هم پیوستگی یا یکسان پیوستگی (equicontinuous)
فرض کنیم X یک فضای توپولوژیک و S زیر مجموعه (C(X باشد.گویم مجموعه S در نقطه a از X هم پیوسته است هرگاه به ازای هر ξ>0 یک همسایگی a مانند V موجود باشد به طوری که برای هر f متعلق به S، رابطه b متعلق به V مستلزم رابطه زیر باشد:
lf(b)-f(a)l< ξ
اگر S در هر نقطه X هم پیوسته باشد S را مجموعه هم پیوسته نامیم.
اگر (X,d) یک فضای متریک فشرده و A زیر مجموعه هم پیوسته (C(X باشد آنگاه A به طور یکنواخت هم پیوسته است

هر مجموعه اندازه پذیر برل اندازه پذیر لبگ است ولی عکسش لزوما برقرار نمیباشد.
اعضای سیگما جبر برل مجموعه های بازند و هر عضو (a,b) از سیگما جبر برل را می توانیم به صورت اجتماع شمارا از بازه هایی به شکل زیر نوشت:
[a + 1/k , b)
که عضوی از سیگما جبر لبگ میباشد. لذا هر عضو سیگما جبر برل یک عضو سیگما جبر لبگ است.
بنابراین وقتی برای یک مجموعه X سیگما جبر برل و سیگماجبر لبگ را تشکیل میدهیم هر عضو سیگما جبر برل که یک مجموعه باز میباشد خواه ناخواه در سیگما جبر لبگ قرار میگیرد ولی اعضایی در سیگما جبر لبگ موجودند که مجموعه ای باز نمیباشند لذا در سیگما جبر برل قرار نمیگیرند.
به عبارت دیگر چون تعداد اعضای سیگما جبر لبگ از تعداد اعضای سیگما جبر برل بیشتر است حداقل یک عضو در سیگما جبر لبگ میباشد که آن عضو در سیگما جبر برل نمیباشد.

نکاتی از آنالیز
۱ -فرض کنیم н, ңدو فضای هیلبرت باشند (B(н, ң را فضای عملگرهای خطی و کراندار
T: н→ң
تعریف میکنیم.
۲ -توپولوژی های روی (B(н, ң را به صورت زیر تعریف میکنیم:
الف: توپولوژی نرم یا توپولوژی یکنواخت:
توپولوژی ای است که به وسیله عملگر نرم تولید میگردد.
همگرایی دنباله Tⁿ به عملگر T به صورت زیر تعریف میگردد:
Tⁿ →T
اگر وتنها اگر

Lim ll Tⁿ - T ll=Lim[ Sup { ll( Tⁿ - T ) x / ll x ll≤ 1 } ]→ 0
ب: توپولوژی قوی:
توپولوژی قوی عملگرها توسط خانواده ای از نیم نرم های به فرم زیر تولید میگردد:
Лҳ =ll T(x) ll
همگرایی دنباله Tⁿ به عملگر T در این توپولوژی به صورت زیر تعریف میگردد:
Tⁿ→T اگروتنهااگر ll(Tⁿ - T)xll→ 0
پ: توپولوژی ضعیف:
این توپولوژی توسط خانواده ای از نیم نرم های به فرم زیر تولید میگردد:
Лҳ,ү = l( Tx, y) l
همگرایی دنباله Tⁿ به عملگر T در این توپولوژی به صورت زیر
تعریف میگردد:
Tⁿ→T
اگر و تنها اگر
l(Tⁿx,y)-(Tx,y)l→0
۳ -اگر فضای (B(н, ң را به هر سه توپولوژی بالا که بیان کردم مجهز کنیم یک فضای باناخ به دست میاید

نکاتی در مورد:
توپولوژی نرم (توپولوژی قوی یا توپولوژی اصلی)، توپولوژی ضعیف، توپولوژی ضعیف ستاره

فرض کنیم X یک مجموعه و Л خانواده ای از توابع از X به توی فضای توپولوژیکی Y باشد توپولوژی ضعیف بر X که توسط Л القا می شود کوچکترین توپولوژی بر X است که هر عضو Л را پیوسته می سازد

۲-اگر ما X را با توپولوژی گسسته مجهز کنیم بزرگترین (قویترین) توپولوژی به دست می آید

۳- سه توپولوژی روی *x (دوگان x) به صورت زیر تعریف میکنیم:
الف: توپولوژی نرم (یا توپولوژی اصلی یا توپولوژی قوی عملگرها )

در قسمت الف منظور از همگرایی قوی همان همگرایی نرم است که به صورت زیر میباشد:
fⁿ→f
اگر وتنها اگر
ll fⁿ-fll→0
یعنی

Sup { lfⁿ(x) - f(x)l / llxll≤1 } →0

( توجه کنید fⁿ دنباله ای از تابعکها روی *x میباشد)

ب: توپولوژی ضعیف ستاره:

توپولوژی ضعیف ستاره برابر است با گردایه همه تابعک های خطی مانند f اندیس a است که روی *x تعریف میشوند ( a متعلق به x است )
همگرایی ضعیف ستاره به صورت زير میباشد:
fⁿ→f
اگر وتنها اگر برای هر a عضو x
l fⁿ(a) - f(a)l→0

ج: توپولوژی ضعیف:

توپولوژی ضعیف برابر است با گردایه تمام تابعک های خطی روی *x که به صورت f اندیس a ( که a عضوی از **x میباشد)

همگرایی در توپولوژی ضعیف به صورت زیر میباشد:
fⁿ→f
اگر وتنها اگر برای هر a عضو **x
l fⁿ(a) - f(a)l→0

4-توپولوژی ضعیف و توپولوژی ضعیف ستاره هاسدورف اند

۵-اگر فضای باناخ X متناهی البعد باشد توپولوژی ضعیف و معمولی یکی اند

۶-وقتی که بیان می‌شود یک توپولوژی از توپولوژی دیگر ضعیف تر است یعنی تعداد مجموعه های باز کمتری دارد

۷-اگر فضای باناخ X با بعد نامتناهی باشد آنگاه مجموعه های باز و بسته در توپولوژی ضعیف در توپولوژی قوی نیز باز بسته اند ولی عکس بالا برقرار نیست

۸-در هر فضای نامتناهی البعد توپولوژی ضعیف اکیدا کوچکتر از توپولوژی قوی است

۹-هر مجموعه که با توپولوژی ضعیف بسته باشد با توپولوژی قوی نیز بسته است اما عکس این مطلب در فضای نامتناهی البعد برقرار نیست ولی برای مجموعه های محدب بسته بودن با توپولوژی قوی با بسته بودن با توپولوژی ضعیف یکی است

فضای نرمدار X اگر با بعد متناهی باشد آنگاه توپولوژی نرم و توپولوژی ضعیف یکی میشوندـ

اگر فضای نرمدار X با بعد نامتناهی باشد آنگاه توپولوژی ضعیف اکیدا کوچکتر از توپولوژی نرم است
یعنی مجموعه های باز ( بسته) ای در توپولوژی نرم موجودند که در توپولوژی ضعیف باز( بسته)نیستند
ولی اگر این مجموعه های باز ( بسته) ای که در توپولوژی نرم موجودند محدب باشند آنگاه در توپولوژی ضعیف باز( بسته)هستند

اندازه لبگ و اندازه برل
1-اندازه لبگ یه تابع است که دامنه آن نیم حلقه (این نیم حلقه یک مجموعه است که شامل تهی و بازه های نیم باز است) و برد این تابع هم زیر مجموعه ای از اعداد حقیقی نامنفی است. ضابطه تابع هم به این صورت است که تهی را به صفر میبرد و هر بازه را به طول بازه میبرد.
حالا شما میتونید این تابع را روی مجموعه شامل R و تهی که یک سیگما جبر است بسط بدید
یا اصلا این نیم حلقه را میتونید مجموعه شامل حاصل ضرب این نیم بازه ها همراه با تهی در نظر بگیرید در این صورت ضابطه تابع به صورت زیر میشود یعنی تهی را به صفر میبرد و حاصل ضرب نیم بازه ها را به حاصل ضرب طول ها میبرد.
حالا شما میتوانید این تابع را به مجموعه دو عضوی شامل فضای n بعدی R و تهی که یک سیگما جبر است بسط بدید.

۲-فرض کنیم (X, T) یک فضای توپولوژیک باشد، در این صورت کوچکترین سیگما جبر برل مانند K موجود است که تمام عضای T را در بر میگیرد.
در این صورت به جفت (X, K) فضای اندازه برل ، به اعضای K مجموعه های اندازه پذیر برل نامیم.
اکنون یک تابع مانند f از فضای اندازه (X, K) به فضای توپولوژیک (Y, N) تعریف میکنیم با این شرط که هر عضو N را به یک عضو K تصویر کند، در این صورت تابع f را، تابع اندازه پذیر برل نامیم

هر مجموعه اندازه پذیر برل اندازه پذیر لبگ است ولی عکسش لزوما برقرار نمیباشد.
اعضای سیگما جبر برل مجموعه های بازند و هر عضو (a,b) از سیگما جبر برل را می توانیم به صورت اجتماع شمارا از بازه هایی به شکل زیر نوشت:
[a + 1/k , b)
که عضوی از سیگما جبر لبگ میباشد. لذا هر عضو سیگما جبر برل یک عضو سیگما جبر لبگ است.
بنابراین وقتی برای یک مجموعه X سیگما جبر برل و سیگماجبر لبگ را تشکیل میدهیم هر عضو سیگما جبر برل که یک مجموعه باز میباشد خواه ناخواه در سیگما جبر لبگ قرار میگیرد ولی اعضایی در سیگما جبر لبگ موجودند که مجموعه ای باز نمیباشند لذا در سیگما جبر برل قرار نمیگیرند.
به عبارت دیگر چون تعداد اعضای سیگما جبر لبگ از تعداد اعضای سیگما جبر برل بیشتر است حداقل یک عضو در سیگما جبر لبگ میباشد که آن عضو در سیگما جبر برل نمیباشد.

نکاتی راجع فضاهای همبند، موضعا هم بند، همبند راهی

1-فرض کنیم X یک فضا توپولوژیک باشد در این صورت جداساز X زوج مرتبی مانند(U, V) میباشد که U و V مجموعه های باز ناتهی با اجتماع X و اشتراک تهی میباشند

۲-فضای X را همبند گوییم هرگاه هیچ جداسازی نداشته باشد

۳-هرگاه (U, V) جداساز X باشند آنگاه U و V هم بازند و هم بسته

۴-هرگاه (U, V ) جداساز X باشند آنگاه U بستار، اشتراکش با V تهی است

۵-فرض کنیم X فضای توپولوژیک باشد آنگاه نکات گزاره های زیر با هم معادلند:
الف:X همبند است
ب: X را نمی‌توان به صورت اجتماع دو زیر مجموعه غیرخالی، بسته و جدا از هم نوشت
ج: X را نمی‌توان به صورت اجتماع دو زیر مجموعه غیر خالی مانند A و B نوشت به طوری که A بستار با B بستار هیچ اشتراکی نداشته باشد
د:تنها زیر مجموعه های X که در عین حال هم بازند و هم بسته تهی و X اند
چ-به ازای هر زیر مجموعه واقعی و غیر خالی X مانند A، مرز A مخالف تهی می باشد

۶-هر فضای توپولوژیک ناگسسته هم بند است

۷-هر فضای توپولوژیک گسسته مانند X زمانی همبند است که X تهی یا مجموعه یکانی باشد

۸-فرض کنیم X نامتناهی باشد در این صورت توپولوژی متمم متناهی در X همبند است

۹-فرض کنیم X ناشمارا باشد در این صورت توپولوژی متمم شمارا در X همبند است

۱۰-مجموعه اعداد گویا، گنگ، صحیح و مجموعه اعداد طبیعی کلا ناهمبندند

۱۱-هم بندی تحت تابع پیوسته حفظ میگردد

۱۲ -فضای X همبند است اگر وتنها اگر هر تابه پیوسته از X به توی مجموعه ۰ و 1، با توپولوژی گسسته، تابع ثابت باشد

۱۳-یک زیر مجموعه همبند نمیتواند یک مجموعه باز و بسته فضا مانند A و متمم آن را قطع کند

۱۴-در هر فضا توپولوژیک، مجموعه خالی همبند است

۱۵-همه زیر مجموعه های یکانی فضای توپولوژیک همبندند

۱۶-در فضای توپولوژیک متمم متناهی یک زیر مجموعه همبند است اگر وتنها اگر تباهیده یا نامتناهی باشد

۱۷-در یک فضای گسسته تنها زیر مجموعه های همبند، زیر مجموعه های تباهیده اند

۱۸-فرض کنیم Y زیر فضای همبند X باشد، در این صورت اگر Z، مابین Y و بستار Y قرار گیرد آنگاه Z نیز هم بند است

۱۹-حاصل ضرب هر تعداد متناهی از فضاهای توپولوژیک همبند، همبند است

۲۰-یک زیر مجموعه همبند X مانند A را مولفه X گوییم در صورتی که A زیر مجموعه واقعی هیچ زیر مجموعه همبند X نباشد

۲۱-نکته ۲۰ نشان میدهد که فضای توپولوژیک X را میتوان به زیر فضاهای همبند ماکسیمال، دو به دو جدا از هم تجزیه کرد

۲۲-اگر X یک فضای غیر خالی باشد آنگاه هر مولفه X نیز غیر خالی است

۲۳-فضای X همبند است اگر وتنها اگر X تنها مولفه فضا باشد

۲۴-در هر فضای توپولوژیک گسسته تنها مولفه های فضا، زیر مجموعه های تباهیده اند

۲۵-تصویر یک مولفه تحت یک تابع پیوسته ممکن است یک مولفه نباشد

۲۶-اگر f تابعی پیوسته بین دو فضای توپولوژیک X, Yباشد و B یک مولفه در Y باشد آنگاه تصویر وارون B تحت f اجتماعی از مولفه های X است

۲۷-اگر تابع f یک همسانریختی باشد آنگاه f و وارون f هر مولفه را به یک مولفه تصویر میکنند

۲۸-تعداد مولفه های یک فضای توپولوژیک، یک پایای توپولوژیک است

۲۹-بازه های R جملگی همبندند

۳۰-فضای Rⁿ همبند است

۳۱-فضای توپولوژیک X را موضعا هم بند گوییم هرگاه در هر نقطه اش به طور موضعی هم بند باشد

۳۲-در یک فضای موضعا همبند هر مولفه هم باز و هم بسته است

۳۳-هر فضای توپولوژیک ناگسسته موضعا همبند است

۳۴-هر فضای گسسته موضعا هم بند است

۳۵-مجموعه R موضعا همبند است

۳۶-فضای توپولوژیک متمم متناهی موضعا همبند است

۳۷-اگر f تابعی پیوسته از فضای موضعا همبند X به روی فضای توپولوژیک Y باشد آنگاه Y نیز موضعا همبند است

۳۸-اگر فضای X موضعا همبند باشد آنگاه هر فضای همسانریخت با X نیز موضعا همبند است

۳۹-حاصل ضرب دو فضای موضعا همبند نیز، موضعا همبند میباشد

۴۰-هر فضای کلا ناهمبند و موضعا همبند، یک فضای توپولوژیک گسسته میباشد

۴۱-مجموعه اعداد گویا و گنگ موضعا همبند نمیباشند

۴۲-فضای توپولوژیک X را همبند راهی نامیم هرگاه به ازای هر دو نقطه از X مانند a, b راهی از a به b موجود باشد

۴۳-هر فضای همبند راهی، یک فضای همبند است

۴۴-یک فضای همبند ممکن است همبند راهی نباشد

۴۵-اگر f تابعی پیوسته از فضای همبند راهی X برروی فضای توپولوژیک Y باشد آنگاه Y نیز همبند راهی است

۴۶-حاصل ضرب هر تعداد متناهی از فضای همبند راهی یک فضای همبند راهی است

۴۷-در فضای Rⁿ یک مجموعه باز ، همبند است اگر وتنها اگر همبند راهی باشد

۴۸-وقتی یک فضا همبند همبند راهی نباشد میتوان آن را به فضای همبند راهی تجزیه کرد

۴۹-مولفه های راهی یک فضا، زیر مجموعه های همبند راهی آن فضا هستند

۵۰-فرض کنیم X یک فضای توپولوژیک باشد به طوری که به ازای هر دو نقطه متمایز آن مانند a, b زیر مجموعه همبندی از X شامل a, b موجود باشد،

در این صورت X همبند است

۵۱-اگر A, B دو زیرمجموعه باز فضای توپولوژیک X باشند به طوری که اجتماع و اشترکشان هم بند باشد آنگاه A, B نیز همبندند

۵۲-اگر Y زیر مجموعه همبند فضای توپولوژیک X باشند آنگاه درون Y و مرز Y الزاما همبند نمیباشند

۵۳-هر زیر مجموعه باز و بسته فضا توپولوژیک، اجتماعی از مولفه های فضاست

۵۴-یک توپولوژی کلا ناهمبند حاوی توپولوژی متمم متناهی است

۵۵-اشتراک دو زیر مجموعه همبند یک فضای توپولوژیک الزاما همبند نمیباشد

۵۶-حاصل ضرب دو فضای کلا ناهمبند فضایی کلا ناهمبند است
۵۷-یک فضای فشرده و موضعا همبند دارای تعداد متناهی مولفه است

۵۸-اگر F زیر مجموعه شمارا فضای دوبعدی R باشد آنگاه متمم F همبند راهی است

۵۹-هر فضای همبند و موضعا همبند راهی یک فضای همبند راهی است

۶۰-هر زیر فضای باز یک فضای موضعا همبند راهی یک فضای موضعا همبند راهی است

دو نکته از آنالیز ریاضی‌:

1-هر تابع پیوسته از R به R که فقط مقادیری غیر اعداد گنگ اختیار کند یک تابع ثابت است

۲-اگر مجموعه اعداد طبیعی و مجموعه اعداد صحیح و هر زیر مجموعه آنها را به متر معمولی مجهز کنیم فضای متریک گسسته تولید میکنند.

۱-در یک فضای نرمدار یک سری مطلقا همگرا، الزاما همگرا نمیباشد

۲ -در یک فضای باناخ یک سری مطلقا همگرا یک سری همگراست
مانند Rⁿ,Cⁿ

۳-اگر در یک فضای نرمدار X همگرایی مطلق یک سری، همگرایی سری را نتیجه دهد آنگاه بستار X کامل اس ت

۴ -هر تجدید آرایش یک سری مطلقا همگرا با مجموع s، نیزیک سری مطلقا همگرا با مجموع s است.

نکاتی از آنالیز

1-در فضای برداری متناهی البعد همه نرم ها معادلند

۲_قضیه هانیه برل برای هر فضای نرمدار متناهی البعد صادق است

۳_موضعا فشرده بودن فضای نرمدار معادل است با متناهی البعد این فضا

۴_موضعا فشرده بودن فضای نرمدار معادل است با این که گوی یکه بسته آن فشرده باشد

۵_هر زیر فضای متناهی البعد یک فضای نرمدار، بسته است

۶_در یک فضای باناخ یک سری مطلقا همگرا، همگراست

۷_در یک فضای نرمدار، یک سری مطلقا همگرا، الزاما همگرا نیست

۸_هر زیر فضای برداری سره ی یک فضای برداری نرمدار، مجموعه ای هیچ جا چگال است

۹_یک فضای باناخ الزاما بازتابی نیست

1۰_فضای جیمز یک فضای باناخ غیر بازتابی است

11-فضای إل وان و إل بینهایت فضاهای باناخ غیر بازتابی اند

1۲-اگر T عملگری خطی بین دو فضای نرمدار باشد آنگاه کرانداری نقطه به نقطه، کرانداری یکنواخت، پیوستگی نقطه به نقطه، و پیوستگی یکنواخت T معادل میگردند

1۳-فرض کنیم Tⁿ ، دنباله ای از عملگرها خطی از فضای باناخ X به فضای نرمدار Y باشد در این کرانداری یکنواخت و کرانداری نقطه به نقطه معادل میگردند

14 -در 13 اگر X فضای نرمدار باشد آنگاه رابطه معادل بودن الزاما برقرار نیست

1۵-دوگان یک فضای نرمدار یک فضای باناخ است

1۶-اگر در یک فضای نرمدار X همگرایی مطلق هر سری، همگرایی سری را نتیجه دهد آنگاه ، بستار X باناخ است

1۷-هر عملگر خطی روی فضای نرمدار متناهی البعد کراندار و لذا پیوسته است

1۸-اگر فضای نرمدار X دارای این خاصیت باشد که گوی واحد بسته X فشرده باشد، آنگاه بعد X متناهی است

نرم های معادل یکریخت توپولوژیک یا همون هومئومورفیسم خطی اند.
یعنی همه خاصیت های توپولوژیکی و بعضی از خاصیت متریکی مانند پیوستگی، همگرایی،باناخ بودن ، مجموعه های باز ....... توسط این نرم ها حفظ میشه.
برای مثال اگر X با یکی از این نرم ها پیوسته، همگرا .........باشد بانرم معادل هم پیوسته، همگرا .......است

سه توپولوژی روی *x (دوگان x) به صورت زیر تعریف میکنیم:
الف: توپولوژی نرم (یا توپولوژی اصلی یا توپولوژی قوی عملگرها )

در قسمت الف منظور از همگرایی قوی همان همگرایی نرم است که به صورت زیر میباشد:
fⁿ→f
اگر وتنها اگر
ll fⁿ-fll→0
یعنی

Sup { lfⁿ(x) - f(x)l / llxll≤1 } →0

( توجه کنید fⁿ دنباله ای از تابعکها روی *x میباشد)

ب: توپولوژی ضعیف ستاره:

توپولوژی ضعیف ستاره برابر است با گردایه همه تابعک های خطی مانند f اندیس a است که روی *x تعریف میشوند ( a متعلق به x است )
همگرایی ضعیف ستاره به صورت زير میباشد:
fⁿ→f
اگر وتنها اگر برای هر a عضو x
l fⁿ(a) - f(a)l→0

ج: توپولوژی ضعیف:

توپولوژی ضعیف برابر است با گردایه تمام تابعک های خطی روی *x که به صورت f اندیس a ( که a عضوی از **x میباشد)

همگرایی در توپولوژی ضعیف به صورت زیر میباشد:
fⁿ→f
اگر وتنها اگر برای هر a عضو **x
l fⁿ(a) - f(a)l→0

اعضای توپولوژی ضعیف ستاره صورت زیرند:
الف: تصویر وارون های تابعک های خطی به فرم زیر
F: x*→K (K میدان)
F(f)=f(a)
(که f عضو *x و a عضو x میباشد)
ب:همه اشتراک های متناهی اعضای تابعک های معرفی شده در الف
ج:همه اجتماع های دلخواه اعضای الف و ب

اعضای توپولوژی نرم
فرض کنیم X یک فضای نرمدار باشد تعریف میکنیم :
B(x,r)={yㅌX / ll x - y ll< r}
در این صورت مجموعه زیر یک پایه است:
{ B(x,r) / xㅌX, r≥0}
پایه ای که این توپولوژی تولید میکند توپولوژی نرم است.
یعنی گوی های باز یه پایه برا این توپولوژی تشکیل میدهند

اعضای توپولوژی ضعیف به صورت زیرند:
الف: تصویر وارون های تابعک های خطی به فرم زیر
F: x*→K (K میدان)
F(f)=f(a)
(که f عضو *x و a عضو **x میباشد)
ب:همه اشتراک های متناهی اعضای تابعک های معرفی شده در الف
ج:همه اجتماع های دلخواه اعضای الف و ب

وضعیت تک نقطه ای ها در فضاهای مختلف

۱ -مجموعه های متناهی و بالاخص تک نقطه ای ها در فضاهای زیر بسته اند
الف: فضای متریک
ب: فضای باناخ
ج: فضای هیلبرت
ت: جبر باناخ
پ: جبرهای فون نویمان
چ: *c جبرها
د: فضای برداری توپولوژیک
۲ -مجموعه های متناهی و بالاخص تک نقطه ای ها در فضا زیر الزاما بسته نمیباشند
الف: فضای توپولوژیک

نکاتی از آنالیز

1 -فرض کنیم X,Y دو فضای برداری باشند عملگر T: X→Y را یکریختی یا ایزومورفیسم گوییم هرگاه T خطی، یک به یک و پوشا باشد.
دو فضای برداری را ایزومورف یا یکریخت گوییم هرگاه یک یکریختی بین این دو فضا موجود باشد

۲ -فرض کنیم X,Y دو فضای نرمدار باشند عملگر T: X→Y را یکریختی طولپایی گوییم هرگاه T خطی، حافظ نرم ، یک به یک و پوشا باشد

۳-فرض کنیم X,Y دو فضای ضرب داخلی باشند عملگر T: X→Y را یکریختی توپولوژیکی یا هومئومورفیسم خطی گوییم هرگاه T خطی، یک به یک، پوشا، پیوسته و وارون پذیر باشد

۴ -فرض کنیم X,Y دو فضای نرمدار باشند تابع T:X→Y را ایزومتری یا طولپایی گوییم هرگاه برای هر xㅌX:
ll Tx ll=llxll
دو فضای نرمدا X,Y را طولپای یا ایزومتری نامیم هرگاه یک طولپایی میانشان موجود باشد.

۵ -هر دو فضای طولپای هومئومورفیسم میباشند.

۶ -هر طولپایی دارای ویژگی های زیر است
الف: یک به یک بودن
ب: پیوستگی
پ: پیوستگی یکنواخت
د: تابع لیپ شیتس با ثابت یک

۷-فرض کنیم X,Y دو فضای ضرب داخلی باشند عملگر T: X→Y را unitary گوییم هرگاه T یکریختی و حافظ ضرب داخلی باشد

۸-فرض کنیم X,Y دو جبر باناخ باشند عملگر T: X→Y را یکریختی گوییم هرگاه T خطی، ضربی، یک به یک و پوشا باشد

نکاتی راجع به اندازه لبگ و اندازه برل

1-مفهوم اندازه لبگ توسیع طول، مساحت و حجم است

۲-اندازه لبگ هر شکل هندسی در صفحه R²، برابر مساحت و در فضای R³ ، برابر حجم میباشد

۳-هر مجموعه اندازه پذیر لبگ برابر است با اجتماعی از مجموعه اندازه پذیر برل و مجموعه اندازه پذیر لبگ با اندازه صفر

۴-هر تابع تقریبا همه جا اندازه پذیر لبگ برابر است با تابع اندازه پذیر برل

۵-اگر A اندازه پذیر لبگ باشد آنگاه مجموعه اندازه پذیر برل B موجود است که A زیر مجموعه B میباشد و اندازه لبگ (B-A ) صفر میباشد

۶-هر بازه در فضای Rⁿ ، مجموعه اندازه پذیر لبگ میباشد

۷-هر زیر مجموعه متناهی فضای Rⁿ، دارای اندازه لبگ صفر است

۸-هر زیر مجموعه شمارا فضای Rⁿ ، دارای اندازه لبگ صفر است

۹-مجموعه های اندازه پذیر لبگ را میتوان با مجموعه های باز تقریب زد

1۰-هر زیر مجموعه برل فضای Rⁿ، اندازه پذیر لبگ است

11-هر مجموعه اندازه پذیر لبگ شامل مجموعه اندازه پذیر برل با همان اندازه است

1۲-اندازه لبگ روی فضای Rⁿ ، یک اندازه منظم برل میباشد

1۳-هر اندازه برل روی فضای Rⁿ ، یک اندازه برل منظم میباشد

1۴-هر مجموعه اندازه پذیر لبگ، الزاما اندازه پذیر برل نیست

1۵-هر زیر مجموعه فضای Rⁿ ، الزاما اندازه پذیر لبگ نمیباشد

1۶-تنها اندازه برل معین بر فضای Rⁿ ، که نسبت به انتقال ناورداست اندازه لبگ میباشد

1۷-اگر A زیر مجموعه R، و هر زیر مجموعه R اندازه پذیر لبگ باشد آنگاه اندازه لبگ A صفر می باشد

1۸-سیگما جبر مجموعه های اندازه پذیر برل دارای عدد اصلی c و عدد اصلی مجموعه های اندازه پذیر لبگ دارای عدد اصلی ۲ به توان c میباشد

1۹-اندازه لبگ مجموعه کانتور صفر میباشد

۲۰-مجموعه کانتور زیر مجموعه ای دارد که اندازه پذیر برل نمیباشد

۲1-مجموعه های برل فضای Rⁿ ،دقیقا عبارت اند از سیگما جبر تولید شده به وسیله مجموعه های فشرده

۲۲-اگر زیر مجموعه E از Rⁿ ،دارای اندازه لبگ صفر باشد آن گاه درون E تهی میباشد

۲۳-اگر زیر مجموعه E از بازه [0,1]دارای اندازه لبگ یک باشد آنگاه E در بازه [0,1]چگال میباشد

۲۴-اندازه لبگ هر مثلث در صفحه R² ، برابر مساحت آن میباشد

۲۵-سیگما جبر برل شامل مجموعه های باز، مجموعه های بسته، اشتراک شمارا از مجموعه های باز و اجتماع شمارا از مجموعه های بسته میباشد

نکاتی از آنالیز
۱ -فرض کنیم н, ңدو فضای هیلبرت باشند (B(н, ң را فضای عملگرهای خطی و کراندار
T: н→ң
تعریف میکنیم.
توپولوژی قوی:
توپولوژی قوی عملگرها توسط خانواده ای از نیم نرم های به فرم زیر تولید میگردد:
Лҳ =ll T(x) ll
همگرایی دنباله Tⁿ به عملگر T در این توپولوژی به صورت زیر تعریف میگردد:
Tⁿ→T اگروتنهااگر ll(Tⁿ - T)xll→ 0

۲: توپولوژی قوی روی *x (دوگان x) به صورت زیر تعریف میکنیم:
توپولوژی نرم (یا توپولوژی اصلی یا توپولوژی قوی عملگرها )

در قسمت بالا منظور از همگرایی قوی همان همگرایی نرم است که به صورت زیر میباشد:
fⁿ→f
اگر وتنها اگر
ll fⁿ-fll→0
یعنی

Sup { lfⁿ(x) - f(x)l / llxll≤1 } →0

( توجه کنید fⁿ دنباله ای از تابعکها روی *x میباشد)

۳: دنباله xⁿ را در فضای نرمدار X همگرای قوی به x نامیم هرگاه:
Limll xⁿ - x ll=0