اندازه لبگ و اندازه برل
1-اندازه لبگ یه تابع است که دامنه آن نیم حلقه (این نیم حلقه یک مجموعه است که شامل تهی و بازه های نیم باز است) و برد این تابع هم زیر مجموعه ای از اعداد حقیقی نامنفی است. ضابطه تابع هم به این صورت است که تهی را به صفر میبرد و هر بازه را به طول بازه میبرد.
حالا شما میتونید این تابع را روی مجموعه شامل R و تهی که یک سیگما جبر است بسط بدید
یا اصلا این نیم حلقه را میتونید مجموعه شامل حاصل ضرب این نیم بازه ها همراه با تهی در نظر بگیرید در این صورت ضابطه تابع به صورت زیر میشود یعنی تهی را به صفر میبرد و حاصل ضرب نیم بازه ها را به حاصل ضرب طول ها میبرد.
حالا شما میتوانید این تابع را به مجموعه دو عضوی شامل فضای n بعدی R و تهی که یک سیگما جبر است بسط بدید.

۲-فرض کنیم (X, T) یک فضای توپولوژیک باشد، در این صورت کوچکترین سیگما جبر برل مانند K موجود است که تمام عضای T را در بر میگیرد.
در این صورت به جفت (X, K) فضای اندازه برل ، به اعضای K مجموعه های اندازه پذیر برل نامیم.
اکنون یک تابع مانند f از فضای اندازه (X, K) به فضای توپولوژیک (Y, N) تعریف میکنیم با این شرط که هر عضو N را به یک عضو K تصویر کند، در این صورت تابع f را، تابع اندازه پذیر برل نامیم

نکاتی از آنالیز
1-فرض کنیم (E, d) یک فضای متریک باشد زیر مجموعه A از E را رسته اول نامیم هرگاه برابر اجتماع دنباله متناهی یا نامتناهی از مجموعه های هیچ جا چگال باشد
۲-مجموعه A یک مجموعه رسته دوم نامیم هرگاه رسته اول نباشد
۳-مجموعه اعداد حقیقی و مجموعه اعداد گویا رسته اولند
۴-در فضای متریک گسسته، هیچ زیر مجموعه رسته اول ناتهی وجود ندارد
۵-هر زیر مجموعه یک مجموعه رسته اول، خود رسته اول است
۶-هر اجتماع حداکثر شمارا، از مجموعه های رسته اول، خود نیز رسته اول است
۷-قضیه رسته بئر : اگر فضای متریک E کامل باشد، اشتراک هر دنباله باز چگال، چگال است
۸-فرض کنیم (E, d) یک فضای متریک باشد زیر مجموعه A از E را سیگما فشرده نامیم هرگاه A اجتماع دنباله ای از مجموعه های فشرده باشد
۹-هر مجموعه فشرده، سیگما فشرده است
1۰-هر مجموعه شمارا، سیگما فشرده است
11-در فضای n بعدی R، هر مجموعه باز، سیگما فشرده است
1۲-هر فضای متریک همبند ، با حداقل دو عضو ناشماراست
1۳-دنباله ای از مجموعه های باز چگال در فضای متریک E موجود است که اشتراکشان چگال نیست
۷-