урока это более 20 минут перед камерой.


Желаю приятного просмотра.