نکاتی در مورد تصاویر (projection )
1 -فرض کنیم X فضای برداری باشد نگاشت خطی P: X→X را تصویر گوییم هرگاه
P²=P
2 -فرض کنیم X یک فضای برداری باشد اگر P: X→X یک تصویر باشد آنگاه X برابر است با جمع مستقیم KerP و rang P
3-اگر X جمع مستقیم دو زیرفضای برداری M و N باشد آنگاه تصویر
P: X→X
است که ran P=M و ker P=N
4 -یک تصویر متعامد روی فضای هیلبرت H یک نگاشت خطی که دو شرط زیر صدق میکند
P²=P , P*=P
6 -بین تصاویر متعامد P و زیر فضاهای متعامد M از H که rangP=M تناظر یک به یک موجود است
۷ -اگر P یک تصویر روی فضای هیلبرت H باشد آنگاه
الف: ran P بسته است
ب: H جمع مستقیم Ker P و rang P میباشد
پ: اگر M زیر فضای بسته H باشد آنگاه یک تصویر متعامد P روی M موجود است که
ran P=M , ker P=M'
(منظور از 'M مکمل متعامد M میباشد)
۸ -اگر P تصویر متعامد ناصفر باشد آنگاه
llPll=1
9 -یک تصویر متعامد لزوما کراندار است
1 -فرض کنیم X فضای برداری باشد نگاشت خطی P: X→X را تصویر گوییم هرگاه
P²=P
2 -فرض کنیم X یک فضای برداری باشد اگر P: X→X یک تصویر باشد آنگاه X برابر است با جمع مستقیم KerP و rang P
3-اگر X جمع مستقیم دو زیرفضای برداری M و N باشد آنگاه تصویر
P: X→X
است که ran P=M و ker P=N
4 -یک تصویر متعامد روی فضای هیلبرت H یک نگاشت خطی که دو شرط زیر صدق میکند
P²=P , P*=P
6 -بین تصاویر متعامد P و زیر فضاهای متعامد M از H که rangP=M تناظر یک به یک موجود است
۷ -اگر P یک تصویر روی فضای هیلبرت H باشد آنگاه
الف: ran P بسته است
ب: H جمع مستقیم Ker P و rang P میباشد
پ: اگر M زیر فضای بسته H باشد آنگاه یک تصویر متعامد P روی M موجود است که
ran P=M , ker P=M'
(منظور از 'M مکمل متعامد M میباشد)
۸ -اگر P تصویر متعامد ناصفر باشد آنگاه
llPll=1
9 -یک تصویر متعامد لزوما کراندار است
نکاتی از آنالیز
۱ -ضرب داخلی تابعی توأم پیوسته میباشد
۲ -از نکته یک نتیجه میشود که هر بردار y متعلق به ضرب داخلی X ، تابعک خطی پیوسته ای مانند
f: X→C
f (x)= (x,y)
تعریف میکند
۳ -قضیه نمایش ریس بیان میکند برای فضای هیلبرت H تمام تابعک های خطی کراندار بر H به فرم نکته ۲ میباشند
۴ -قضیه نمایش ریس:
فرض کنیم f: H→C یک تابعک خطی کراندار باشد آنگاه بردار یکتا y در H موجود است که برای هر x در H داریم:
f (x) = (x,y)
4 -در نکته ۳ داریم
ll f ll=sup { lf(x)l / ll x ll ≤ 1}= sup { lf(x)l / ll x ll = 1}= inf { M / lf(x)l ≤ M ll x ll } =ll y ll
۱ -ضرب داخلی تابعی توأم پیوسته میباشد
۲ -از نکته یک نتیجه میشود که هر بردار y متعلق به ضرب داخلی X ، تابعک خطی پیوسته ای مانند
f: X→C
f (x)= (x,y)
تعریف میکند
۳ -قضیه نمایش ریس بیان میکند برای فضای هیلبرت H تمام تابعک های خطی کراندار بر H به فرم نکته ۲ میباشند
۴ -قضیه نمایش ریس:
فرض کنیم f: H→C یک تابعک خطی کراندار باشد آنگاه بردار یکتا y در H موجود است که برای هر x در H داریم:
f (x) = (x,y)
4 -در نکته ۳ داریم
ll f ll=sup { lf(x)l / ll x ll ≤ 1}= sup { lf(x)l / ll x ll = 1}= inf { M / lf(x)l ≤ M ll x ll } =ll y ll
نکاتی از آنالیز
۱ -ضرب داخلی تابعی توأم پیوسته میباشد
۲ -از نکته یک نتیجه میشود که هر بردار y متعلق به ضرب داخلی X ، تابعک خطی پیوسته ای مانند
f: X→C
f (x)= (x,y)
تعریف میکند
۳ -در نکته ۲ اگر X ما فضای هیلبرت H باشد آنگاه تمام تابعک های خطی کراندار بر X به فرم نکته ۲ میباشد که به قضیه نمایش ریس معروف است
۴ -قضیه نمایش ریس:
فرض کنیم f: H→C یک تابعک خطی کراندار باشد آنگاه بردار یکتا y در H موجود است که برای هر x در H داریم:
f (x) = (x,y)
۵ -نرم بردار y نکته ۴ به صورت زیر محاسبه میگردد
ll f ll=sup { lf(x)l / ll x ll ≤ 1}= sup { lf(x)l / ll x ll = 1}= inf { M / lf(x)l ≤ M ll x ll } =ll y ll
۶ -یکی از نتایج قضیه نمایش ریس وجود الحاق یک عملگر کراندار بر فضای هیلبرت H میباشد.
به عبارت دیگر اگر T: H→H یک عملگر خطی کراندار باشد آنگاه عملگر کراندار یکتایی مانند
T*: H→H
موجود است که
(T(x), y)=(x,T*(y)):
۷ -یک عملگر خطب کراندار روی فضای هیلبرت H را عملگر فردهولم(Fredholm Operator) گوییم هرگاه در دو شرط رزیر صدق کند
الف: برد عملگر T بسته باشد
ب: پوچی T و پوچی *T متناهی باشد
۱ -ضرب داخلی تابعی توأم پیوسته میباشد
۲ -از نکته یک نتیجه میشود که هر بردار y متعلق به ضرب داخلی X ، تابعک خطی پیوسته ای مانند
f: X→C
f (x)= (x,y)
تعریف میکند
۳ -در نکته ۲ اگر X ما فضای هیلبرت H باشد آنگاه تمام تابعک های خطی کراندار بر X به فرم نکته ۲ میباشد که به قضیه نمایش ریس معروف است
۴ -قضیه نمایش ریس:
فرض کنیم f: H→C یک تابعک خطی کراندار باشد آنگاه بردار یکتا y در H موجود است که برای هر x در H داریم:
f (x) = (x,y)
۵ -نرم بردار y نکته ۴ به صورت زیر محاسبه میگردد
ll f ll=sup { lf(x)l / ll x ll ≤ 1}= sup { lf(x)l / ll x ll = 1}= inf { M / lf(x)l ≤ M ll x ll } =ll y ll
۶ -یکی از نتایج قضیه نمایش ریس وجود الحاق یک عملگر کراندار بر فضای هیلبرت H میباشد.
به عبارت دیگر اگر T: H→H یک عملگر خطی کراندار باشد آنگاه عملگر کراندار یکتایی مانند
T*: H→H
موجود است که
(T(x), y)=(x,T*(y)):
۷ -یک عملگر خطب کراندار روی فضای هیلبرت H را عملگر فردهولم(Fredholm Operator) گوییم هرگاه در دو شرط رزیر صدق کند
الف: برد عملگر T بسته باشد
ب: پوچی T و پوچی *T متناهی باشد
نکاتی از آنالیز
۱ -ضرب داخلی تابعی توأم پیوسته میباشد
۲ -از نکته یک نتیجه میشود که هر بردار y متعلق به ضرب داخلی X ، تابعک خطی پیوسته ای مانند
f: X→C
f (x)= (x,y)
تعریف میکند
۳ -در نکته ۲ اگر X ما فضای هیلبرت H باشد آنگاه تمام تابعک های خطی کراندار بر X به فرم نکته ۲ میباشد که به قضیه نمایش ریس معروف است
۴ -قضیه نمایش ریس:
فرض کنیم f: H→C یک تابعک خطی کراندار باشد آنگاه بردار یکتا y در H موجود است که برای هر x در H داریم:
f (x) = (x,y)
۵ -نرم بردار y نکته ۴ به صورت زیر محاسبه میگردد
ll f ll=sup { lf(x)l / ll x ll ≤ 1}= sup { lf(x)l / ll x ll = 1}= inf { M / lf(x)l ≤ M ll x ll } =ll y ll
۶ -یکی از نتایج قضیه نمایش ریس وجود الحاق یک عملگر کراندار بر فضای هیلبرت H میباشد.
به عبارت دیگر اگر T: H→H یک عملگر خطی کراندار باشد آنگاه عملگر کراندار یکتایی مانند
T*: H→H
موجود است که
(T(x), y)=(x,T*(y)):
۷ -یک عملگر خطی کراندار روی فضای هیلبرت H را عملگر فردهولم(Fredholm Operator) گوییم هرگاه در دو شرط رزیر صدق کند
الف: ببرد عملگر T بسته باشد
ب: پوچی T و پوچی *T متناهی باشد
۸: اگر T عملگر کراندار و خود الحاق روی فضای هیلبرت H باشد داریم:
ll T ll=sup{ l(x, Tx)l / llxll=1 }
۹ -یک عملگر کراندار T را الحاق کج نامیم هرگاه:
T* = -T
۱ -ضرب داخلی تابعی توأم پیوسته میباشد
۲ -از نکته یک نتیجه میشود که هر بردار y متعلق به ضرب داخلی X ، تابعک خطی پیوسته ای مانند
f: X→C
f (x)= (x,y)
تعریف میکند
۳ -در نکته ۲ اگر X ما فضای هیلبرت H باشد آنگاه تمام تابعک های خطی کراندار بر X به فرم نکته ۲ میباشد که به قضیه نمایش ریس معروف است
۴ -قضیه نمایش ریس:
فرض کنیم f: H→C یک تابعک خطی کراندار باشد آنگاه بردار یکتا y در H موجود است که برای هر x در H داریم:
f (x) = (x,y)
۵ -نرم بردار y نکته ۴ به صورت زیر محاسبه میگردد
ll f ll=sup { lf(x)l / ll x ll ≤ 1}= sup { lf(x)l / ll x ll = 1}= inf { M / lf(x)l ≤ M ll x ll } =ll y ll
۶ -یکی از نتایج قضیه نمایش ریس وجود الحاق یک عملگر کراندار بر فضای هیلبرت H میباشد.
به عبارت دیگر اگر T: H→H یک عملگر خطی کراندار باشد آنگاه عملگر کراندار یکتایی مانند
T*: H→H
موجود است که
(T(x), y)=(x,T*(y)):
۷ -یک عملگر خطی کراندار روی فضای هیلبرت H را عملگر فردهولم(Fredholm Operator) گوییم هرگاه در دو شرط رزیر صدق کند
الف: ببرد عملگر T بسته باشد
ب: پوچی T و پوچی *T متناهی باشد
۸: اگر T عملگر کراندار و خود الحاق روی فضای هیلبرت H باشد داریم:
ll T ll=sup{ l(x, Tx)l / llxll=1 }
۹ -یک عملگر کراندار T را الحاق کج نامیم هرگاه:
T* = -T
۱۰ -فرض کنیم T: X→Y عملگری خطی و کراندار بین دو فضای هیلبرت باشد در این صورت دو عبارت زیر معادل اند
الف: T طولپاست
ب: T*T یک عملگر همانی است
۱۱ -فرض کنیم T: X→Y عملگری خطی و کراندار بین دو فضای هیلبرت باشد در این صورت دو عبارت زیر معادل اند
الف: T هم طولپایی است
ب: *TTیک عملگر همانی است
الف: T طولپاست
ب: T*T یک عملگر همانی است
۱۱ -فرض کنیم T: X→Y عملگری خطی و کراندار بین دو فضای هیلبرت باشد در این صورت دو عبارت زیر معادل اند
الف: T هم طولپایی است
ب: *TTیک عملگر همانی است
حسابان تابعی پیوسته (Continuious Functional calculus)
فرض کنیم T: H→H عضوی از *c جبر (B(Hباشد در این صورت تابع یکتای
Ф: C(spectrum( T) )→В(H)
را حسابان تابعی پیوسته گوییم که دارای ویژگی های زیر میباشد:
الف: Φ خطی است
Φ(λf+g)=λΦ(f)+Φ(g)
λ=اسکالر
ب: Φ ضربی است
Φ(fg)=Φ(f)Φ(g)
ت: اگر 'f مزدوج f باشد داریم:
Φ(f')=Φ(f)*
پ: فرض کنیم 1 تابع ثابت یک، و i عملگر همانی باشد داریم:
Φ(1)=i
اگر j: Spectrum(T)→C یک نگاشت شمول باشد آنگاه داریم:
Φ(j)=T
فرض کنیم T: H→H عضوی از *c جبر (B(Hباشد در این صورت تابع یکتای
Ф: C(spectrum( T) )→В(H)
را حسابان تابعی پیوسته گوییم که دارای ویژگی های زیر میباشد:
الف: Φ خطی است
Φ(λf+g)=λΦ(f)+Φ(g)
λ=اسکالر
ب: Φ ضربی است
Φ(fg)=Φ(f)Φ(g)
ت: اگر 'f مزدوج f باشد داریم:
Φ(f')=Φ(f)*
پ: فرض کنیم 1 تابع ثابت یک، و i عملگر همانی باشد داریم:
Φ(1)=i
اگر j: Spectrum(T)→C یک نگاشت شمول باشد آنگاه داریم:
Φ(j)=T
حسابان تابعی پیوسته (Continuious Functional calculus)
فرض کنیم x عضو نرمالی از *c جبر A باشد. [A[x نیز *c زیر جبر تولید شده تویط عضو x باشد. در این صورت فضای ایده آل ماکسیمال [A[x (که متشکل از تابعک های خطی ضربی بر [A[x میباشد) را با (σ(x یکی میگیریم.نسبت به این یکی سازی تبدیل گلفند
Ф: A[x]→C(σ(x))
یک *c یکریختی پوشاست.
فرض کنیم x عضو نرمال از یک *c جبر A باشد در این صورت حسابان تابعی پیوسته را به صورت زیر تعریف میکنیم:
Φ: A[x]→C(σ(x))
که دارای ویژگی های زیر میباشد:
الف: Ф یک *c یکریختی پوشاست
ب: برای تمام f های متعلق به
C(σ(x))
داریم:
f(σ(x))= σ(f(x))
فرض کنیم x عضو نرمالی از *c جبر A باشد. [A[x نیز *c زیر جبر تولید شده تویط عضو x باشد. در این صورت فضای ایده آل ماکسیمال [A[x (که متشکل از تابعک های خطی ضربی بر [A[x میباشد) را با (σ(x یکی میگیریم.نسبت به این یکی سازی تبدیل گلفند
Ф: A[x]→C(σ(x))
یک *c یکریختی پوشاست.
فرض کنیم x عضو نرمال از یک *c جبر A باشد در این صورت حسابان تابعی پیوسته را به صورت زیر تعریف میکنیم:
Φ: A[x]→C(σ(x))
که دارای ویژگی های زیر میباشد:
الف: Ф یک *c یکریختی پوشاست
ب: برای تمام f های متعلق به
C(σ(x))
داریم:
f(σ(x))= σ(f(x))
نکاتی از آنالیز
۱-دنباله xⁿ را در فضای نرمدار X همگرای قوی به x نامیم هرگاه:
Limll xⁿ - x ll=0
۲ - دنباله xⁿ را در فضای نرمدار X همگرای ضعیف به x نامیم هرگاه برای هر تابعک خطی کراندار
f: X→R
داشته باشیم:
Limll f(xⁿ ) -f( x )ll=0
۳-فرض کنیم xⁿ دنباله ای در فضای نرمدار X باشد داریم:
الف: همگرایی قوی xⁿ به x، همگرایی ضعیف xⁿ را نتیجه میدهد
ب: عکس الف در حالت کلی درست نیست
پ: اگر بعد فضای نرمدار X متناهی
باشد آنگاه همگرایی ضعیف xⁿ ،همگرایی قوی xⁿ را نتیجه میدهد
ت: اگر دنباله xⁿبه طور ضعیف همگرا باشد آنگاه این حد منحصر به فرد میباشد
م: اگر دنباله xⁿبه طور ضعیف همگرا باشد آنگاه xⁿ کراندار میباشد
۴-بنا به قسمت پ نکته ۱ در Rⁿ, Cⁿ همگرایی قوی و همگرایی ضعیف بی معناست و فقط همگرایی قوی را داریم.
۱-دنباله xⁿ را در فضای نرمدار X همگرای قوی به x نامیم هرگاه:
Limll xⁿ - x ll=0
۲ - دنباله xⁿ را در فضای نرمدار X همگرای ضعیف به x نامیم هرگاه برای هر تابعک خطی کراندار
f: X→R
داشته باشیم:
Limll f(xⁿ ) -f( x )ll=0
۳-فرض کنیم xⁿ دنباله ای در فضای نرمدار X باشد داریم:
الف: همگرایی قوی xⁿ به x، همگرایی ضعیف xⁿ را نتیجه میدهد
ب: عکس الف در حالت کلی درست نیست
پ: اگر بعد فضای نرمدار X متناهی
باشد آنگاه همگرایی ضعیف xⁿ ،همگرایی قوی xⁿ را نتیجه میدهد
ت: اگر دنباله xⁿبه طور ضعیف همگرا باشد آنگاه این حد منحصر به فرد میباشد
م: اگر دنباله xⁿبه طور ضعیف همگرا باشد آنگاه xⁿ کراندار میباشد
۴-بنا به قسمت پ نکته ۱ در Rⁿ, Cⁿ همگرایی قوی و همگرایی ضعیف بی معناست و فقط همگرایی قوی را داریم.
نکاتی از عملگرها
۱ -فرض کنیم H یک فضای هیلبرت و T: H→H یک عملگر باشد
(نماد ㄷ را برای زیرمجموعه بودن به کار میبریم)
بافرضیات بالا داریم:
الف: T را متقارن نامیم هرگاه
T ㄷ T** ㄷ T*
ب: T را متقارن بسته نامیم هرگاه
T = T** ㄷ T*
ث: T را اساسأ خودالحاق نامیم هرگاه
T ㄷ T** = T*
پ: T را خودالحاق نامیم هرگاه
T = T** = T*
۲ -اگر T کراندار باشد الف و پ با هم معادل میگردند
۳ -قسمت الف نکته ۱ معادل است با:
(Tx,y)=(x,Ty)
۱ -فرض کنیم H یک فضای هیلبرت و T: H→H یک عملگر باشد
(نماد ㄷ را برای زیرمجموعه بودن به کار میبریم)
بافرضیات بالا داریم:
الف: T را متقارن نامیم هرگاه
T ㄷ T** ㄷ T*
ب: T را متقارن بسته نامیم هرگاه
T = T** ㄷ T*
ث: T را اساسأ خودالحاق نامیم هرگاه
T ㄷ T** = T*
پ: T را خودالحاق نامیم هرگاه
T = T** = T*
۲ -اگر T کراندار باشد الف و پ با هم معادل میگردند
۳ -قسمت الف نکته ۱ معادل است با:
(Tx,y)=(x,Ty)
اگر مجموعه A زیر مجموعه ای از اعداد حقیقی بوده و برای هر عضو a از A داشته باشیم:
a ≤ M
آنگاه:
Sup A ≤ M
2 -سوپریموم، اینفیموم، ماکسیموم و مینیموم برای اعداد مختلط تعریف نمیشوند
۳ -اگر A و B دو زیرمجموعه غیر خالی از اعداد حقیقی باشند به طوری که A زیر مجموعه B باشد و B نیز از بالا کراندار باشد آنگاه:
Sup A ≤ Sup B
a ≤ M
آنگاه:
Sup A ≤ M
2 -سوپریموم، اینفیموم، ماکسیموم و مینیموم برای اعداد مختلط تعریف نمیشوند
۳ -اگر A و B دو زیرمجموعه غیر خالی از اعداد حقیقی باشند به طوری که A زیر مجموعه B باشد و B نیز از بالا کراندار باشد آنگاه:
Sup A ≤ Sup B
نکاتی در مورد همگرایی دنباله
۱ -هر دنباله از عداد حقیقی حداکثر یک حد دارد
۲ -در فضای هاسدورف حد هر دنباله یکتاست
۳ -در فضای T¹ ممکن است یک دنباله به تمام نقاط فضا همگرا باشد
۴ -نکته ۳ نشان میدهد در فضای غیر هاسدورف الزاما حد یکتا نیست
۵ -هر دنباله حقیقی یکنوای کراندار، همگراست
۶ -هر دنباله همگرا ، کراندار است
۷-هر دنباله کوشی با یک زیر دنباله همگرا، همگراست
۸ -گوییم x یک نقطه حدی دنباله xⁿ است اگر و تنها اگر زیر دنباله ای از این دنباله موجود باشد که به x همگرا باشد
۹ -هر دنباله کراندار در R دارای زیر دنباله ای همگراست
۱۰ -هر دنباله کوشی الزاما کراندار است
۱۱ -هر دنباله همگرا یک دنباله کوشی است
۱۲ -در فضای متریک گسسته ، کوشی و همگرا بودن معادلند
۱۳ -در Rⁿ,Cⁿ کوشی و همگرا بودن معادلند
۱۴ -بنا به ۱۳ دنباله حقیقی xⁿ همگراست اگر و تنها اگر کوشی باشد
۱۵ -دنباله xⁿ به x همگراست اگر وتنها اگر هر زیردنباله آن به x همگرا باشد
۱۶ -هر دنباله از اعداد حقیقی دارای زیر دنباله ای یکنوا است
۱۷ -اگر نقطه حدی یک دنباله را با اعضای دنباله در یک مجموعه قرار دهیم، مجموعه حاصل یک مجموعه فشرده میباشد
۱۸ -در یک فضای متریک هر دنباله با برد متناهی، حداقل یک زیر دنباله همگرا دارد
۱۹ - اگر Q را با متر اقلیدسی مجهز کنیم در این صورت مجموعه حدود زیر دنباله ای Q برابر Q میباشد
۲۰ - اگر R را با متر اقلیدسی مجهز کنیم در این صورت مجموعه حدود زیر دنباله ای Q برابر R میباشد
۲۱ - اگر [۰،۱] را با متر اقلیدسی مجهز کنیم، در این صورت در این فضا هر دنباله با یک زیر دنباله همگرا، همگرا میباشد
۲۲ -فشردگی یک فضای متریک معادل است با اینکه هر دنباله در این فضا دارای زیر دنباله همگرا باشد
۱ -هر دنباله از عداد حقیقی حداکثر یک حد دارد
۲ -در فضای هاسدورف حد هر دنباله یکتاست
۳ -در فضای T¹ ممکن است یک دنباله به تمام نقاط فضا همگرا باشد
۴ -نکته ۳ نشان میدهد در فضای غیر هاسدورف الزاما حد یکتا نیست
۵ -هر دنباله حقیقی یکنوای کراندار، همگراست
۶ -هر دنباله همگرا ، کراندار است
۷-هر دنباله کوشی با یک زیر دنباله همگرا، همگراست
۸ -گوییم x یک نقطه حدی دنباله xⁿ است اگر و تنها اگر زیر دنباله ای از این دنباله موجود باشد که به x همگرا باشد
۹ -هر دنباله کراندار در R دارای زیر دنباله ای همگراست
۱۰ -هر دنباله کوشی الزاما کراندار است
۱۱ -هر دنباله همگرا یک دنباله کوشی است
۱۲ -در فضای متریک گسسته ، کوشی و همگرا بودن معادلند
۱۳ -در Rⁿ,Cⁿ کوشی و همگرا بودن معادلند
۱۴ -بنا به ۱۳ دنباله حقیقی xⁿ همگراست اگر و تنها اگر کوشی باشد
۱۵ -دنباله xⁿ به x همگراست اگر وتنها اگر هر زیردنباله آن به x همگرا باشد
۱۶ -هر دنباله از اعداد حقیقی دارای زیر دنباله ای یکنوا است
۱۷ -اگر نقطه حدی یک دنباله را با اعضای دنباله در یک مجموعه قرار دهیم، مجموعه حاصل یک مجموعه فشرده میباشد
۱۸ -در یک فضای متریک هر دنباله با برد متناهی، حداقل یک زیر دنباله همگرا دارد
۱۹ - اگر Q را با متر اقلیدسی مجهز کنیم در این صورت مجموعه حدود زیر دنباله ای Q برابر Q میباشد
۲۰ - اگر R را با متر اقلیدسی مجهز کنیم در این صورت مجموعه حدود زیر دنباله ای Q برابر R میباشد
۲۱ - اگر [۰،۱] را با متر اقلیدسی مجهز کنیم، در این صورت در این فضا هر دنباله با یک زیر دنباله همگرا، همگرا میباشد
۲۲ -فشردگی یک فضای متریک معادل است با اینکه هر دنباله در این فضا دارای زیر دنباله همگرا باشد
فضای بازتابی
فرض کنیم Y یک فضای نرمدار باشد، هر بردار y از Y موجب پیدایش یک تابعک خطی پیوسته ў روی *Y به فرم زیر میگردد:
ў: Y* → R
ў(F)=F(y)
بنابر این ў پیوسته و متعلق به **Y
میباشد.
(تعریف میکنیم *Y را دوگان Y، و **Y را دوگان دوم Y)
بعلاوه نگاشت
i: Y→i[Y]
i(y)=ў
یک یکریختی طولپاست که [i[Y یک زیرفضای **Y میباشد.
اگر Y باناخ باشد آنگاه [i[Y یک زیرفضای بسته **Y میباشد.
نگاشت i از Y به توی **Y را نشاننده طبیعی نامیم.
یک فضای نرمدار Y یک فضای بازتابی نامیده میشود أگر نشاننده طبیعی که در بالا معرفی شد پوشا باشد یعنی
i[Y]=Y
فرض کنیم Y یک فضای نرمدار باشد، هر بردار y از Y موجب پیدایش یک تابعک خطی پیوسته ў روی *Y به فرم زیر میگردد:
ў: Y* → R
ў(F)=F(y)
بنابر این ў پیوسته و متعلق به **Y
میباشد.
(تعریف میکنیم *Y را دوگان Y، و **Y را دوگان دوم Y)
بعلاوه نگاشت
i: Y→i[Y]
i(y)=ў
یک یکریختی طولپاست که [i[Y یک زیرفضای **Y میباشد.
اگر Y باناخ باشد آنگاه [i[Y یک زیرفضای بسته **Y میباشد.
نگاشت i از Y به توی **Y را نشاننده طبیعی نامیم.
یک فضای نرمدار Y یک فضای بازتابی نامیده میشود أگر نشاننده طبیعی که در بالا معرفی شد پوشا باشد یعنی
i[Y]=Y
نکاتی از آنالیز
۱ -فضای نرمدار مختلط H را یک فضای پیش هیلبرت نامند هرگاه بتوان نرم آن را از یک ضرب داخلی روی H به دست آید
۲ -اگر H نسبت به این نرم کامل باشد، در این صورت H را یک فضای هیلبرت نامند
۳ -فضاهای هیلبرت رده خاصی از فضاهای باناخ است
۴ -فضای نرمدار مختلط H را یک فضای پیش هیلبرت نامیم اگر وتنها اگر در قانون متوازی الاضلاع صدق کند
۵ -هر فضای هیلبرت در قانون متوازی الاضلاع صدق میکند
۶ -عکس ۵ الزاما برقرار نیست
۱ -فضای نرمدار مختلط H را یک فضای پیش هیلبرت نامند هرگاه بتوان نرم آن را از یک ضرب داخلی روی H به دست آید
۲ -اگر H نسبت به این نرم کامل باشد، در این صورت H را یک فضای هیلبرت نامند
۳ -فضاهای هیلبرت رده خاصی از فضاهای باناخ است
۴ -فضای نرمدار مختلط H را یک فضای پیش هیلبرت نامیم اگر وتنها اگر در قانون متوازی الاضلاع صدق کند
۵ -هر فضای هیلبرت در قانون متوازی الاضلاع صدق میکند
۶ -عکس ۵ الزاما برقرار نیست
نکاتی از آنالیز
1 -فرض کنیم X,Y دو فضای برداری باشند عملگر T: X→Y را یکریختی گوییم هرگاه T خطی، یک به یک و پوشا باشد
۲ -فرض کنیم X,Y دو جبر باناخ باشند عملگر T: X→Y را یکریختی گوییم هرگاه T خطی، ضربی، یک به یک و پوشا باشد
۳ -فرض کنیم X,Y دو فضای برداری باشند عملگر T: X→Y را هومئومورفیسم گوییم هرگاه T ، یک به یک و پوشا و پیوسته باشد و وارون T نیز باید پیوسته باشد
1 -فرض کنیم X,Y دو فضای برداری باشند عملگر T: X→Y را یکریختی گوییم هرگاه T خطی، یک به یک و پوشا باشد
۲ -فرض کنیم X,Y دو جبر باناخ باشند عملگر T: X→Y را یکریختی گوییم هرگاه T خطی، ضربی، یک به یک و پوشا باشد
۳ -فرض کنیم X,Y دو فضای برداری باشند عملگر T: X→Y را هومئومورفیسم گوییم هرگاه T ، یک به یک و پوشا و پیوسته باشد و وارون T نیز باید پیوسته باشد
نکاتی از آنالیز
1 -فرض کنیم X,Y دو فضای برداری باشند عملگر T: X→Y را یکریختی گوییم هرگاه T خطی، یک به یک و پوشا باشد
۲ -فرض کنیم X,Y دو فضای نرمدار باشند عملگر T: X→Y را یکریختی طولپا گوییم هرگاه T خطی، حافظ نرم و پوشا باشد
۳-فرض کنیم X,Y دو فضای ضرب داخلی باشند عملگر T: X→Y را یکریختی توپولوژیکی یا هومئومورفیسم خطی گوییم هرگاه T خطی، یک به یک، پوشا، پیوسته و وارون پذیر باشد
۴ -فرض کنیم X,Y دو فضای توپولوژیک باشند تابع f: X→Y را هومئومورفیسم گوییم هرگاه f، یک به یک، پوشا و پیوسته باشد در ضمن وارون T نیز باید پیوسته باشد
۵ -فرض کنیم X,Y دو فضای ضرب داخلی باشند عملگر T: X→Y را unitary گوییم هرگاه T یکریختی و حافظ ضرب داخلی باشد
۶ -فرض کنیم X,Y دو جبر باناخ باشند عملگر T: X→Y را یکریختی گوییم هرگاه T خطی، ضربی، یک به یک و پوشا باشد
۷-هر نگاشت طولپا یک به یک، پیوسته و پیوسته یکنواخت میباشد و در شرط لیپشیتس نیز صدق میکند
1 -فرض کنیم X,Y دو فضای برداری باشند عملگر T: X→Y را یکریختی گوییم هرگاه T خطی، یک به یک و پوشا باشد
۲ -فرض کنیم X,Y دو فضای نرمدار باشند عملگر T: X→Y را یکریختی طولپا گوییم هرگاه T خطی، حافظ نرم و پوشا باشد
۳-فرض کنیم X,Y دو فضای ضرب داخلی باشند عملگر T: X→Y را یکریختی توپولوژیکی یا هومئومورفیسم خطی گوییم هرگاه T خطی، یک به یک، پوشا، پیوسته و وارون پذیر باشد
۴ -فرض کنیم X,Y دو فضای توپولوژیک باشند تابع f: X→Y را هومئومورفیسم گوییم هرگاه f، یک به یک، پوشا و پیوسته باشد در ضمن وارون T نیز باید پیوسته باشد
۵ -فرض کنیم X,Y دو فضای ضرب داخلی باشند عملگر T: X→Y را unitary گوییم هرگاه T یکریختی و حافظ ضرب داخلی باشد
۶ -فرض کنیم X,Y دو جبر باناخ باشند عملگر T: X→Y را یکریختی گوییم هرگاه T خطی، ضربی، یک به یک و پوشا باشد
۷-هر نگاشت طولپا یک به یک، پیوسته و پیوسته یکنواخت میباشد و در شرط لیپشیتس نیز صدق میکند
هم پیوستگی یا یکسان پیوستگی (equicontinuous)
فرض کنیم X یک فضای توپولوژیک و S زیر مجموعه (C(X باشد.گویم مجموعه S در نقطه a از X هم پیوسته است هرگاه به ازای هر ξ>0 یک همسایگی a مانند V موجود باشد به طوری که برای هر f متعلق به S، رابطه b متعلق به V مستلزم رابطه زیر باشد:
lf(b)-f(a)l< ξ
اگر S در هر نقطه X هم پیوسته باشد S را مجموعه هم پیوسته نامیم.
اگر (X,d) یک فضای متریک فشرده و A زیر مجموعه هم پیوسته (C(X باشد آنگاه A به طور یکنواخت هم پیوسته است
فرض کنیم X یک فضای توپولوژیک و S زیر مجموعه (C(X باشد.گویم مجموعه S در نقطه a از X هم پیوسته است هرگاه به ازای هر ξ>0 یک همسایگی a مانند V موجود باشد به طوری که برای هر f متعلق به S، رابطه b متعلق به V مستلزم رابطه زیر باشد:
lf(b)-f(a)l< ξ
اگر S در هر نقطه X هم پیوسته باشد S را مجموعه هم پیوسته نامیم.
اگر (X,d) یک فضای متریک فشرده و A زیر مجموعه هم پیوسته (C(X باشد آنگاه A به طور یکنواخت هم پیوسته است
هر مجموعه اندازه پذیر برل اندازه پذیر لبگ است ولی عکسش لزوما برقرار نمیباشد.
اعضای سیگما جبر برل مجموعه های بازند و هر عضو (a,b) از سیگما جبر برل را می توانیم به صورت اجتماع شمارا از بازه هایی به شکل زیر نوشت:
[a + 1/k , b)
که عضوی از سیگما جبر لبگ میباشد. لذا هر عضو سیگما جبر برل یک عضو سیگما جبر لبگ است.
بنابراین وقتی برای یک مجموعه X سیگما جبر برل و سیگماجبر لبگ را تشکیل میدهیم هر عضو سیگما جبر برل که یک مجموعه باز میباشد خواه ناخواه در سیگما جبر لبگ قرار میگیرد ولی اعضایی در سیگما جبر لبگ موجودند که مجموعه ای باز نمیباشند لذا در سیگما جبر برل قرار نمیگیرند.
به عبارت دیگر چون تعداد اعضای سیگما جبر لبگ از تعداد اعضای سیگما جبر برل بیشتر است حداقل یک عضو در سیگما جبر لبگ میباشد که آن عضو در سیگما جبر برل نمیباشد.
اعضای سیگما جبر برل مجموعه های بازند و هر عضو (a,b) از سیگما جبر برل را می توانیم به صورت اجتماع شمارا از بازه هایی به شکل زیر نوشت:
[a + 1/k , b)
که عضوی از سیگما جبر لبگ میباشد. لذا هر عضو سیگما جبر برل یک عضو سیگما جبر لبگ است.
بنابراین وقتی برای یک مجموعه X سیگما جبر برل و سیگماجبر لبگ را تشکیل میدهیم هر عضو سیگما جبر برل که یک مجموعه باز میباشد خواه ناخواه در سیگما جبر لبگ قرار میگیرد ولی اعضایی در سیگما جبر لبگ موجودند که مجموعه ای باز نمیباشند لذا در سیگما جبر برل قرار نمیگیرند.
به عبارت دیگر چون تعداد اعضای سیگما جبر لبگ از تعداد اعضای سیگما جبر برل بیشتر است حداقل یک عضو در سیگما جبر لبگ میباشد که آن عضو در سیگما جبر برل نمیباشد.
نکاتی از آنالیز
۱ -فرض کنیم н, ңدو فضای هیلبرت باشند (B(н, ң را فضای عملگرهای خطی و کراندار
T: н→ң
تعریف میکنیم.
۲ -توپولوژی های روی (B(н, ң را به صورت زیر تعریف میکنیم:
الف: توپولوژی نرم یا توپولوژی یکنواخت:
توپولوژی ای است که به وسیله عملگر نرم تولید میگردد.
همگرایی دنباله Tⁿ به عملگر T به صورت زیر تعریف میگردد:
Tⁿ →T
اگر وتنها اگر
Lim ll Tⁿ - T ll=Lim[ Sup { ll( Tⁿ - T ) x / ll x ll≤ 1 } ]→ 0
ب: توپولوژی قوی:
توپولوژی قوی عملگرها توسط خانواده ای از نیم نرم های به فرم زیر تولید میگردد:
Лҳ =ll T(x) ll
همگرایی دنباله Tⁿ به عملگر T در این توپولوژی به صورت زیر تعریف میگردد:
Tⁿ→T اگروتنهااگر ll(Tⁿ - T)xll→ 0
پ: توپولوژی ضعیف:
این توپولوژی توسط خانواده ای از نیم نرم های به فرم زیر تولید میگردد:
Лҳ,ү = l( Tx, y) l
همگرایی دنباله Tⁿ به عملگر T در این توپولوژی به صورت زیر
تعریف میگردد:
Tⁿ→T
اگر و تنها اگر
l(Tⁿx,y)-(Tx,y)l→0
۳ -اگر فضای (B(н, ң را به هر سه توپولوژی بالا که بیان کردم مجهز کنیم یک فضای باناخ به دست میاید
۱ -فرض کنیم н, ңدو فضای هیلبرت باشند (B(н, ң را فضای عملگرهای خطی و کراندار
T: н→ң
تعریف میکنیم.
۲ -توپولوژی های روی (B(н, ң را به صورت زیر تعریف میکنیم:
الف: توپولوژی نرم یا توپولوژی یکنواخت:
توپولوژی ای است که به وسیله عملگر نرم تولید میگردد.
همگرایی دنباله Tⁿ به عملگر T به صورت زیر تعریف میگردد:
Tⁿ →T
اگر وتنها اگر
Lim ll Tⁿ - T ll=Lim[ Sup { ll( Tⁿ - T ) x / ll x ll≤ 1 } ]→ 0
ب: توپولوژی قوی:
توپولوژی قوی عملگرها توسط خانواده ای از نیم نرم های به فرم زیر تولید میگردد:
Лҳ =ll T(x) ll
همگرایی دنباله Tⁿ به عملگر T در این توپولوژی به صورت زیر تعریف میگردد:
Tⁿ→T اگروتنهااگر ll(Tⁿ - T)xll→ 0
پ: توپولوژی ضعیف:
این توپولوژی توسط خانواده ای از نیم نرم های به فرم زیر تولید میگردد:
Лҳ,ү = l( Tx, y) l
همگرایی دنباله Tⁿ به عملگر T در این توپولوژی به صورت زیر
تعریف میگردد:
Tⁿ→T
اگر و تنها اگر
l(Tⁿx,y)-(Tx,y)l→0
۳ -اگر فضای (B(н, ң را به هر سه توپولوژی بالا که بیان کردم مجهز کنیم یک فضای باناخ به دست میاید
نکاتی در مورد:
توپولوژی نرم (توپولوژی قوی یا توپولوژی اصلی)، توپولوژی ضعیف، توپولوژی ضعیف ستاره
فرض کنیم X یک مجموعه و Л خانواده ای از توابع از X به توی فضای توپولوژیکی Y باشد توپولوژی ضعیف بر X که توسط Л القا می شود کوچکترین توپولوژی بر X است که هر عضو Л را پیوسته می سازد
۲-اگر ما X را با توپولوژی گسسته مجهز کنیم بزرگترین (قویترین) توپولوژی به دست می آید
۳- سه توپولوژی روی *x (دوگان x) به صورت زیر تعریف میکنیم:
الف: توپولوژی نرم (یا توپولوژی اصلی یا توپولوژی قوی عملگرها )
در قسمت الف منظور از همگرایی قوی همان همگرایی نرم است که به صورت زیر میباشد:
fⁿ→f
اگر وتنها اگر
ll fⁿ-fll→0
یعنی
Sup { lfⁿ(x) - f(x)l / llxll≤1 } →0
( توجه کنید fⁿ دنباله ای از تابعکها روی *x میباشد)
ب: توپولوژی ضعیف ستاره:
توپولوژی ضعیف ستاره برابر است با گردایه همه تابعک های خطی مانند f اندیس a است که روی *x تعریف میشوند ( a متعلق به x است )
همگرایی ضعیف ستاره به صورت زير میباشد:
fⁿ→f
اگر وتنها اگر برای هر a عضو x
l fⁿ(a) - f(a)l→0
ج: توپولوژی ضعیف:
توپولوژی ضعیف برابر است با گردایه تمام تابعک های خطی روی *x که به صورت f اندیس a ( که a عضوی از **x میباشد)
همگرایی در توپولوژی ضعیف به صورت زیر میباشد:
fⁿ→f
اگر وتنها اگر برای هر a عضو **x
l fⁿ(a) - f(a)l→0
4-توپولوژی ضعیف و توپولوژی ضعیف ستاره هاسدورف اند
۵-اگر فضای باناخ X متناهی البعد باشد توپولوژی ضعیف و معمولی یکی اند
۶-وقتی که بیان میشود یک توپولوژی از توپولوژی دیگر ضعیف تر است یعنی تعداد مجموعه های باز کمتری دارد
۷-اگر فضای باناخ X با بعد نامتناهی باشد آنگاه مجموعه های باز و بسته در توپولوژی ضعیف در توپولوژی قوی نیز باز بسته اند ولی عکس بالا برقرار نیست
۸-در هر فضای نامتناهی البعد توپولوژی ضعیف اکیدا کوچکتر از توپولوژی قوی است
۹-هر مجموعه که با توپولوژی ضعیف بسته باشد با توپولوژی قوی نیز بسته است اما عکس این مطلب در فضای نامتناهی البعد برقرار نیست ولی برای مجموعه های محدب بسته بودن با توپولوژی قوی با بسته بودن با توپولوژی ضعیف یکی است
فضای نرمدار X اگر با بعد متناهی باشد آنگاه توپولوژی نرم و توپولوژی ضعیف یکی میشوندـ
اگر فضای نرمدار X با بعد نامتناهی باشد آنگاه توپولوژی ضعیف اکیدا کوچکتر از توپولوژی نرم است
یعنی مجموعه های باز ( بسته) ای در توپولوژی نرم موجودند که در توپولوژی ضعیف باز( بسته)نیستند
ولی اگر این مجموعه های باز ( بسته) ای که در توپولوژی نرم موجودند محدب باشند آنگاه در توپولوژی ضعیف باز( بسته)هستند
توپولوژی نرم (توپولوژی قوی یا توپولوژی اصلی)، توپولوژی ضعیف، توپولوژی ضعیف ستاره
فرض کنیم X یک مجموعه و Л خانواده ای از توابع از X به توی فضای توپولوژیکی Y باشد توپولوژی ضعیف بر X که توسط Л القا می شود کوچکترین توپولوژی بر X است که هر عضو Л را پیوسته می سازد
۲-اگر ما X را با توپولوژی گسسته مجهز کنیم بزرگترین (قویترین) توپولوژی به دست می آید
۳- سه توپولوژی روی *x (دوگان x) به صورت زیر تعریف میکنیم:
الف: توپولوژی نرم (یا توپولوژی اصلی یا توپولوژی قوی عملگرها )
در قسمت الف منظور از همگرایی قوی همان همگرایی نرم است که به صورت زیر میباشد:
fⁿ→f
اگر وتنها اگر
ll fⁿ-fll→0
یعنی
Sup { lfⁿ(x) - f(x)l / llxll≤1 } →0
( توجه کنید fⁿ دنباله ای از تابعکها روی *x میباشد)
ب: توپولوژی ضعیف ستاره:
توپولوژی ضعیف ستاره برابر است با گردایه همه تابعک های خطی مانند f اندیس a است که روی *x تعریف میشوند ( a متعلق به x است )
همگرایی ضعیف ستاره به صورت زير میباشد:
fⁿ→f
اگر وتنها اگر برای هر a عضو x
l fⁿ(a) - f(a)l→0
ج: توپولوژی ضعیف:
توپولوژی ضعیف برابر است با گردایه تمام تابعک های خطی روی *x که به صورت f اندیس a ( که a عضوی از **x میباشد)
همگرایی در توپولوژی ضعیف به صورت زیر میباشد:
fⁿ→f
اگر وتنها اگر برای هر a عضو **x
l fⁿ(a) - f(a)l→0
4-توپولوژی ضعیف و توپولوژی ضعیف ستاره هاسدورف اند
۵-اگر فضای باناخ X متناهی البعد باشد توپولوژی ضعیف و معمولی یکی اند
۶-وقتی که بیان میشود یک توپولوژی از توپولوژی دیگر ضعیف تر است یعنی تعداد مجموعه های باز کمتری دارد
۷-اگر فضای باناخ X با بعد نامتناهی باشد آنگاه مجموعه های باز و بسته در توپولوژی ضعیف در توپولوژی قوی نیز باز بسته اند ولی عکس بالا برقرار نیست
۸-در هر فضای نامتناهی البعد توپولوژی ضعیف اکیدا کوچکتر از توپولوژی قوی است
۹-هر مجموعه که با توپولوژی ضعیف بسته باشد با توپولوژی قوی نیز بسته است اما عکس این مطلب در فضای نامتناهی البعد برقرار نیست ولی برای مجموعه های محدب بسته بودن با توپولوژی قوی با بسته بودن با توپولوژی ضعیف یکی است
فضای نرمدار X اگر با بعد متناهی باشد آنگاه توپولوژی نرم و توپولوژی ضعیف یکی میشوندـ
اگر فضای نرمدار X با بعد نامتناهی باشد آنگاه توپولوژی ضعیف اکیدا کوچکتر از توپولوژی نرم است
یعنی مجموعه های باز ( بسته) ای در توپولوژی نرم موجودند که در توپولوژی ضعیف باز( بسته)نیستند
ولی اگر این مجموعه های باز ( بسته) ای که در توپولوژی نرم موجودند محدب باشند آنگاه در توپولوژی ضعیف باز( بسته)هستند
اندازه لبگ و اندازه برل
1-اندازه لبگ یه تابع است که دامنه آن نیم حلقه (این نیم حلقه یک مجموعه است که شامل تهی و بازه های نیم باز است) و برد این تابع هم زیر مجموعه ای از اعداد حقیقی نامنفی است. ضابطه تابع هم به این صورت است که تهی را به صفر میبرد و هر بازه را به طول بازه میبرد.
حالا شما میتونید این تابع را روی مجموعه شامل R و تهی که یک سیگما جبر است بسط بدید
یا اصلا این نیم حلقه را میتونید مجموعه شامل حاصل ضرب این نیم بازه ها همراه با تهی در نظر بگیرید در این صورت ضابطه تابع به صورت زیر میشود یعنی تهی را به صفر میبرد و حاصل ضرب نیم بازه ها را به حاصل ضرب طول ها میبرد.
حالا شما میتوانید این تابع را به مجموعه دو عضوی شامل فضای n بعدی R و تهی که یک سیگما جبر است بسط بدید.
۲-فرض کنیم (X, T) یک فضای توپولوژیک باشد، در این صورت کوچکترین سیگما جبر برل مانند K موجود است که تمام عضای T را در بر میگیرد.
در این صورت به جفت (X, K) فضای اندازه برل ، به اعضای K مجموعه های اندازه پذیر برل نامیم.
اکنون یک تابع مانند f از فضای اندازه (X, K) به فضای توپولوژیک (Y, N) تعریف میکنیم با این شرط که هر عضو N را به یک عضو K تصویر کند، در این صورت تابع f را، تابع اندازه پذیر برل نامیم
1-اندازه لبگ یه تابع است که دامنه آن نیم حلقه (این نیم حلقه یک مجموعه است که شامل تهی و بازه های نیم باز است) و برد این تابع هم زیر مجموعه ای از اعداد حقیقی نامنفی است. ضابطه تابع هم به این صورت است که تهی را به صفر میبرد و هر بازه را به طول بازه میبرد.
حالا شما میتونید این تابع را روی مجموعه شامل R و تهی که یک سیگما جبر است بسط بدید
یا اصلا این نیم حلقه را میتونید مجموعه شامل حاصل ضرب این نیم بازه ها همراه با تهی در نظر بگیرید در این صورت ضابطه تابع به صورت زیر میشود یعنی تهی را به صفر میبرد و حاصل ضرب نیم بازه ها را به حاصل ضرب طول ها میبرد.
حالا شما میتوانید این تابع را به مجموعه دو عضوی شامل فضای n بعدی R و تهی که یک سیگما جبر است بسط بدید.
۲-فرض کنیم (X, T) یک فضای توپولوژیک باشد، در این صورت کوچکترین سیگما جبر برل مانند K موجود است که تمام عضای T را در بر میگیرد.
در این صورت به جفت (X, K) فضای اندازه برل ، به اعضای K مجموعه های اندازه پذیر برل نامیم.
اکنون یک تابع مانند f از فضای اندازه (X, K) به فضای توپولوژیک (Y, N) تعریف میکنیم با این شرط که هر عضو N را به یک عضو K تصویر کند، در این صورت تابع f را، تابع اندازه پذیر برل نامیم