۱-در یک فضای نرمدار یک سری مطلقا همگرا، الزاما همگرا نمیباشد
۲ -در یک فضای باناخ یک سری مطلقا همگرا یک سری همگراست
مانند Rⁿ,Cⁿ
۳-اگر در یک فضای نرمدار X همگرایی مطلق یک سری، همگرایی سری را نتیجه دهد آنگاه بستار X کامل اس ت
۴ -هر تجدید آرایش یک سری مطلقا همگرا با مجموع s، نیزیک سری مطلقا همگرا با مجموع s است.
۲ -در یک فضای باناخ یک سری مطلقا همگرا یک سری همگراست
مانند Rⁿ,Cⁿ
۳-اگر در یک فضای نرمدار X همگرایی مطلق یک سری، همگرایی سری را نتیجه دهد آنگاه بستار X کامل اس ت
۴ -هر تجدید آرایش یک سری مطلقا همگرا با مجموع s، نیزیک سری مطلقا همگرا با مجموع s است.
نکاتی از آنالیز
1-در فضای برداری متناهی البعد همه نرم ها معادلند
۲_قضیه هانیه برل برای هر فضای نرمدار متناهی البعد صادق است
۳_موضعا فشرده بودن فضای نرمدار معادل است با متناهی البعد این فضا
۴_موضعا فشرده بودن فضای نرمدار معادل است با این که گوی یکه بسته آن فشرده باشد
۵_هر زیر فضای متناهی البعد یک فضای نرمدار، بسته است
۶_در یک فضای باناخ یک سری مطلقا همگرا، همگراست
۷_در یک فضای نرمدار، یک سری مطلقا همگرا، الزاما همگرا نیست
۸_هر زیر فضای برداری سره ی یک فضای برداری نرمدار، مجموعه ای هیچ جا چگال است
۹_یک فضای باناخ الزاما بازتابی نیست
1۰_فضای جیمز یک فضای باناخ غیر بازتابی است
11-فضای إل وان و إل بینهایت فضاهای باناخ غیر بازتابی اند
1۲-اگر T عملگری خطی بین دو فضای نرمدار باشد آنگاه کرانداری نقطه به نقطه، کرانداری یکنواخت، پیوستگی نقطه به نقطه، و پیوستگی یکنواخت T معادل میگردند
1۳-فرض کنیم Tⁿ ، دنباله ای از عملگرها خطی از فضای باناخ X به فضای نرمدار Y باشد در این کرانداری یکنواخت و کرانداری نقطه به نقطه معادل میگردند
14 -در 13 اگر X فضای نرمدار باشد آنگاه رابطه معادل بودن الزاما برقرار نیست
1۵-دوگان یک فضای نرمدار یک فضای باناخ است
1۶-اگر در یک فضای نرمدار X همگرایی مطلق هر سری، همگرایی سری را نتیجه دهد آنگاه ، بستار X باناخ است
1۷-هر عملگر خطی روی فضای نرمدار متناهی البعد کراندار و لذا پیوسته است
1۸-اگر فضای نرمدار X دارای این خاصیت باشد که گوی واحد بسته X فشرده باشد، آنگاه بعد X متناهی است
1-در فضای برداری متناهی البعد همه نرم ها معادلند
۲_قضیه هانیه برل برای هر فضای نرمدار متناهی البعد صادق است
۳_موضعا فشرده بودن فضای نرمدار معادل است با متناهی البعد این فضا
۴_موضعا فشرده بودن فضای نرمدار معادل است با این که گوی یکه بسته آن فشرده باشد
۵_هر زیر فضای متناهی البعد یک فضای نرمدار، بسته است
۶_در یک فضای باناخ یک سری مطلقا همگرا، همگراست
۷_در یک فضای نرمدار، یک سری مطلقا همگرا، الزاما همگرا نیست
۸_هر زیر فضای برداری سره ی یک فضای برداری نرمدار، مجموعه ای هیچ جا چگال است
۹_یک فضای باناخ الزاما بازتابی نیست
1۰_فضای جیمز یک فضای باناخ غیر بازتابی است
11-فضای إل وان و إل بینهایت فضاهای باناخ غیر بازتابی اند
1۲-اگر T عملگری خطی بین دو فضای نرمدار باشد آنگاه کرانداری نقطه به نقطه، کرانداری یکنواخت، پیوستگی نقطه به نقطه، و پیوستگی یکنواخت T معادل میگردند
1۳-فرض کنیم Tⁿ ، دنباله ای از عملگرها خطی از فضای باناخ X به فضای نرمدار Y باشد در این کرانداری یکنواخت و کرانداری نقطه به نقطه معادل میگردند
14 -در 13 اگر X فضای نرمدار باشد آنگاه رابطه معادل بودن الزاما برقرار نیست
1۵-دوگان یک فضای نرمدار یک فضای باناخ است
1۶-اگر در یک فضای نرمدار X همگرایی مطلق هر سری، همگرایی سری را نتیجه دهد آنگاه ، بستار X باناخ است
1۷-هر عملگر خطی روی فضای نرمدار متناهی البعد کراندار و لذا پیوسته است
1۸-اگر فضای نرمدار X دارای این خاصیت باشد که گوی واحد بسته X فشرده باشد، آنگاه بعد X متناهی است
نرم های معادل یکریخت توپولوژیک یا همون هومئومورفیسم خطی اند.
یعنی همه خاصیت های توپولوژیکی و بعضی از خاصیت متریکی مانند پیوستگی، همگرایی،باناخ بودن ، مجموعه های باز ....... توسط این نرم ها حفظ میشه.
برای مثال اگر X با یکی از این نرم ها پیوسته، همگرا .........باشد بانرم معادل هم پیوسته، همگرا .......است
یعنی همه خاصیت های توپولوژیکی و بعضی از خاصیت متریکی مانند پیوستگی، همگرایی،باناخ بودن ، مجموعه های باز ....... توسط این نرم ها حفظ میشه.
برای مثال اگر X با یکی از این نرم ها پیوسته، همگرا .........باشد بانرم معادل هم پیوسته، همگرا .......است
سه توپولوژی روی *x (دوگان x) به صورت زیر تعریف میکنیم:
الف: توپولوژی نرم (یا توپولوژی اصلی یا توپولوژی قوی عملگرها )
در قسمت الف منظور از همگرایی قوی همان همگرایی نرم است که به صورت زیر میباشد:
fⁿ→f
اگر وتنها اگر
ll fⁿ-fll→0
یعنی
Sup { lfⁿ(x) - f(x)l / llxll≤1 } →0
( توجه کنید fⁿ دنباله ای از تابعکها روی *x میباشد)
ب: توپولوژی ضعیف ستاره:
توپولوژی ضعیف ستاره برابر است با گردایه همه تابعک های خطی مانند f اندیس a است که روی *x تعریف میشوند ( a متعلق به x است )
همگرایی ضعیف ستاره به صورت زير میباشد:
fⁿ→f
اگر وتنها اگر برای هر a عضو x
l fⁿ(a) - f(a)l→0
ج: توپولوژی ضعیف:
توپولوژی ضعیف برابر است با گردایه تمام تابعک های خطی روی *x که به صورت f اندیس a ( که a عضوی از **x میباشد)
همگرایی در توپولوژی ضعیف به صورت زیر میباشد:
fⁿ→f
اگر وتنها اگر برای هر a عضو **x
l fⁿ(a) - f(a)l→0
الف: توپولوژی نرم (یا توپولوژی اصلی یا توپولوژی قوی عملگرها )
در قسمت الف منظور از همگرایی قوی همان همگرایی نرم است که به صورت زیر میباشد:
fⁿ→f
اگر وتنها اگر
ll fⁿ-fll→0
یعنی
Sup { lfⁿ(x) - f(x)l / llxll≤1 } →0
( توجه کنید fⁿ دنباله ای از تابعکها روی *x میباشد)
ب: توپولوژی ضعیف ستاره:
توپولوژی ضعیف ستاره برابر است با گردایه همه تابعک های خطی مانند f اندیس a است که روی *x تعریف میشوند ( a متعلق به x است )
همگرایی ضعیف ستاره به صورت زير میباشد:
fⁿ→f
اگر وتنها اگر برای هر a عضو x
l fⁿ(a) - f(a)l→0
ج: توپولوژی ضعیف:
توپولوژی ضعیف برابر است با گردایه تمام تابعک های خطی روی *x که به صورت f اندیس a ( که a عضوی از **x میباشد)
همگرایی در توپولوژی ضعیف به صورت زیر میباشد:
fⁿ→f
اگر وتنها اگر برای هر a عضو **x
l fⁿ(a) - f(a)l→0
اعضای توپولوژی ضعیف ستاره صورت زیرند:
الف: تصویر وارون های تابعک های خطی به فرم زیر
F: x*→K (K میدان)
F(f)=f(a)
(که f عضو *x و a عضو x میباشد)
ب:همه اشتراک های متناهی اعضای تابعک های معرفی شده در الف
ج:همه اجتماع های دلخواه اعضای الف و ب
الف: تصویر وارون های تابعک های خطی به فرم زیر
F: x*→K (K میدان)
F(f)=f(a)
(که f عضو *x و a عضو x میباشد)
ب:همه اشتراک های متناهی اعضای تابعک های معرفی شده در الف
ج:همه اجتماع های دلخواه اعضای الف و ب
اعضای توپولوژی نرم
فرض کنیم X یک فضای نرمدار باشد تعریف میکنیم :
B(x,r)={yㅌX / ll x - y ll< r}
در این صورت مجموعه زیر یک پایه است:
{ B(x,r) / xㅌX, r≥0}
پایه ای که این توپولوژی تولید میکند توپولوژی نرم است.
یعنی گوی های باز یه پایه برا این توپولوژی تشکیل میدهند
فرض کنیم X یک فضای نرمدار باشد تعریف میکنیم :
B(x,r)={yㅌX / ll x - y ll< r}
در این صورت مجموعه زیر یک پایه است:
{ B(x,r) / xㅌX, r≥0}
پایه ای که این توپولوژی تولید میکند توپولوژی نرم است.
یعنی گوی های باز یه پایه برا این توپولوژی تشکیل میدهند
اعضای توپولوژی ضعیف به صورت زیرند:
الف: تصویر وارون های تابعک های خطی به فرم زیر
F: x*→K (K میدان)
F(f)=f(a)
(که f عضو *x و a عضو **x میباشد)
ب:همه اشتراک های متناهی اعضای تابعک های معرفی شده در الف
ج:همه اجتماع های دلخواه اعضای الف و ب
الف: تصویر وارون های تابعک های خطی به فرم زیر
F: x*→K (K میدان)
F(f)=f(a)
(که f عضو *x و a عضو **x میباشد)
ب:همه اشتراک های متناهی اعضای تابعک های معرفی شده در الف
ج:همه اجتماع های دلخواه اعضای الف و ب
وضعیت تک نقطه ای ها در فضاهای مختلف
۱ -مجموعه های متناهی و بالاخص تک نقطه ای ها در فضاهای زیر بسته اند
الف: فضای متریک
ب: فضای باناخ
ج: فضای هیلبرت
ت: جبر باناخ
پ: جبرهای فون نویمان
چ: *c جبرها
د: فضای برداری توپولوژیک
۲ -مجموعه های متناهی و بالاخص تک نقطه ای ها در فضا زیر الزاما بسته نمیباشند
الف: فضای توپولوژیک
۱ -مجموعه های متناهی و بالاخص تک نقطه ای ها در فضاهای زیر بسته اند
الف: فضای متریک
ب: فضای باناخ
ج: فضای هیلبرت
ت: جبر باناخ
پ: جبرهای فون نویمان
چ: *c جبرها
د: فضای برداری توپولوژیک
۲ -مجموعه های متناهی و بالاخص تک نقطه ای ها در فضا زیر الزاما بسته نمیباشند
الف: فضای توپولوژیک
نکاتی از آنالیز
1 -فرض کنیم X,Y دو فضای برداری باشند عملگر T: X→Y را یکریختی یا ایزومورفیسم گوییم هرگاه T خطی، یک به یک و پوشا باشد.
دو فضای برداری را ایزومورف یا یکریخت گوییم هرگاه یک یکریختی بین این دو فضا موجود باشد
۲ -فرض کنیم X,Y دو فضای نرمدار باشند عملگر T: X→Y را یکریختی طولپایی گوییم هرگاه T خطی، حافظ نرم ، یک به یک و پوشا باشد
۳-فرض کنیم X,Y دو فضای ضرب داخلی باشند عملگر T: X→Y را یکریختی توپولوژیکی یا هومئومورفیسم خطی گوییم هرگاه T خطی، یک به یک، پوشا، پیوسته و وارون پذیر باشد
۴ -فرض کنیم X,Y دو فضای نرمدار باشند تابع T:X→Y را ایزومتری یا طولپایی گوییم هرگاه برای هر xㅌX:
ll Tx ll=llxll
دو فضای نرمدا X,Y را طولپای یا ایزومتری نامیم هرگاه یک طولپایی میانشان موجود باشد.
۵ -هر دو فضای طولپای هومئومورفیسم میباشند.
۶ -هر طولپایی دارای ویژگی های زیر است
الف: یک به یک بودن
ب: پیوستگی
پ: پیوستگی یکنواخت
د: تابع لیپ شیتس با ثابت یک
۷-فرض کنیم X,Y دو فضای ضرب داخلی باشند عملگر T: X→Y را unitary گوییم هرگاه T یکریختی و حافظ ضرب داخلی باشد
۸-فرض کنیم X,Y دو جبر باناخ باشند عملگر T: X→Y را یکریختی گوییم هرگاه T خطی، ضربی، یک به یک و پوشا باشد
1 -فرض کنیم X,Y دو فضای برداری باشند عملگر T: X→Y را یکریختی یا ایزومورفیسم گوییم هرگاه T خطی، یک به یک و پوشا باشد.
دو فضای برداری را ایزومورف یا یکریخت گوییم هرگاه یک یکریختی بین این دو فضا موجود باشد
۲ -فرض کنیم X,Y دو فضای نرمدار باشند عملگر T: X→Y را یکریختی طولپایی گوییم هرگاه T خطی، حافظ نرم ، یک به یک و پوشا باشد
۳-فرض کنیم X,Y دو فضای ضرب داخلی باشند عملگر T: X→Y را یکریختی توپولوژیکی یا هومئومورفیسم خطی گوییم هرگاه T خطی، یک به یک، پوشا، پیوسته و وارون پذیر باشد
۴ -فرض کنیم X,Y دو فضای نرمدار باشند تابع T:X→Y را ایزومتری یا طولپایی گوییم هرگاه برای هر xㅌX:
ll Tx ll=llxll
دو فضای نرمدا X,Y را طولپای یا ایزومتری نامیم هرگاه یک طولپایی میانشان موجود باشد.
۵ -هر دو فضای طولپای هومئومورفیسم میباشند.
۶ -هر طولپایی دارای ویژگی های زیر است
الف: یک به یک بودن
ب: پیوستگی
پ: پیوستگی یکنواخت
د: تابع لیپ شیتس با ثابت یک
۷-فرض کنیم X,Y دو فضای ضرب داخلی باشند عملگر T: X→Y را unitary گوییم هرگاه T یکریختی و حافظ ضرب داخلی باشد
۸-فرض کنیم X,Y دو جبر باناخ باشند عملگر T: X→Y را یکریختی گوییم هرگاه T خطی، ضربی، یک به یک و پوشا باشد
نکاتی راجع به اندازه لبگ و اندازه برل
1-مفهوم اندازه لبگ توسیع طول، مساحت و حجم است
۲-اندازه لبگ هر شکل هندسی در صفحه R²، برابر مساحت و در فضای R³ ، برابر حجم میباشد
۳-هر مجموعه اندازه پذیر لبگ برابر است با اجتماعی از مجموعه اندازه پذیر برل و مجموعه اندازه پذیر لبگ با اندازه صفر
۴-هر تابع تقریبا همه جا اندازه پذیر لبگ برابر است با تابع اندازه پذیر برل
۵-اگر A اندازه پذیر لبگ باشد آنگاه مجموعه اندازه پذیر برل B موجود است که A زیر مجموعه B میباشد و اندازه لبگ (B-A ) صفر میباشد
۶-هر بازه در فضای Rⁿ ، مجموعه اندازه پذیر لبگ میباشد
۷-هر زیر مجموعه متناهی فضای Rⁿ، دارای اندازه لبگ صفر است
۸-هر زیر مجموعه شمارا فضای Rⁿ ، دارای اندازه لبگ صفر است
۹-مجموعه های اندازه پذیر لبگ را میتوان با مجموعه های باز تقریب زد
1۰-هر زیر مجموعه برل فضای Rⁿ، اندازه پذیر لبگ است
11-هر مجموعه اندازه پذیر لبگ شامل مجموعه اندازه پذیر برل با همان اندازه است
1۲-اندازه لبگ روی فضای Rⁿ ، یک اندازه منظم برل میباشد
1۳-هر اندازه برل روی فضای Rⁿ ، یک اندازه برل منظم میباشد
1۴-هر مجموعه اندازه پذیر لبگ، الزاما اندازه پذیر برل نیست
1۵-هر زیر مجموعه فضای Rⁿ ، الزاما اندازه پذیر لبگ نمیباشد
1۶-تنها اندازه برل معین بر فضای Rⁿ ، که نسبت به انتقال ناورداست اندازه لبگ میباشد
1۷-اگر A زیر مجموعه R، و هر زیر مجموعه R اندازه پذیر لبگ باشد آنگاه اندازه لبگ A صفر می باشد
1۸-سیگما جبر مجموعه های اندازه پذیر برل دارای عدد اصلی c و عدد اصلی مجموعه های اندازه پذیر لبگ دارای عدد اصلی ۲ به توان c میباشد
1۹-اندازه لبگ مجموعه کانتور صفر میباشد
۲۰-مجموعه کانتور زیر مجموعه ای دارد که اندازه پذیر برل نمیباشد
۲1-مجموعه های برل فضای Rⁿ ،دقیقا عبارت اند از سیگما جبر تولید شده به وسیله مجموعه های فشرده
۲۲-اگر زیر مجموعه E از Rⁿ ،دارای اندازه لبگ صفر باشد آن گاه درون E تهی میباشد
۲۳-اگر زیر مجموعه E از بازه [0,1]دارای اندازه لبگ یک باشد آنگاه E در بازه [0,1]چگال میباشد
۲۴-اندازه لبگ هر مثلث در صفحه R² ، برابر مساحت آن میباشد
۲۵-سیگما جبر برل شامل مجموعه های باز، مجموعه های بسته، اشتراک شمارا از مجموعه های باز و اجتماع شمارا از مجموعه های بسته میباشد
1-مفهوم اندازه لبگ توسیع طول، مساحت و حجم است
۲-اندازه لبگ هر شکل هندسی در صفحه R²، برابر مساحت و در فضای R³ ، برابر حجم میباشد
۳-هر مجموعه اندازه پذیر لبگ برابر است با اجتماعی از مجموعه اندازه پذیر برل و مجموعه اندازه پذیر لبگ با اندازه صفر
۴-هر تابع تقریبا همه جا اندازه پذیر لبگ برابر است با تابع اندازه پذیر برل
۵-اگر A اندازه پذیر لبگ باشد آنگاه مجموعه اندازه پذیر برل B موجود است که A زیر مجموعه B میباشد و اندازه لبگ (B-A ) صفر میباشد
۶-هر بازه در فضای Rⁿ ، مجموعه اندازه پذیر لبگ میباشد
۷-هر زیر مجموعه متناهی فضای Rⁿ، دارای اندازه لبگ صفر است
۸-هر زیر مجموعه شمارا فضای Rⁿ ، دارای اندازه لبگ صفر است
۹-مجموعه های اندازه پذیر لبگ را میتوان با مجموعه های باز تقریب زد
1۰-هر زیر مجموعه برل فضای Rⁿ، اندازه پذیر لبگ است
11-هر مجموعه اندازه پذیر لبگ شامل مجموعه اندازه پذیر برل با همان اندازه است
1۲-اندازه لبگ روی فضای Rⁿ ، یک اندازه منظم برل میباشد
1۳-هر اندازه برل روی فضای Rⁿ ، یک اندازه برل منظم میباشد
1۴-هر مجموعه اندازه پذیر لبگ، الزاما اندازه پذیر برل نیست
1۵-هر زیر مجموعه فضای Rⁿ ، الزاما اندازه پذیر لبگ نمیباشد
1۶-تنها اندازه برل معین بر فضای Rⁿ ، که نسبت به انتقال ناورداست اندازه لبگ میباشد
1۷-اگر A زیر مجموعه R، و هر زیر مجموعه R اندازه پذیر لبگ باشد آنگاه اندازه لبگ A صفر می باشد
1۸-سیگما جبر مجموعه های اندازه پذیر برل دارای عدد اصلی c و عدد اصلی مجموعه های اندازه پذیر لبگ دارای عدد اصلی ۲ به توان c میباشد
1۹-اندازه لبگ مجموعه کانتور صفر میباشد
۲۰-مجموعه کانتور زیر مجموعه ای دارد که اندازه پذیر برل نمیباشد
۲1-مجموعه های برل فضای Rⁿ ،دقیقا عبارت اند از سیگما جبر تولید شده به وسیله مجموعه های فشرده
۲۲-اگر زیر مجموعه E از Rⁿ ،دارای اندازه لبگ صفر باشد آن گاه درون E تهی میباشد
۲۳-اگر زیر مجموعه E از بازه [0,1]دارای اندازه لبگ یک باشد آنگاه E در بازه [0,1]چگال میباشد
۲۴-اندازه لبگ هر مثلث در صفحه R² ، برابر مساحت آن میباشد
۲۵-سیگما جبر برل شامل مجموعه های باز، مجموعه های بسته، اشتراک شمارا از مجموعه های باز و اجتماع شمارا از مجموعه های بسته میباشد
نکاتی از آنالیز
۱ -فرض کنیم н, ңدو فضای هیلبرت باشند (B(н, ң را فضای عملگرهای خطی و کراندار
T: н→ң
تعریف میکنیم.
توپولوژی قوی:
توپولوژی قوی عملگرها توسط خانواده ای از نیم نرم های به فرم زیر تولید میگردد:
Лҳ =ll T(x) ll
همگرایی دنباله Tⁿ به عملگر T در این توپولوژی به صورت زیر تعریف میگردد:
Tⁿ→T اگروتنهااگر ll(Tⁿ - T)xll→ 0
۲: توپولوژی قوی روی *x (دوگان x) به صورت زیر تعریف میکنیم:
توپولوژی نرم (یا توپولوژی اصلی یا توپولوژی قوی عملگرها )
در قسمت بالا منظور از همگرایی قوی همان همگرایی نرم است که به صورت زیر میباشد:
fⁿ→f
اگر وتنها اگر
ll fⁿ-fll→0
یعنی
Sup { lfⁿ(x) - f(x)l / llxll≤1 } →0
( توجه کنید fⁿ دنباله ای از تابعکها روی *x میباشد)
۳: دنباله xⁿ را در فضای نرمدار X همگرای قوی به x نامیم هرگاه:
Limll xⁿ - x ll=0
۱ -فرض کنیم н, ңدو فضای هیلبرت باشند (B(н, ң را فضای عملگرهای خطی و کراندار
T: н→ң
تعریف میکنیم.
توپولوژی قوی:
توپولوژی قوی عملگرها توسط خانواده ای از نیم نرم های به فرم زیر تولید میگردد:
Лҳ =ll T(x) ll
همگرایی دنباله Tⁿ به عملگر T در این توپولوژی به صورت زیر تعریف میگردد:
Tⁿ→T اگروتنهااگر ll(Tⁿ - T)xll→ 0
۲: توپولوژی قوی روی *x (دوگان x) به صورت زیر تعریف میکنیم:
توپولوژی نرم (یا توپولوژی اصلی یا توپولوژی قوی عملگرها )
در قسمت بالا منظور از همگرایی قوی همان همگرایی نرم است که به صورت زیر میباشد:
fⁿ→f
اگر وتنها اگر
ll fⁿ-fll→0
یعنی
Sup { lfⁿ(x) - f(x)l / llxll≤1 } →0
( توجه کنید fⁿ دنباله ای از تابعکها روی *x میباشد)
۳: دنباله xⁿ را در فضای نرمدار X همگرای قوی به x نامیم هرگاه:
Limll xⁿ - x ll=0
نرم های معادل یکریخت توپولوژیک یا همون هومئومورفیسم خطی اند.
یعنی همه خاصیت های توپولوژیکی و بعضی از خاصیت متریکی مانند پیوستگی، همگرایی،باناخ بودن ، مجموعه های باز ....... توسط این نرم ها حفظ میشه.
برای مثال اگر X با یکی از این نرم ها پیوسته، همگرا .........باشد بانرم معادل هم پیوسته، همگرا .......است
در حالت کلی یکریختی طولپایی از یکریختی توپولوژیکی قویتر میباشد زیرا علاوه بر خواص توپولوژیکی، خواص متریکی نیز توسط یکریختی طولپایی حفظ میگردد
یعنی همه خاصیت های توپولوژیکی و بعضی از خاصیت متریکی مانند پیوستگی، همگرایی،باناخ بودن ، مجموعه های باز ....... توسط این نرم ها حفظ میشه.
برای مثال اگر X با یکی از این نرم ها پیوسته، همگرا .........باشد بانرم معادل هم پیوسته، همگرا .......است
در حالت کلی یکریختی طولپایی از یکریختی توپولوژیکی قویتر میباشد زیرا علاوه بر خواص توپولوژیکی، خواص متریکی نیز توسط یکریختی طولپایی حفظ میگردد
نکاتی در مورد همگرایی ضعیف
الف: فرض کنیم X فضای نرمدار باشد توپولوژی ضعیف برابر است با گردایه تمام تابعک های خطی روی *x که به صورت f اندیس a ( که a عضوی از **x میباشد)
همگرایی در توپولوژی ضعیف به صورت زیر میباشد:
fⁿ→f
اگر وتنها اگر برای هر a عضو **x
l fⁿ(a) - f(a)l→0
۲ -فرض کنیم н, ңدو فضای هیلبرت باشند (B(н, ң را فضای عملگرهای خطی و کراندار
T: н→ң
تعریف میکنیم.
توپولوژی ضعیف روی (B(н, ң به صورت زیر تعریف میکنیم
این توپولوژی توسط خانواده ای از نیم نرم های به فرم زیر تولید میگردد:
Лҳ,ү = l( Tx, y) l
همگرایی دنباله Tⁿ به عملگر T در این توپولوژی به صورت زیر
تعریف میگردد:
Tⁿ→T
اگر و تنها اگر
l(Tⁿx,y)-(Tx,y)l→0
۳ - دنباله xⁿ را در فضای نرمدار X همگرای ضعیف به x نامیم هرگاه برای هر تابعک خطی کراندار
f: X→R
داشته باشیم:
Limll f(xⁿ ) -f( x )ll=0
الف: فرض کنیم X فضای نرمدار باشد توپولوژی ضعیف برابر است با گردایه تمام تابعک های خطی روی *x که به صورت f اندیس a ( که a عضوی از **x میباشد)
همگرایی در توپولوژی ضعیف به صورت زیر میباشد:
fⁿ→f
اگر وتنها اگر برای هر a عضو **x
l fⁿ(a) - f(a)l→0
۲ -فرض کنیم н, ңدو فضای هیلبرت باشند (B(н, ң را فضای عملگرهای خطی و کراندار
T: н→ң
تعریف میکنیم.
توپولوژی ضعیف روی (B(н, ң به صورت زیر تعریف میکنیم
این توپولوژی توسط خانواده ای از نیم نرم های به فرم زیر تولید میگردد:
Лҳ,ү = l( Tx, y) l
همگرایی دنباله Tⁿ به عملگر T در این توپولوژی به صورت زیر
تعریف میگردد:
Tⁿ→T
اگر و تنها اگر
l(Tⁿx,y)-(Tx,y)l→0
۳ - دنباله xⁿ را در فضای نرمدار X همگرای ضعیف به x نامیم هرگاه برای هر تابعک خطی کراندار
f: X→R
داشته باشیم:
Limll f(xⁿ ) -f( x )ll=0
نکاتی از آنالیز
۱ ــطیف یک عضو به جبر شامل آن عضو بستگی دارد
۲ -شعاع طیفی مستقل از جبر باناخی است که در آن قرار دارد و آن را میتوان با کوچکترین جبر باناخی که شامل x است میتوان به دست آورد
۳ -طیف یک جبر باناخ ممکن است تهی باشد
۴ -طیف یک جبر باناخ فشرده است و در یک گوی بسته قرار دارد
۱ ــطیف یک عضو به جبر شامل آن عضو بستگی دارد
۲ -شعاع طیفی مستقل از جبر باناخی است که در آن قرار دارد و آن را میتوان با کوچکترین جبر باناخی که شامل x است میتوان به دست آورد
۳ -طیف یک جبر باناخ ممکن است تهی باشد
۴ -طیف یک جبر باناخ فشرده است و در یک گوی بسته قرار دارد
نکاتی از آنالیز
۱ ــطیف یک عضو به جبر شامل آن عضو بستگی دارد
۲ -شعاع طیفی مستقل از جبر باناخی است که در آن قرار دارد و آن را میتوان با کوچکترین جبر باناخی که شامل x است میتوان به دست آورد
۳ -طیف یک جبر باناخ ممکن است تهی باشد
۴ -طیف یک جبر باناخ فشرده است و در یک گوی بسته قرار دارد
۱ ــطیف یک عضو به جبر شامل آن عضو بستگی دارد
۲ -شعاع طیفی مستقل از جبر باناخی است که در آن قرار دارد و آن را میتوان با کوچکترین جبر باناخی که شامل x است میتوان به دست آورد
۳ -طیف یک جبر باناخ ممکن است تهی باشد
۴ -طیف یک جبر باناخ فشرده است و در یک گوی بسته قرار دارد
نکاتی از آنالیز
۱ -فضای توپولوژیک X را نرمال گوییم هرگاه هر جفت از مجموعه های بسته جدا از هم، توسط تابعی پیوسته جدا گردند
۲ -فضای متریک و فضای توپولوژیک هاسدورف فشرده، فضاهای نرمالندص
۱ -فضای توپولوژیک X را نرمال گوییم هرگاه هر جفت از مجموعه های بسته جدا از هم، توسط تابعی پیوسته جدا گردند
۲ -فضای متریک و فضای توپولوژیک هاسدورف فشرده، فضاهای نرمالندص
نکاتی از آنالیز
یک مجموعه الزاما دنباله نیست ولی هر مجموعه شمار مانند A یک دنباله است چون شمارایی A ایجاب میکند که A با N هم عدد باشد لذا یک تابع مانند
F:N→A
موجود است که یک دنباله است
۲ -از هر مجموعه نامتناهی میتوان تعداد شمارا عضو دو به دو متمایز خارج کرد
۳ -هر دنباله یک مجموعه است
۴ -اگر دنباله aⁿ به بینهایت میل نکند نمیتوان نتبجه گرفت که aⁿ حتما کراندار است
یک مجموعه الزاما دنباله نیست ولی هر مجموعه شمار مانند A یک دنباله است چون شمارایی A ایجاب میکند که A با N هم عدد باشد لذا یک تابع مانند
F:N→A
موجود است که یک دنباله است
۲ -از هر مجموعه نامتناهی میتوان تعداد شمارا عضو دو به دو متمایز خارج کرد
۳ -هر دنباله یک مجموعه است
۴ -اگر دنباله aⁿ به بینهایت میل نکند نمیتوان نتبجه گرفت که aⁿ حتما کراندار است
نکته ای از آنالیز
فرض کنیم H فضای هیلبرت با بعد متناهی و
T: H→H
یک عملگر خطی و طولپا باشد یعنی :
II Tx ll=llxll
در این صورت نتایج زیر را برای عملگر T داریم:
۱ -عملگر T پیوسته است
۲ -عملگر T پیوسته یکنواخت است
۳ -عملگر T طولپای جزئی است
۴ -عملگر T پوشاست
۵ -عملگر T یک به یک است
۶ -عملگر T وارون پذیر است
۷ -عملگر T یک انقباض با ثابت یک است
۸ - عملگر T یکانی است
فرض کنیم H فضای هیلبرت با بعد متناهی و
T: H→H
یک عملگر خطی و طولپا باشد یعنی :
II Tx ll=llxll
در این صورت نتایج زیر را برای عملگر T داریم:
۱ -عملگر T پیوسته است
۲ -عملگر T پیوسته یکنواخت است
۳ -عملگر T طولپای جزئی است
۴ -عملگر T پوشاست
۵ -عملگر T یک به یک است
۶ -عملگر T وارون پذیر است
۷ -عملگر T یک انقباض با ثابت یک است
۸ - عملگر T یکانی است
۹ - عملگر T یک همریختی است
۱۰ -عملگر T یک یکریختی است
۱۱ - عملگر T حافظ ضرب داخلی است
۱۰ -عملگر T یک یکریختی است
۱۱ - عملگر T حافظ ضرب داخلی است
نکته ای از آنالیز
فرض کنیم H فضای هیلبرت با بعد متناهی و
T: H→H
یک عملگر خطی و طولپا باشد یعنی :
II Tx ll=llxll
در این صورت نتایج زیر را برای عملگر T داریم:
۱ -عملگر T پیوسته است
۲ -عملگر T پیوسته یکنواخت است
۳ -عملگر T طولپای جزئی است
۴ -عملگر T پوشاست
۵ -عملگر T یک به یک است
۶ -عملگر T وارون پذیر است
۷ -عملگر T یک لیپ شیتس با ثابت یک است
۸ - عملگر T یکانی است
۹ - عملگر T یک همریختی است
۱۰ -عملگر T یک یکریختی است
۱۱ - عملگر T حافظ ضرب داخلی است
۱۲ -داریم:
lllTlll=Sup { llTxll: llxll≤1}= Sup { llTxll/ llxll: x is no zero}= Sup { llTxll: llxll=1}= inf {M € R: llTxll ≤ M llxll }=1
۱۳ -عملگر T کراندار نقـطه به نقطه است
۱۴ - عملگر T کراندار یکنواخت
است
۱۵ - عملگر T یکریخت طولپاست
۱۶ - عملگر T یکریخت توپولوژیک است
فرض کنیم H فضای هیلبرت با بعد متناهی و
T: H→H
یک عملگر خطی و طولپا باشد یعنی :
II Tx ll=llxll
در این صورت نتایج زیر را برای عملگر T داریم:
۱ -عملگر T پیوسته است
۲ -عملگر T پیوسته یکنواخت است
۳ -عملگر T طولپای جزئی است
۴ -عملگر T پوشاست
۵ -عملگر T یک به یک است
۶ -عملگر T وارون پذیر است
۷ -عملگر T یک لیپ شیتس با ثابت یک است
۸ - عملگر T یکانی است
۹ - عملگر T یک همریختی است
۱۰ -عملگر T یک یکریختی است
۱۱ - عملگر T حافظ ضرب داخلی است
۱۲ -داریم:
lllTlll=Sup { llTxll: llxll≤1}= Sup { llTxll/ llxll: x is no zero}= Sup { llTxll: llxll=1}= inf {M € R: llTxll ≤ M llxll }=1
۱۳ -عملگر T کراندار نقـطه به نقطه است
۱۴ - عملگر T کراندار یکنواخت
است
۱۵ - عملگر T یکریخت طولپاست
۱۶ - عملگر T یکریخت توپولوژیک است