نکته ای از انالیز
تابع، تبدیل، نگاشت،عملگر همه به یک مفهومند یعنی رابطه ای از زوج مرتب ها که مولفه اول انها یکسان نباشد.
حالا مفهوم تابع میشه رو مجموعه، فضای برداری، فضای نرمدار، فضای هیلبرت، جبر باناخ، سی استار جبر، جبر فون نویمان و....... تعریف گردد که در اصل تعریف هیچ خللی ایجاد نمیشه فقط جنس دامنه و هم دامنه تغییر میکند.
برا مثال وقتی تابع روی فضای برداری تعریف میشه جنس اعضامون بردارند و اگر این تابع ویژگی خطی بودن را دارا باشد تابع خطی، تبدیل خطی یا نگاشت خطی مینامیم.
این تفاوت اسمها در فضاهای مختلف ایجاد شده، برا مثال تابع از یک فضای برداری به فضای برداری دیگر را نگاشت یا تبدیل نامیم.
تابع از یک فضای برداری به میدان را تابعک نامیم.
تابع بین دو فضای برداری یکسان را عملگر نامیم.
تابع، تبدیل، نگاشت،عملگر همه به یک مفهومند یعنی رابطه ای از زوج مرتب ها که مولفه اول انها یکسان نباشد.
حالا مفهوم تابع میشه رو مجموعه، فضای برداری، فضای نرمدار، فضای هیلبرت، جبر باناخ، سی استار جبر، جبر فون نویمان و....... تعریف گردد که در اصل تعریف هیچ خللی ایجاد نمیشه فقط جنس دامنه و هم دامنه تغییر میکند.
برا مثال وقتی تابع روی فضای برداری تعریف میشه جنس اعضامون بردارند و اگر این تابع ویژگی خطی بودن را دارا باشد تابع خطی، تبدیل خطی یا نگاشت خطی مینامیم.
این تفاوت اسمها در فضاهای مختلف ایجاد شده، برا مثال تابع از یک فضای برداری به فضای برداری دیگر را نگاشت یا تبدیل نامیم.
تابع از یک فضای برداری به میدان را تابعک نامیم.
تابع بین دو فضای برداری یکسان را عملگر نامیم.
نکاتی در مورد فشردگی در فضا های توپولوژیک
۱-فضای توپولوژیک(X,T )را فشرده گوییم، هرگاه هر پوشش باز X دارای زیر پوشش متناهی باشد.
۲-فرض کنیم مجموعه X متناهی باشد، در این صورت توپولوژی X هر چه باشد (X,T ) فشرده است .
۳_هر فضا که توپولوژی آن متناهی باشد فشرده است .
۴-از نکته ۳ داریم که هر فضای ناگسسته فشرده است.
۵-از نکته ۲ داریم که هر فضای خالی فشرده است.
۶-مجموعه نامتناهی X را با توپولوژی متمم شمارا در نظر بگیرید، در این صورت فضای
(X,T )
فشرده نیست .
۷- مجموعه X را با توپولوژی متمم متناهی در نظر بگیرید ، در این صورت فضای (X,T ) فشرده است.
۸- فرض کنیم A زیرمجموعه ی X باشد و T توپولوژی A-ناشامل باشد، در این صورت فضای (X,T ) فشرده است.
۹- مجموعه نامتناهی X را با توپولوژی {a}-شامل در نظر بگیرید در این صورت فضای (X,T ) فشرده نیست .( aㅌX)
۱۰-در فضای گسسته فشردگی و متناهی بودن معادلند.
۱۱-هر زیر مجموعه بسته ی یک فضای فشرده، خود نیز فشرده است.
۱۲- زیر فضاهای متناهی فضای دلخواه ، خود فضای فشرده اند .
۱۳-زیر مجموعه فشرده یک فضای هاسدورف، بسته است.
۱۴-فشردگی تحت تابع پیوسته حفظ میگردد .
۱۵-فشردگی یک خاصیت توپولوژیک است .
۱۶-اگر X فشرده و Y هاسدورف باشد، در این صورت هر تابع پیوسته f: X→Y، بسته است .
۱۷-اگر X فشرده و Y هاسدورف باشد، در این صورت هر تناظر یک به یک و پیوسته f: X→Y، یک همسانریختی است .
۱۸-حاصل ضرب تعداد متناهی از فضاهای فشرده، فشرده است.
۱۹-در توپولوژی متمم شمارا تنها زیرمجموعه های فشرده، زیرمجموعه های متناهی اند .
۲۰-هر زیر مجموعه نامتناهی یک فضای فشرده ، حداقل دارای یک نقطه اجتماع است .
۲۱-توپولوژی شعاع راست در R فشرده نیست .
۲۲-در یک فضای هاسدورف، اشتراک دلخواه از زیرمجموعه های فشرده، فشرده است .
۲۳-فضای فشرده شده ی تک نقطهای فضای Rⁿ، با کره n بعدی، همسانریخت است.
۱-فضای توپولوژیک(X,T )را فشرده گوییم، هرگاه هر پوشش باز X دارای زیر پوشش متناهی باشد.
۲-فرض کنیم مجموعه X متناهی باشد، در این صورت توپولوژی X هر چه باشد (X,T ) فشرده است .
۳_هر فضا که توپولوژی آن متناهی باشد فشرده است .
۴-از نکته ۳ داریم که هر فضای ناگسسته فشرده است.
۵-از نکته ۲ داریم که هر فضای خالی فشرده است.
۶-مجموعه نامتناهی X را با توپولوژی متمم شمارا در نظر بگیرید، در این صورت فضای
(X,T )
فشرده نیست .
۷- مجموعه X را با توپولوژی متمم متناهی در نظر بگیرید ، در این صورت فضای (X,T ) فشرده است.
۸- فرض کنیم A زیرمجموعه ی X باشد و T توپولوژی A-ناشامل باشد، در این صورت فضای (X,T ) فشرده است.
۹- مجموعه نامتناهی X را با توپولوژی {a}-شامل در نظر بگیرید در این صورت فضای (X,T ) فشرده نیست .( aㅌX)
۱۰-در فضای گسسته فشردگی و متناهی بودن معادلند.
۱۱-هر زیر مجموعه بسته ی یک فضای فشرده، خود نیز فشرده است.
۱۲- زیر فضاهای متناهی فضای دلخواه ، خود فضای فشرده اند .
۱۳-زیر مجموعه فشرده یک فضای هاسدورف، بسته است.
۱۴-فشردگی تحت تابع پیوسته حفظ میگردد .
۱۵-فشردگی یک خاصیت توپولوژیک است .
۱۶-اگر X فشرده و Y هاسدورف باشد، در این صورت هر تابع پیوسته f: X→Y، بسته است .
۱۷-اگر X فشرده و Y هاسدورف باشد، در این صورت هر تناظر یک به یک و پیوسته f: X→Y، یک همسانریختی است .
۱۸-حاصل ضرب تعداد متناهی از فضاهای فشرده، فشرده است.
۱۹-در توپولوژی متمم شمارا تنها زیرمجموعه های فشرده، زیرمجموعه های متناهی اند .
۲۰-هر زیر مجموعه نامتناهی یک فضای فشرده ، حداقل دارای یک نقطه اجتماع است .
۲۱-توپولوژی شعاع راست در R فشرده نیست .
۲۲-در یک فضای هاسدورف، اشتراک دلخواه از زیرمجموعه های فشرده، فشرده است .
۲۳-فضای فشرده شده ی تک نقطهای فضای Rⁿ، با کره n بعدی، همسانریخت است.
نکاتی در مورد فضاهای بازتابی (reflexive Spaces )
1-فضای نرمدار X ، بازتابی است اگر نشاننده طبیعی از X به توی دوگان دوم X یعنی **X برو باشد.
۲-هر فضای نرمدار بازتابی یک فضای باناخ است .
۳-هر فضای یکریخت با فضای نرمدار بازتابی، خود بازتابی است.
۴-هر فضای نرمدار متناهی البعد بازتابی است .
۵-فضای Lp پی، و lp، بازتابی اند (برای p>1 <∞)
6-هر زیر فضای بسته یک فضای بازتابی خود نیز بازتابی است.
۷-فضای نرمدار X بازتابی است اگر و تنها اگر *X بازتابی باشد .
۸-اگر X یک فضای بازتابی و M زیر فضای بسته آن باشد آنگاه فضای خرج قسمتی X/M نیز بازتابی است
۹-اگر فضای نرمدار X برابر باشد با دایرکسام (جمع مستقیم)، n تا X آنگاه X بازتابی است اگر و تنها اگر هر X اندیس n بازتابی باشد.
۱۰-فرض کنیم X فضای نرمدار بازتابی و Y فضای باناخ باشد و یک عملگر خطی از X به روی Y موجود باشد آنگاه Y بازتابی است .
۱۱-فضای l¹ و ∞l غیر بازتابی اند .
۱۳-فضاهای L¹و ∞L بازتابی اند اگر و تنها اگر متناهی البعد باشند .
۱۳- فضاهای L¹ و ∞L، بازه [0,1] غیر بازتابی اند.
۱۴-هر فضای هیلبرت یک فضای بازتابی است .
۱۵-یک فضای باناخ الزاما بازتابی نیست .
۱۶-فضای جیمز یک فضای باناخ غیر بازتابی است.
1-فضای نرمدار X ، بازتابی است اگر نشاننده طبیعی از X به توی دوگان دوم X یعنی **X برو باشد.
۲-هر فضای نرمدار بازتابی یک فضای باناخ است .
۳-هر فضای یکریخت با فضای نرمدار بازتابی، خود بازتابی است.
۴-هر فضای نرمدار متناهی البعد بازتابی است .
۵-فضای Lp پی، و lp، بازتابی اند (برای p>1 <∞)
6-هر زیر فضای بسته یک فضای بازتابی خود نیز بازتابی است.
۷-فضای نرمدار X بازتابی است اگر و تنها اگر *X بازتابی باشد .
۸-اگر X یک فضای بازتابی و M زیر فضای بسته آن باشد آنگاه فضای خرج قسمتی X/M نیز بازتابی است
۹-اگر فضای نرمدار X برابر باشد با دایرکسام (جمع مستقیم)، n تا X آنگاه X بازتابی است اگر و تنها اگر هر X اندیس n بازتابی باشد.
۱۰-فرض کنیم X فضای نرمدار بازتابی و Y فضای باناخ باشد و یک عملگر خطی از X به روی Y موجود باشد آنگاه Y بازتابی است .
۱۱-فضای l¹ و ∞l غیر بازتابی اند .
۱۳-فضاهای L¹و ∞L بازتابی اند اگر و تنها اگر متناهی البعد باشند .
۱۳- فضاهای L¹ و ∞L، بازه [0,1] غیر بازتابی اند.
۱۴-هر فضای هیلبرت یک فضای بازتابی است .
۱۵-یک فضای باناخ الزاما بازتابی نیست .
۱۶-فضای جیمز یک فضای باناخ غیر بازتابی است.
نکاتی درباره مجموعه کانتور
۱-مجموعه کانتور فشرده است
۲-مجموعه کانتور بی نقص است
۳-مجموعه کانتور ناشماراست
۴-مجموعه کانتور کلا ناهمبند
است
۵-مرز مجموعه کانتور با خودش برابر است
۶-درون مجموعه کانتور تهی است
۷-مجموعه کانتور برابر است با مجموعه همه X هایی متعلق به بازه [۱,۰]که یک بسط سه سه ای متشکل فقط از ۰ و ۲ اند
۸-مجوعه کانتور زیرمجموعه
[ ۱, ۰] است
۹-مجموعه کانتور هیچ جا چگال است
۱۰-مجموع طول های بازه هایی
که از [۱, ۰ ]حذف شده تا مجموعه کانتور به دست آید برابر یک است
۱۱-کاردینال مجموعه کانتور با کاردینال مجموعه اعداد حقیقی برابر است
۱۲—مجموعه کانتور زیر مجموعه ای دارد که اندازه پذیر بورل نیست
۱۳-اندازه لبگ مجموعه کانتور صفر است لذا هر زیر مجموعه کانتور دارای اندازه لبگ صفر است
۱۴-فرض کنیم C مجموعه کانتور باشد در این صورت C-C برابر است با [۱ , ۱—] و همچنین C+C برا"بر است با [ ۲ ,۰]
۱-مجموعه کانتور فشرده است
۲-مجموعه کانتور بی نقص است
۳-مجموعه کانتور ناشماراست
۴-مجموعه کانتور کلا ناهمبند
است
۵-مرز مجموعه کانتور با خودش برابر است
۶-درون مجموعه کانتور تهی است
۷-مجموعه کانتور برابر است با مجموعه همه X هایی متعلق به بازه [۱,۰]که یک بسط سه سه ای متشکل فقط از ۰ و ۲ اند
۸-مجوعه کانتور زیرمجموعه
[ ۱, ۰] است
۹-مجموعه کانتور هیچ جا چگال است
۱۰-مجموع طول های بازه هایی
که از [۱, ۰ ]حذف شده تا مجموعه کانتور به دست آید برابر یک است
۱۱-کاردینال مجموعه کانتور با کاردینال مجموعه اعداد حقیقی برابر است
۱۲—مجموعه کانتور زیر مجموعه ای دارد که اندازه پذیر بورل نیست
۱۳-اندازه لبگ مجموعه کانتور صفر است لذا هر زیر مجموعه کانتور دارای اندازه لبگ صفر است
۱۴-فرض کنیم C مجموعه کانتور باشد در این صورت C-C برابر است با [۱ , ۱—] و همچنین C+C برا"بر است با [ ۲ ,۰]
نکاتی از آنالیز
۱- کوشی بودن،هم بندی، فشرگی تحت پیوستگی یکنواخت حفظ میگردد.
۲- زیر مجموعه هم بند ماکسیمال را مولفه گوییم.
۳- متر گسسته در دامنه، هر تابعی را پیوسته میسازد.
۴- متر گسسته روی دامنه، هر تابع دلخواه را پیوسته یکنواخت میکند.
۵- پیوستگی یکنواخت تحت ترکیب توابع حفظ میگردد.
۶- پیوستگی یکنواخت تحت عمل جمع بسته است.
۷- پیوستگی یکنواخت تحت عمل ضرب بسته نیست.
۸- تابع یکنوا ناپبوستگی نوع دوم ندارد.
۹- مجموعه نقاط ناپیوستگی تابع یکنوا حداکثر شماراست.
۱۰- هر تابع یکنوا در هر زیربازه دلخواه نقطه پیوستگی دارد.
۱۱- هر فضای متریک کمانی همبند، فضایی هم بند است.
۱۲- محدب بودن تحت اشتراک دلخواه بسته است.
۱۳- محدب بودن تحت اجتماع متناهی بسته نیست.
۱۴- بستار و درون یک مجموعه محدب، محدب است.
۱- کوشی بودن،هم بندی، فشرگی تحت پیوستگی یکنواخت حفظ میگردد.
۲- زیر مجموعه هم بند ماکسیمال را مولفه گوییم.
۳- متر گسسته در دامنه، هر تابعی را پیوسته میسازد.
۴- متر گسسته روی دامنه، هر تابع دلخواه را پیوسته یکنواخت میکند.
۵- پیوستگی یکنواخت تحت ترکیب توابع حفظ میگردد.
۶- پیوستگی یکنواخت تحت عمل جمع بسته است.
۷- پیوستگی یکنواخت تحت عمل ضرب بسته نیست.
۸- تابع یکنوا ناپبوستگی نوع دوم ندارد.
۹- مجموعه نقاط ناپیوستگی تابع یکنوا حداکثر شماراست.
۱۰- هر تابع یکنوا در هر زیربازه دلخواه نقطه پیوستگی دارد.
۱۱- هر فضای متریک کمانی همبند، فضایی هم بند است.
۱۲- محدب بودن تحت اشتراک دلخواه بسته است.
۱۳- محدب بودن تحت اجتماع متناهی بسته نیست.
۱۴- بستار و درون یک مجموعه محدب، محدب است.
نکاتی راجع به تفکیک پذیری
۱-فضای متریک (E,d) را تفکیک پذیر نامیم هرگاه E حداقل یک زیر مجموعه حداکثر شمارا داشته باشد.
۲-اگر فضای E یک زیر متناهی چگال داشته باشد آنگاه E متناهی است .
۳-فضای متریک گسسته E وقتی تفکیک پذیر است که E حداکثر شمارا باشد .
۴-اگر E فضای k تفکیک پذیر و F خانواده مجموعه های باز ناتهی دوبه دو جدا از هم در E باشد، F حداکثر شماراست.
۵-فضای متریک E تفکیک پذیر است اگر و تنها اگر حداقل یک پایه حداکثر شمارا داشته باشد .
۶-اگر فضای متریک (E, d) تفکیک پذیر و (F, d) زیر مجموعه مخالف تهی آن باشد F نیز تفکیک پذیر است.
۷-هر فضای متریک فشرده تفکیک پذیر است
۸-فرض کنیم E تفکیک پذیر و S زیر مجموعه E و S' مجموعه نقاط تراکم S باشدS-'S حداکثر شماراست
۹-اگر E فضای متریک و S زیر مجموعه ناشمارا آن باشد آنگاه S' مجموعه بی نقص است .
۱۰-هر فضای هیلبرتی الزاما تفکیک پذیر نیست
۱۱-فضای هیلبرت نامتناهی البعد H تفکیک پذیر است اگر و تنها اگر دارای پایه یکا متعامد شمارا داشته باشد
۱۲-فضای هیلبرت نامتناهی البعد H تفکیک پذیر است اگر و تنها اگر با ( l²) به طور خطی طولپا باشد
۱-فضای متریک (E,d) را تفکیک پذیر نامیم هرگاه E حداقل یک زیر مجموعه حداکثر شمارا داشته باشد.
۲-اگر فضای E یک زیر متناهی چگال داشته باشد آنگاه E متناهی است .
۳-فضای متریک گسسته E وقتی تفکیک پذیر است که E حداکثر شمارا باشد .
۴-اگر E فضای k تفکیک پذیر و F خانواده مجموعه های باز ناتهی دوبه دو جدا از هم در E باشد، F حداکثر شماراست.
۵-فضای متریک E تفکیک پذیر است اگر و تنها اگر حداقل یک پایه حداکثر شمارا داشته باشد .
۶-اگر فضای متریک (E, d) تفکیک پذیر و (F, d) زیر مجموعه مخالف تهی آن باشد F نیز تفکیک پذیر است.
۷-هر فضای متریک فشرده تفکیک پذیر است
۸-فرض کنیم E تفکیک پذیر و S زیر مجموعه E و S' مجموعه نقاط تراکم S باشدS-'S حداکثر شماراست
۹-اگر E فضای متریک و S زیر مجموعه ناشمارا آن باشد آنگاه S' مجموعه بی نقص است .
۱۰-هر فضای هیلبرتی الزاما تفکیک پذیر نیست
۱۱-فضای هیلبرت نامتناهی البعد H تفکیک پذیر است اگر و تنها اگر دارای پایه یکا متعامد شمارا داشته باشد
۱۲-فضای هیلبرت نامتناهی البعد H تفکیک پذیر است اگر و تنها اگر با ( l²) به طور خطی طولپا باشد
روش های تشخیص یک عملگر فشرده
فرض کنیم
T:X→Y
عملگری خطی بین دو فضای نرمدار باشد در این صورت داریم:
۱-اگر T عملگری کراندار و بعد TX متناهی باشد آنگاه عملگر T فشرده است .
۲-اگر بعد X متناهی باشد آنگاه عملگر T فشرده است .
۳-فشردگی T معادل است با این که برای هر دنباله کراندار y اندیس n، دنباله Ty اندیس n، حداقل یک زیر دنباله همگرا داشته باشد .
۴_مجموعه همه عملگرهای خطی فشرده، یک فضای برداری است .
۵-عملگر T فشرده است هرگاه به ازای هر مجموعه کراندار M از X، بستار TM در Y فشرده باشد .
۶-هر عملگر خطی فشرده، خود یک عملگر کراندار و لذا پیوسته است .
۷-اگر بعد X، بینهایت باشد آنگاه یک عملگر پیوسته الزاما فشرده نمیباشد .
۸-فرض کنیم Y یک فضای باناخ و T اندیس n دنباله ای از عملگرهای خطی فشرده باشد که با نرم عملگری به T میل کند آنگاه T عملگری فشرده است .
۹-اگر در ۸، همگرایی نقطه به نقطه باشد الزاما T فشرده نمیباشد .
۱۰-در ۸ منظور همگرایی یکنواخت و در ۹ منظور همگرایی قوی میباشد.
فرض کنیم
T:X→Y
عملگری خطی بین دو فضای نرمدار باشد در این صورت داریم:
۱-اگر T عملگری کراندار و بعد TX متناهی باشد آنگاه عملگر T فشرده است .
۲-اگر بعد X متناهی باشد آنگاه عملگر T فشرده است .
۳-فشردگی T معادل است با این که برای هر دنباله کراندار y اندیس n، دنباله Ty اندیس n، حداقل یک زیر دنباله همگرا داشته باشد .
۴_مجموعه همه عملگرهای خطی فشرده، یک فضای برداری است .
۵-عملگر T فشرده است هرگاه به ازای هر مجموعه کراندار M از X، بستار TM در Y فشرده باشد .
۶-هر عملگر خطی فشرده، خود یک عملگر کراندار و لذا پیوسته است .
۷-اگر بعد X، بینهایت باشد آنگاه یک عملگر پیوسته الزاما فشرده نمیباشد .
۸-فرض کنیم Y یک فضای باناخ و T اندیس n دنباله ای از عملگرهای خطی فشرده باشد که با نرم عملگری به T میل کند آنگاه T عملگری فشرده است .
۹-اگر در ۸، همگرایی نقطه به نقطه باشد الزاما T فشرده نمیباشد .
۱۰-در ۸ منظور همگرایی یکنواخت و در ۹ منظور همگرایی قوی میباشد.
نکاتی راجع به *c جبر ها
1-فرض کنیم A یک جبر باشد عملگر * را را یک برگشت نامیم هرگاه در شرایط زیر صدق کند
الف:عملگر ** برای هر عضو A عملگر همانی باشد
ب:عملگر* ویژگی مزدوج خطی را دارا باشد
ج:تصویر xy تحت عملگر * برابر *y*xگردد.
در این صورت به جفت (*, A) جبر ستاره دار گوییم
۲-اگر در نکته یک A یک جبر باناخ باشد به جفت (*, A) جبر باناخ ستاره دار گوییم
۳-جبر باناخ ستاره دار را *c جبر نامیم هرگاه در شرط زیر صدق کند:
ll x *x ll=ll x ll²
۴-برگشت در تعریف *c جبر، ایزومتری است
۵-تصویر عضو همانی دامنه در تعریف *c جبر برابر عضو همانی برد است
۶-وارون پذیری x و *x در یک *c جبر معادلند
۷ - شعاع طیفی x و *x در یک *c جبر یکی اند
۸-طیف عضو *x در یک *c جبر برابر است با مزدوج طیف x
9-ساده ترین *c جبر، مجموعه اعداد مختلط، است که تابع * برابر است با مزدوج اعضا
۱۰-فضای توابع پیوسته روی فضای هاسدورف و فشرده K، یک *c جبر است، که تابع * برابر است با مزدوج اعضا
11-جبر باناخ L بینهایت ، یک *c جبر است که تابع * برابر است با مزدوج اعضا
۱۲-جبر باناخ(B(H یک *c جبر است که تابع * برابر است با الحاق اعضا
۱۳-جبر باناخ ماتریس های n در n، یک *c جبر است که تابع الحاق برابر است با الحاق اعضا
۱۵-جا به جایی بودن، *c جبر معادل است با جمله زیر:
تبدیل گلفاند ایزومتریک بوده و عملگر * نسبت به آن پایا میباشد
۱۵-یک *c جبر توسط عناصر یکانی خود تولید میگردد
۱۶-نگاشت F را بین دو *c جبر A و B، یک *c همریختی گوییم هرگاه F دارای خواص زیر باشد
الف:نگاشت F خطی باشد
ب:نگاشت F ضربی باشد
ج:تصویر *x تحت F برابر *(F(x گردد
د:نگاشت F عضو همانی A را به عضو همانی B تصویر کند
۱۷-اگر F یک به یک باشد F را *c یکریختی نامیم
۱۸-نگاشت تعریف شده در ۱۶ پیوسته، انقباضی و کراندار است
۱۹- فرض کنیم a عضوی از *C جبر یکدار A باشد در این صورت a را میتوان به صورت ترکیب خطی از موارد زیر نوشت:
الف: دو عضو خودالحاق از A
ب: چهار عضو مثبت از A
ج: چهار عضو یکانی (unitary )از A
۲۰ - فرض کنیم A یک *C جبر یکدار باشد و a عضو وارون پذیر از A باشد. در این صورت a متعلق است به *C زیر جبر تولید شده توسط{ ٭e,a,a}
۲۱ -هر عضو مثبت در یک *C جبر، ریشه دوم مثبت یکتا دارد
۲۲ -اگر a < b > • دو عضو *C جبر A باشند آنگاه:
a½ < b½
۲۳ -در حالت کلی a < b رابطه زیر را نتیجه نمیدهد
a² < b²
1-فرض کنیم A یک جبر باشد عملگر * را را یک برگشت نامیم هرگاه در شرایط زیر صدق کند
الف:عملگر ** برای هر عضو A عملگر همانی باشد
ب:عملگر* ویژگی مزدوج خطی را دارا باشد
ج:تصویر xy تحت عملگر * برابر *y*xگردد.
در این صورت به جفت (*, A) جبر ستاره دار گوییم
۲-اگر در نکته یک A یک جبر باناخ باشد به جفت (*, A) جبر باناخ ستاره دار گوییم
۳-جبر باناخ ستاره دار را *c جبر نامیم هرگاه در شرط زیر صدق کند:
ll x *x ll=ll x ll²
۴-برگشت در تعریف *c جبر، ایزومتری است
۵-تصویر عضو همانی دامنه در تعریف *c جبر برابر عضو همانی برد است
۶-وارون پذیری x و *x در یک *c جبر معادلند
۷ - شعاع طیفی x و *x در یک *c جبر یکی اند
۸-طیف عضو *x در یک *c جبر برابر است با مزدوج طیف x
9-ساده ترین *c جبر، مجموعه اعداد مختلط، است که تابع * برابر است با مزدوج اعضا
۱۰-فضای توابع پیوسته روی فضای هاسدورف و فشرده K، یک *c جبر است، که تابع * برابر است با مزدوج اعضا
11-جبر باناخ L بینهایت ، یک *c جبر است که تابع * برابر است با مزدوج اعضا
۱۲-جبر باناخ(B(H یک *c جبر است که تابع * برابر است با الحاق اعضا
۱۳-جبر باناخ ماتریس های n در n، یک *c جبر است که تابع الحاق برابر است با الحاق اعضا
۱۵-جا به جایی بودن، *c جبر معادل است با جمله زیر:
تبدیل گلفاند ایزومتریک بوده و عملگر * نسبت به آن پایا میباشد
۱۵-یک *c جبر توسط عناصر یکانی خود تولید میگردد
۱۶-نگاشت F را بین دو *c جبر A و B، یک *c همریختی گوییم هرگاه F دارای خواص زیر باشد
الف:نگاشت F خطی باشد
ب:نگاشت F ضربی باشد
ج:تصویر *x تحت F برابر *(F(x گردد
د:نگاشت F عضو همانی A را به عضو همانی B تصویر کند
۱۷-اگر F یک به یک باشد F را *c یکریختی نامیم
۱۸-نگاشت تعریف شده در ۱۶ پیوسته، انقباضی و کراندار است
۱۹- فرض کنیم a عضوی از *C جبر یکدار A باشد در این صورت a را میتوان به صورت ترکیب خطی از موارد زیر نوشت:
الف: دو عضو خودالحاق از A
ب: چهار عضو مثبت از A
ج: چهار عضو یکانی (unitary )از A
۲۰ - فرض کنیم A یک *C جبر یکدار باشد و a عضو وارون پذیر از A باشد. در این صورت a متعلق است به *C زیر جبر تولید شده توسط{ ٭e,a,a}
۲۱ -هر عضو مثبت در یک *C جبر، ریشه دوم مثبت یکتا دارد
۲۲ -اگر a < b > • دو عضو *C جبر A باشند آنگاه:
a½ < b½
۲۳ -در حالت کلی a < b رابطه زیر را نتیجه نمیدهد
a² < b²
نکاتی در مورد جبر های باناخ
1-تعریف جبر :فرض کنیم(., +,A) یک فضای برداری باشد. ضرب جدید * را روی A با خواص زیر تعریف میکنیم
الف:خاصیت شرکت پذیری
(x*y) *z=x*(y*z)
ب:ضرب * نسبت به مولفه اول و دوم خطی باشد.
در این صورت به چهارتایی
(*, . , +, A)
جبر گوییم.
۲-تعریف جبر نرمدار :
جبر (*, . , +, A) را یک جبر نرمدار نامیم هرگاه یک نرم روی A موجود باشد که A را به یک فضای نرمدار تبدیل کند و در نامساوی ضربی زیر نیز صدق کند :
ااxاا ااyاا≥ااxyاا
یعنی ۵ تایی (اا اا,*,.,+, A) جبر نرمدار گوییم.
۳-نامساوی ااxاا ااyاا ≥ ااx*yاا ضرب را یک عمل پیوسته میسازد .
۴-جبر نرمدار (اا اا,*,.,+, A) را جبر باناخ نامیم هرگاه A نسبت به متر القایی توسط نرم اا اا کامل باشد.
۵-هرگاه A جبر باناخ با یکه e باشد که ۱ = اا e اا در این صورت جبر باناخ را یکدار نامیم.
۶-ساده ترین جبر باناخ ، میدان مختلط، است که تابع نرم برابر است با قدرمطلق یعنی ا ا=اا اا
۷-فضای توابع پیوسته روی فضای هاسدورف و فشرده K، یک جبر باناخ با نرم sup است که ضرب * همان ضرب توابع میباشد .
۸-فضای L بینهایت ، یک جبر باناخ است .
۹-فضای (B(H یک جبر باناخ با نرم عملگری میباشد که ضرب * همان ترکیب عملگرها میباشد.
۱۰-جبر باناخ ماتریس های n در n، یک جبر باناخ با نرم ماتریسی میباشد که ضرب * را ضرب ماتریسی تعریف میکنیم .
۱۰-اگر A جبر باناخ باشد مجموعه تمام عناصر وارون پذیر A را با ( G(A نمایش میدهیم که یک گروه ضربی میباشد.
۱۱-اگر K هاسدورف فشرده باشد ( G(K متشکل از تمام توابعی است که صفر نمیگردد.
۱۲-اگر H فضای هیلبرت باشد ( G(BH متشکل از همه عملگرهای یک به یک و پوشا میگردد.
۱۳-در ۱۲ اگر بعد H متناهی باشد ( G(BH متشکل از همه عملگرهای یک به یک میباشد .
۱۴-برای هر جبر باناخ A گروه وارون پذیر ( G(A در A یک مجموعه باز میباشد.
۱۵ -هر تابع از A به ( G(A پیوسته میباشد .
۱۶-اگر A یک جبر باناخ و ( K(A مولفه همبند ( G(A و شامل عضو همانی e باشد آنگاه ( K(A زیر گروه باز، بسته و نرمال ( G(A میباشد.
۱۷-هم دسته های ( K(A دقیقا مولفه های هم بند ( G(A میباشند.
۱۸-اگر A جبر باناخ و x عضوی از A باشد طیف x، ناتهی و فشرده میباشد .
۱۹-اگر A جبر باناخ باشد که در آن هر عضو غیر صفر وارون پذیر باشد در این صورت A با C یکریخت، طولپا میباشد.
۲۰-اگر F یک تابعک خطی ضربی بر جبر باناخ A باشد آنگاه داریم :
1 = ااF اا
۲۱-فضای ایده آل ماکسیمال جبر باناخ A متشکل از تمام تابعکهای خطی، ضربی A میباشد.
۲۲- فضای ایده آل ماکسیمال جبر باناخ جابهجایی A، با خود A در تناظر یک به یک میباشد.
۲۳-هر جبر جابجایی دارای ایده آل های ماکسیمال سره میباشد .
۲۴-یک تابعک خطی ضربی همواره مجموعه باز A را به مجموعه های C تصویر میکند .
۲۵-فرض کنیم فضای ایده آل ماکسیمال جبر باناخ A برابر M باشد در این صورت نگاشت F از A به ( C(M را تبدیل گلفاند نامیم که هر عضو x از A را عضوی
از ( C(M تصویر میکند .
۲۶-تبدیل گلفاند یک همریختی جبری باناخ از A به توی فضای ایده آل ماکسیمال A، میباشد که انقباضی نیز است .
۲۷-تبدیل گلفاند در حالت کلی نه یک به یک و نه پوشاست.
۲۸-فرض A جبر باناخ جابجایی باشد در این صورت تبدیل گلفاند طولپا است اگر و تنها اگر
llx²ll=llxll²
1-تعریف جبر :فرض کنیم(., +,A) یک فضای برداری باشد. ضرب جدید * را روی A با خواص زیر تعریف میکنیم
الف:خاصیت شرکت پذیری
(x*y) *z=x*(y*z)
ب:ضرب * نسبت به مولفه اول و دوم خطی باشد.
در این صورت به چهارتایی
(*, . , +, A)
جبر گوییم.
۲-تعریف جبر نرمدار :
جبر (*, . , +, A) را یک جبر نرمدار نامیم هرگاه یک نرم روی A موجود باشد که A را به یک فضای نرمدار تبدیل کند و در نامساوی ضربی زیر نیز صدق کند :
ااxاا ااyاا≥ااxyاا
یعنی ۵ تایی (اا اا,*,.,+, A) جبر نرمدار گوییم.
۳-نامساوی ااxاا ااyاا ≥ ااx*yاا ضرب را یک عمل پیوسته میسازد .
۴-جبر نرمدار (اا اا,*,.,+, A) را جبر باناخ نامیم هرگاه A نسبت به متر القایی توسط نرم اا اا کامل باشد.
۵-هرگاه A جبر باناخ با یکه e باشد که ۱ = اا e اا در این صورت جبر باناخ را یکدار نامیم.
۶-ساده ترین جبر باناخ ، میدان مختلط، است که تابع نرم برابر است با قدرمطلق یعنی ا ا=اا اا
۷-فضای توابع پیوسته روی فضای هاسدورف و فشرده K، یک جبر باناخ با نرم sup است که ضرب * همان ضرب توابع میباشد .
۸-فضای L بینهایت ، یک جبر باناخ است .
۹-فضای (B(H یک جبر باناخ با نرم عملگری میباشد که ضرب * همان ترکیب عملگرها میباشد.
۱۰-جبر باناخ ماتریس های n در n، یک جبر باناخ با نرم ماتریسی میباشد که ضرب * را ضرب ماتریسی تعریف میکنیم .
۱۰-اگر A جبر باناخ باشد مجموعه تمام عناصر وارون پذیر A را با ( G(A نمایش میدهیم که یک گروه ضربی میباشد.
۱۱-اگر K هاسدورف فشرده باشد ( G(K متشکل از تمام توابعی است که صفر نمیگردد.
۱۲-اگر H فضای هیلبرت باشد ( G(BH متشکل از همه عملگرهای یک به یک و پوشا میگردد.
۱۳-در ۱۲ اگر بعد H متناهی باشد ( G(BH متشکل از همه عملگرهای یک به یک میباشد .
۱۴-برای هر جبر باناخ A گروه وارون پذیر ( G(A در A یک مجموعه باز میباشد.
۱۵ -هر تابع از A به ( G(A پیوسته میباشد .
۱۶-اگر A یک جبر باناخ و ( K(A مولفه همبند ( G(A و شامل عضو همانی e باشد آنگاه ( K(A زیر گروه باز، بسته و نرمال ( G(A میباشد.
۱۷-هم دسته های ( K(A دقیقا مولفه های هم بند ( G(A میباشند.
۱۸-اگر A جبر باناخ و x عضوی از A باشد طیف x، ناتهی و فشرده میباشد .
۱۹-اگر A جبر باناخ باشد که در آن هر عضو غیر صفر وارون پذیر باشد در این صورت A با C یکریخت، طولپا میباشد.
۲۰-اگر F یک تابعک خطی ضربی بر جبر باناخ A باشد آنگاه داریم :
1 = ااF اا
۲۱-فضای ایده آل ماکسیمال جبر باناخ A متشکل از تمام تابعکهای خطی، ضربی A میباشد.
۲۲- فضای ایده آل ماکسیمال جبر باناخ جابهجایی A، با خود A در تناظر یک به یک میباشد.
۲۳-هر جبر جابجایی دارای ایده آل های ماکسیمال سره میباشد .
۲۴-یک تابعک خطی ضربی همواره مجموعه باز A را به مجموعه های C تصویر میکند .
۲۵-فرض کنیم فضای ایده آل ماکسیمال جبر باناخ A برابر M باشد در این صورت نگاشت F از A به ( C(M را تبدیل گلفاند نامیم که هر عضو x از A را عضوی
از ( C(M تصویر میکند .
۲۶-تبدیل گلفاند یک همریختی جبری باناخ از A به توی فضای ایده آل ماکسیمال A، میباشد که انقباضی نیز است .
۲۷-تبدیل گلفاند در حالت کلی نه یک به یک و نه پوشاست.
۲۸-فرض A جبر باناخ جابجایی باشد در این صورت تبدیل گلفاند طولپا است اگر و تنها اگر
llx²ll=llxll²
نکاتی راجع به جبرهای فون نویمان
توپولوژی قوی عملگرها بر(B(H، توپولوژی موضعا محدبی است که توسط نیم نرم های به شکل زیر تعریف میگردد :
نیم نرم T برابر است با نرم Tx یعنی ااTxاا=ااTاا
ب: توپولوژی ضعیف عملگرها بر(B(H، توپولوژی موضعا محدبی است که توسط نیم نرمهای به شکل زیر تعریف میگردد :
نیم نرم T برابر است با قدرمطلق ضرب داخلی یعنی ا( Tx, y) ا=ااTاا
یک *c زیر جبر A از (B(H را جبر فون نویمان گوییم هرگاه A در توپولوژی قوی عملگرها بسته باشد .
قضیه :فرض کنیم S زیر مجموعه محدب (B(H باشد، در این صورت بستار S با توپولوژی قوی برابر است با بستار S با توپولوژی ضعیف در (B(H.
طبق قضیه بالا *c زیر A جبر(B(H یک جبر فون نویمان است اگر و تنها اگر A در توپولوژی ضعیف عملگرها بسته باشد.
1-جبرهای فون نویمان رده خاصی از *c زیر جبر(B(H میباشند .
۲-جبرهای فون نویمان به صورت جبری و توپولوژیکی قابل تعریف اند.
۳-یک *c زیر جبر A از (B(H را جبر فون نویمان گوییم هرگاه A در توپولوژی قوی عملگرها بسته باشد.
۴-فرض کنیم S زیر مجموعه محدب (B(H باشد، در این صورت بستار S با توپولوژی قوی برابر است با بستار S با توپولوژی ضعیف در (B(H
۵-بنا به نکته ۴ یک *c زیر A جبر(B(H یک جبر فون نویمان است اگر و تنها اگر A در توپولوژی ضعیف عملگرها بسته باشد .
۶-جبر (B(H یک جبر فون نویمان است .
۷-اگر A یک *c زیر جبر(B(H باشد آنگاه بستار A با توپولوژی قوی یا ضعیف عملگرها یک جبر فون نویمان است .
۸-اگر A جبر فون نویمان در (B(H باشد آنگاه گوی واحد بسته A در توپولوژی ضعیف عملگرها فشرده و در توپولوژی قوی عملگرها بسته است .
۹-یک جبر فون نویمان شامل تمام تصاویر بردی عناصر خودش است.
۱۰-اگر T عنصری از جبر فون نویمان A باشد آنگاه تصویر متعامد به روی هسته T متعلق به A است .
۱۱-اگر A جبر فون نویمان با بعد بیشتر از یک باشد در این صورت A شامل تصاویر غیر بدیهی است .
۱۲-فرض کنیم F زیر مجموعه ای از (B(H باشد، در این صورت جابهجا گر F برابر است با تمام عضوهایی از (B(H که با هر عضو F جا به جا میشوند .
۱۲-جا به جا گر F را یک جبر فون نویمان گوییم هرگاه F خودالحاق باشد .
۱۳-یک *c زیر جبر F از (B(H را جبر فون نویمان گوییم هرگاه F با جا به جا گر دوم، خود برابر باشد .
۱۴-نکته ۳ تعریف توپولوژیکی و نکته ۱۳ تعریف جبری از یک جبر فون نویمان میباشد .
۱۵-فرض کنید F زیرمجموعه خودالحاق (B(H باشد در این صورت جا به جا گر دوم F، کوچکترین جبر فون نویمان شامل F است .
۱۶-جا به جا گر جبر فون نویمان (B(H فقط متشکل از مضارب ثابت همانی است .
۱۷-فرض کنیم F یک جبر فون نویمان باشد.در این صورت یک عملگر در (B(H متعلق به A است اگر و تنها اگر با هر تصویر در جا به جا گر A، جا به جا شود .
۱۸_یک *c زیر جبر F از (B(H یک جبر فون نویمان آبلی ماکسیمال است اگر و تنها اگر F با جا به جا گرش، برابر باشد .
۱۹-هر *c - یکریختی، sup را حفظ میکند .
۲۰-جبر فون نویمان A را فاکتور نامیم هرگاه مرکزش بدیهی باشد.
۲۱-ساده ترین فاکتور جبر کامل (B(H میباشد.
۲۲-یک فاکتور لزوما غیر جا به جایی است مگر اینکه جبر یک بعدی باشد.
توپولوژی قوی عملگرها بر(B(H، توپولوژی موضعا محدبی است که توسط نیم نرم های به شکل زیر تعریف میگردد :
نیم نرم T برابر است با نرم Tx یعنی ااTxاا=ااTاا
ب: توپولوژی ضعیف عملگرها بر(B(H، توپولوژی موضعا محدبی است که توسط نیم نرمهای به شکل زیر تعریف میگردد :
نیم نرم T برابر است با قدرمطلق ضرب داخلی یعنی ا( Tx, y) ا=ااTاا
یک *c زیر جبر A از (B(H را جبر فون نویمان گوییم هرگاه A در توپولوژی قوی عملگرها بسته باشد .
قضیه :فرض کنیم S زیر مجموعه محدب (B(H باشد، در این صورت بستار S با توپولوژی قوی برابر است با بستار S با توپولوژی ضعیف در (B(H.
طبق قضیه بالا *c زیر A جبر(B(H یک جبر فون نویمان است اگر و تنها اگر A در توپولوژی ضعیف عملگرها بسته باشد.
1-جبرهای فون نویمان رده خاصی از *c زیر جبر(B(H میباشند .
۲-جبرهای فون نویمان به صورت جبری و توپولوژیکی قابل تعریف اند.
۳-یک *c زیر جبر A از (B(H را جبر فون نویمان گوییم هرگاه A در توپولوژی قوی عملگرها بسته باشد.
۴-فرض کنیم S زیر مجموعه محدب (B(H باشد، در این صورت بستار S با توپولوژی قوی برابر است با بستار S با توپولوژی ضعیف در (B(H
۵-بنا به نکته ۴ یک *c زیر A جبر(B(H یک جبر فون نویمان است اگر و تنها اگر A در توپولوژی ضعیف عملگرها بسته باشد .
۶-جبر (B(H یک جبر فون نویمان است .
۷-اگر A یک *c زیر جبر(B(H باشد آنگاه بستار A با توپولوژی قوی یا ضعیف عملگرها یک جبر فون نویمان است .
۸-اگر A جبر فون نویمان در (B(H باشد آنگاه گوی واحد بسته A در توپولوژی ضعیف عملگرها فشرده و در توپولوژی قوی عملگرها بسته است .
۹-یک جبر فون نویمان شامل تمام تصاویر بردی عناصر خودش است.
۱۰-اگر T عنصری از جبر فون نویمان A باشد آنگاه تصویر متعامد به روی هسته T متعلق به A است .
۱۱-اگر A جبر فون نویمان با بعد بیشتر از یک باشد در این صورت A شامل تصاویر غیر بدیهی است .
۱۲-فرض کنیم F زیر مجموعه ای از (B(H باشد، در این صورت جابهجا گر F برابر است با تمام عضوهایی از (B(H که با هر عضو F جا به جا میشوند .
۱۲-جا به جا گر F را یک جبر فون نویمان گوییم هرگاه F خودالحاق باشد .
۱۳-یک *c زیر جبر F از (B(H را جبر فون نویمان گوییم هرگاه F با جا به جا گر دوم، خود برابر باشد .
۱۴-نکته ۳ تعریف توپولوژیکی و نکته ۱۳ تعریف جبری از یک جبر فون نویمان میباشد .
۱۵-فرض کنید F زیرمجموعه خودالحاق (B(H باشد در این صورت جا به جا گر دوم F، کوچکترین جبر فون نویمان شامل F است .
۱۶-جا به جا گر جبر فون نویمان (B(H فقط متشکل از مضارب ثابت همانی است .
۱۷-فرض کنیم F یک جبر فون نویمان باشد.در این صورت یک عملگر در (B(H متعلق به A است اگر و تنها اگر با هر تصویر در جا به جا گر A، جا به جا شود .
۱۸_یک *c زیر جبر F از (B(H یک جبر فون نویمان آبلی ماکسیمال است اگر و تنها اگر F با جا به جا گرش، برابر باشد .
۱۹-هر *c - یکریختی، sup را حفظ میکند .
۲۰-جبر فون نویمان A را فاکتور نامیم هرگاه مرکزش بدیهی باشد.
۲۱-ساده ترین فاکتور جبر کامل (B(H میباشد.
۲۲-یک فاکتور لزوما غیر جا به جایی است مگر اینکه جبر یک بعدی باشد.
نکاتی از آنالیز
فضای متریک R را با متر قدرمطلق و (6,9) y= {2} U را به عنوان زیر فضای آن در نظر میگیریم. موارد زیر را داریم :
۱-بازه (6,9) در y بسته است و نقاط حدی و بستار آن برابر است با (6,9)
۲_بازه (6,9) در y باز است و نقاط درونی آن برابر است با (6,9)
۳-مجموعه {2} در y هم باز و هم بسته است .
۴-بازه [۶،۷ )در y بسته است.
۵-مرز (6,9) در y برابر است با تهی.
۶- باز و بسته بودن مجموعه های تک عضوی {6} , {9}نمیتوان در y بررسی کرد .
۷-مرز y برابر است مجموعه
{ 2,6, 9}
8-نقاط حدی y برابر است با مجموعه (6,9)
۹_مجموعه y، بسته نمیباشد .
۱۰- مجموعه y یک مجموعه perfect نمیباشد.
۱۲-بازه (۶,9) در y یک مجموعه perfect است.
۱۲-مجموعه y یک مجموعه complete و همبند نمیباشد.
۱۳-بازه (6,9) در y فشرده نمیباشد.
۱۴-هیچ مجموعه متناهی در R یک مجموعه petfect نمیباشد .
۱۵-بازه (6,9) و مجموعه {۲}جداساز y اند.
فضای متریک R را با متر قدرمطلق و (6,9) y= {2} U را به عنوان زیر فضای آن در نظر میگیریم. موارد زیر را داریم :
۱-بازه (6,9) در y بسته است و نقاط حدی و بستار آن برابر است با (6,9)
۲_بازه (6,9) در y باز است و نقاط درونی آن برابر است با (6,9)
۳-مجموعه {2} در y هم باز و هم بسته است .
۴-بازه [۶،۷ )در y بسته است.
۵-مرز (6,9) در y برابر است با تهی.
۶- باز و بسته بودن مجموعه های تک عضوی {6} , {9}نمیتوان در y بررسی کرد .
۷-مرز y برابر است مجموعه
{ 2,6, 9}
8-نقاط حدی y برابر است با مجموعه (6,9)
۹_مجموعه y، بسته نمیباشد .
۱۰- مجموعه y یک مجموعه perfect نمیباشد.
۱۲-بازه (۶,9) در y یک مجموعه perfect است.
۱۲-مجموعه y یک مجموعه complete و همبند نمیباشد.
۱۳-بازه (6,9) در y فشرده نمیباشد.
۱۴-هیچ مجموعه متناهی در R یک مجموعه petfect نمیباشد .
۱۵-بازه (6,9) و مجموعه {۲}جداساز y اند.
نکاتی راجع به پیوستگی یکنواخت
۱-هر تابع پیوسته یکنواخت، پیوسته است ولی عکس مطلب الزاما برقرار نیست .
۲-پیوستگی یکنواخت هم به ضابطه تابع و هم به قلمرو آن بستگی دارد .
۳-اگر تابع f بر E به طور یکنواخت پیوسته باشد آنگاه تحدید f بر هر زیر مجموعه E نیز به طور یکنواخت پیوسته است .
۴-هرتابع از یک فضای متریک گسسته به یک فضای متریک دلخواه به طور یکنواخت پیوسته است .
۵-هر تابع لیپشیتس به طور یکنواخت پیوسته است .
۶-ترکیب دو تابع به طور یکنواخت پیوسته نیز به طور یکنواخت پیوسته است .
۷-اگر E فضای متریک و A زیرمجموعه ناتهی آن باشد تابع
f: E→R
f(a)=d(a,A)
به طور یکنواخت پیوسته است .
۸-تابع به طور یکنواخت پیوسته دنباله کوشی را به کوشی میبرد (تابع پیوسته الزاما این خاصیت رو ندارد) .
۹-اگر f و g به طور یکنواخت پیوسته و a عددی مختلط باش آنگاه :
الف : f+g و af نیز به طور یکنواخت پیوسته اند
ب: اگر f و g کراندار باشند آنگاه fg نیز به طور یکنواخت پیوسته اند (اگر حداقل یکیشون کراندار نباشد حکم الزاما برقرار نیست.
ج: اگر g دور از صفر باشد تابع
1/g
نیز به طور یکنواخت پیوسته است .
۱۰_تحدید هر تابع پیوسته به یک فضای متریک فشرده به طور یکنواخت پیوسته است .
۱۱_تابع پیوسته بر یک بازه باز (a, b ) به طور یکنواخت پیوسته است اگر وتنها اگر توسیع پیوسته ای به بازه [a, b] یا R داشته باشیم.
۱-هر تابع پیوسته یکنواخت، پیوسته است ولی عکس مطلب الزاما برقرار نیست .
۲-پیوستگی یکنواخت هم به ضابطه تابع و هم به قلمرو آن بستگی دارد .
۳-اگر تابع f بر E به طور یکنواخت پیوسته باشد آنگاه تحدید f بر هر زیر مجموعه E نیز به طور یکنواخت پیوسته است .
۴-هرتابع از یک فضای متریک گسسته به یک فضای متریک دلخواه به طور یکنواخت پیوسته است .
۵-هر تابع لیپشیتس به طور یکنواخت پیوسته است .
۶-ترکیب دو تابع به طور یکنواخت پیوسته نیز به طور یکنواخت پیوسته است .
۷-اگر E فضای متریک و A زیرمجموعه ناتهی آن باشد تابع
f: E→R
f(a)=d(a,A)
به طور یکنواخت پیوسته است .
۸-تابع به طور یکنواخت پیوسته دنباله کوشی را به کوشی میبرد (تابع پیوسته الزاما این خاصیت رو ندارد) .
۹-اگر f و g به طور یکنواخت پیوسته و a عددی مختلط باش آنگاه :
الف : f+g و af نیز به طور یکنواخت پیوسته اند
ب: اگر f و g کراندار باشند آنگاه fg نیز به طور یکنواخت پیوسته اند (اگر حداقل یکیشون کراندار نباشد حکم الزاما برقرار نیست.
ج: اگر g دور از صفر باشد تابع
1/g
نیز به طور یکنواخت پیوسته است .
۱۰_تحدید هر تابع پیوسته به یک فضای متریک فشرده به طور یکنواخت پیوسته است .
۱۱_تابع پیوسته بر یک بازه باز (a, b ) به طور یکنواخت پیوسته است اگر وتنها اگر توسیع پیوسته ای به بازه [a, b] یا R داشته باشیم.
نکاتی در مورد همگرایی
۱-هر دنباله که به طور یکنواخت همگرا باشد، نقطه به نقطه نیز همگراست .
۲-هر دنباله که نقطه به نقطه همگرا باشد، آنگاه تقریبا همه جا نیز همگراست .
۳-عکس گزاره های ۱ و ۲ الزاما برقرار نیست.
۴-اگر دنباله شامل تعداد متناهی نقاط باشد یا مجموعه با اندازه صفر آن تهی باشد آنگاه همگرایی نقطه به نقطه و همگرایی تقریبا همه جا معادل میشوند .
۵-در همگرایی یکنواخت N انتخابی فقط به اپسیلون وابسته است .
۶-در همگرایی نقطه به نقطه و همگرایی تقریبا همه جا، N انتخابی به اپسیلون و x وابسته است .
۷- اگر دنباله fⁿ ، به f در L¹، همگرا باشد آنگاه دنباله fⁿ ، به f همگرا در اندازه میگردد.
۸-عکس نکته ۷ الزاما برقرار نیست.
۹- اگر دنباله fⁿ ، به f همگرا در اندازه باشد آنگاه زیر دنباله ای از دنباله fⁿ، هست که به f تقریباً همه جا همگرا میگردد.
۱۰- در فضای اندازه دار متناهی همگرایی نقطه به نقطه ، همگرایی در اندازه را ایجاد میکند .
۱۱-دنباله ای از توابع اندازه پذیر موجودند که در اندازه همگرا میباشند ،ولی در هیچ نقطه ای همگرا نمیباشند .
۱۲-در فضای اندازه متناهی البعد همگرا در اندازه دنباله fⁿ ، به f معادل است با اینکه که هر زیر دنباله ی، دنباله fⁿ ، تقریباً همه جا به f همگرا باشد .
۱۳-همگرایی یکنواخت ، همگرایی در اندازه را نتیجه میدهد .
۱۴-اگر دنباله fⁿ به f، و دنباله gⁿ به g همگرا در اندازه باشند ، آنگاه fⁿ+gⁿبه f+g همگراست ولی fⁿgⁿالزاما به f. g همگرا نمیباشد .
۱۵-برای اندازه شمارشی روی N، همگرایی یکنواخت و همگرایی در اندازه معادل میگردند.
۱-هر دنباله که به طور یکنواخت همگرا باشد، نقطه به نقطه نیز همگراست .
۲-هر دنباله که نقطه به نقطه همگرا باشد، آنگاه تقریبا همه جا نیز همگراست .
۳-عکس گزاره های ۱ و ۲ الزاما برقرار نیست.
۴-اگر دنباله شامل تعداد متناهی نقاط باشد یا مجموعه با اندازه صفر آن تهی باشد آنگاه همگرایی نقطه به نقطه و همگرایی تقریبا همه جا معادل میشوند .
۵-در همگرایی یکنواخت N انتخابی فقط به اپسیلون وابسته است .
۶-در همگرایی نقطه به نقطه و همگرایی تقریبا همه جا، N انتخابی به اپسیلون و x وابسته است .
۷- اگر دنباله fⁿ ، به f در L¹، همگرا باشد آنگاه دنباله fⁿ ، به f همگرا در اندازه میگردد.
۸-عکس نکته ۷ الزاما برقرار نیست.
۹- اگر دنباله fⁿ ، به f همگرا در اندازه باشد آنگاه زیر دنباله ای از دنباله fⁿ، هست که به f تقریباً همه جا همگرا میگردد.
۱۰- در فضای اندازه دار متناهی همگرایی نقطه به نقطه ، همگرایی در اندازه را ایجاد میکند .
۱۱-دنباله ای از توابع اندازه پذیر موجودند که در اندازه همگرا میباشند ،ولی در هیچ نقطه ای همگرا نمیباشند .
۱۲-در فضای اندازه متناهی البعد همگرا در اندازه دنباله fⁿ ، به f معادل است با اینکه که هر زیر دنباله ی، دنباله fⁿ ، تقریباً همه جا به f همگرا باشد .
۱۳-همگرایی یکنواخت ، همگرایی در اندازه را نتیجه میدهد .
۱۴-اگر دنباله fⁿ به f، و دنباله gⁿ به g همگرا در اندازه باشند ، آنگاه fⁿ+gⁿبه f+g همگراست ولی fⁿgⁿالزاما به f. g همگرا نمیباشد .
۱۵-برای اندازه شمارشی روی N، همگرایی یکنواخت و همگرایی در اندازه معادل میگردند.
نکاتی از آنالیز
۱-اگر T عملگری خطی بین دو فضای نرمدار باشد، آنگاه کرانداری نقطه به نقطه، کرانداری یکنواخت، پیوستگی نقطه به نقطه، و پیوستگی یکنواخت معادل میگردند.
۲-اگر دنباله Tⁿ ، دنباله ای از عملگرها کراندار بین دو فضای نرمدار X و Y باشد ، آنگاه این دنباله از عملگرها به طور یکنواخت کراندار نیست .
۳-اگر در نکته دو X باناخ باشد کرانداری و کرانداری یکنواخت معادل میشوند .
۱-اگر T عملگری خطی بین دو فضای نرمدار باشد، آنگاه کرانداری نقطه به نقطه، کرانداری یکنواخت، پیوستگی نقطه به نقطه، و پیوستگی یکنواخت معادل میگردند.
۲-اگر دنباله Tⁿ ، دنباله ای از عملگرها کراندار بین دو فضای نرمدار X و Y باشد ، آنگاه این دنباله از عملگرها به طور یکنواخت کراندار نیست .
۳-اگر در نکته دو X باناخ باشد کرانداری و کرانداری یکنواخت معادل میشوند .
نکاتي در مورد انتگرال پذيری
۱-هر تابع ريمان انتگرال پذير تابعی کراندار و با قلمرو يک بازه بسته ميباشد .
۲-هر تابع پيوسته با قلمرو يک بازه بسته ريمان انتگرال پذير است.
۳_هر تابع ريمان انتگرال پذير تابعي لبگ انتگرال پذير است و مقدار هر دو انتگرال برابر است .
۴_عکس نکته بالا الزاما برقرار نيست .
۵-يک تابع کراندار بر يک بازه بسته ريمان انتگرال پذير است اگر و تنها اگر تقريبا همه جا پيوسته باشد.
۶-هر تابع اندازه پذير که بين دو تابع انتگرال پذير قرار گيرد خود انتگرال پذير است.
۷-توابع انتگرال پذير جبر تشکيل نميدهند.
۸-اگر f انتگرال پذير باشد قدرمطلق f الزاما انتگرال پذير نيست.
۹-انتگرال لبگ تعميم انتگرال ريمان است.
۱۰-توابع لبگ انتگرال پذير کرانداری موجودند که ريمان انتگرال پذير نميباشند.
۱۱-تابع صعودي بر يک بازه بسته ريمان انتگرال پذير است.
۱-هر تابع ريمان انتگرال پذير تابعی کراندار و با قلمرو يک بازه بسته ميباشد .
۲-هر تابع پيوسته با قلمرو يک بازه بسته ريمان انتگرال پذير است.
۳_هر تابع ريمان انتگرال پذير تابعي لبگ انتگرال پذير است و مقدار هر دو انتگرال برابر است .
۴_عکس نکته بالا الزاما برقرار نيست .
۵-يک تابع کراندار بر يک بازه بسته ريمان انتگرال پذير است اگر و تنها اگر تقريبا همه جا پيوسته باشد.
۶-هر تابع اندازه پذير که بين دو تابع انتگرال پذير قرار گيرد خود انتگرال پذير است.
۷-توابع انتگرال پذير جبر تشکيل نميدهند.
۸-اگر f انتگرال پذير باشد قدرمطلق f الزاما انتگرال پذير نيست.
۹-انتگرال لبگ تعميم انتگرال ريمان است.
۱۰-توابع لبگ انتگرال پذير کرانداری موجودند که ريمان انتگرال پذير نميباشند.
۱۱-تابع صعودي بر يک بازه بسته ريمان انتگرال پذير است.
نکاتي در مورد انتگرال پذيری
۱-هر تابع ريمان انتگرال پذير تابعی کراندار و با قلمرو يک بازه بسته ميباشد .
۲-هر تابع پيوسته با قلمرو يک بازه بسته ريمان انتگرال پذير است.
۳_هر تابع ريمان انتگرال پذير تابعي لبگ انتگرال پذير است و مقدار هر دو انتگرال برابر است .
۴_عکس نکته بالا الزاما برقرار نيست .
۵-يک تابع کراندار بر يک بازه بسته ريمان انتگرال پذير است اگر و تنها اگر تقريبا همه جا پيوسته باشد.
۶-هر تابع اندازه پذير که بين دو تابع انتگرال پذير قرار گيرد خود انتگرال پذير است.
۷-توابع انتگرال پذير جبر تشکيل نميدهند.
۸-اگر f انتگرال پذير باشد l f l الزاما انتگرال پذير نيست.
۹-انتگرال لبگ تعميم انتگرال ريمان است.
۱۰-توابع لبگ انتگرال پذير کرانداری موجودند که ريمان انتگرال پذير نميباشند.
۱۱-تابع صعودي بر يک بازه بسته ريمان انتگرال پذير است.
۱-هر تابع ريمان انتگرال پذير تابعی کراندار و با قلمرو يک بازه بسته ميباشد .
۲-هر تابع پيوسته با قلمرو يک بازه بسته ريمان انتگرال پذير است.
۳_هر تابع ريمان انتگرال پذير تابعي لبگ انتگرال پذير است و مقدار هر دو انتگرال برابر است .
۴_عکس نکته بالا الزاما برقرار نيست .
۵-يک تابع کراندار بر يک بازه بسته ريمان انتگرال پذير است اگر و تنها اگر تقريبا همه جا پيوسته باشد.
۶-هر تابع اندازه پذير که بين دو تابع انتگرال پذير قرار گيرد خود انتگرال پذير است.
۷-توابع انتگرال پذير جبر تشکيل نميدهند.
۸-اگر f انتگرال پذير باشد l f l الزاما انتگرال پذير نيست.
۹-انتگرال لبگ تعميم انتگرال ريمان است.
۱۰-توابع لبگ انتگرال پذير کرانداری موجودند که ريمان انتگرال پذير نميباشند.
۱۱-تابع صعودي بر يک بازه بسته ريمان انتگرال پذير است.
نکاتی از آنالیز
مجموعه حدود زیر دنباله ای cos n دقیقا ۱۸۱ عضو دارد .(n بر حسب درجه)
۲_زیر مجموعه E از فضای متریک X، در X چگال است هرگاه هر نقطه X یک نقطه حدی E یا یک نقطه E باشد .
۳-در مجموعه عداد طبیعی با متریک معمولی تک عضوی ها هم بازند و هم بسته .
۴-اگر A زیر مجموعه ناتهی فضای اقلیدسی R باشد آنگاه supA و infA به بستار A تعلق دارند .
۵-مجموعه عداد گویا با متر اقلیدسی perfect و countable است ولی complete نیست.
۶-در فضای اقلیدسی Rⁿ، قطر هر گوی باز دو برابر شعاع است.
۷-با تعریف متر مناسب، مجوعه اعداد حقیقی را میتوان در فضای متریک کراندار کرد.
مجموعه حدود زیر دنباله ای cos n دقیقا ۱۸۱ عضو دارد .(n بر حسب درجه)
۲_زیر مجموعه E از فضای متریک X، در X چگال است هرگاه هر نقطه X یک نقطه حدی E یا یک نقطه E باشد .
۳-در مجموعه عداد طبیعی با متریک معمولی تک عضوی ها هم بازند و هم بسته .
۴-اگر A زیر مجموعه ناتهی فضای اقلیدسی R باشد آنگاه supA و infA به بستار A تعلق دارند .
۵-مجموعه عداد گویا با متر اقلیدسی perfect و countable است ولی complete نیست.
۶-در فضای اقلیدسی Rⁿ، قطر هر گوی باز دو برابر شعاع است.
۷-با تعریف متر مناسب، مجوعه اعداد حقیقی را میتوان در فضای متریک کراندار کرد.