Warning:
فرض کنیم X,Y دو فضای نرمدار باشند و T:X→Y یک عملگر خطی باشد در این صورت برای نامگذاری *T هر یک از موارد زیر را به کار میبرند
الف:adjoint T=الحاق T
یا
ب:dual T=دوگان T
یا
ج:transpose T=ترانهاده T
منظورم اینه که این مفاهیم، مفاهیم جدا از هم نییستند
فرض کنیم X,Y دو فضای نرمدار باشند و T:X→Y یک عملگر خطی باشد در این صورت برای نامگذاری *T هر یک از موارد زیر را به کار میبرند
الف:adjoint T=الحاق T
یا
ب:dual T=دوگان T
یا
ج:transpose T=ترانهاده T
منظورم اینه که این مفاهیم، مفاهیم جدا از هم نییستند
نکاتی در مورد جابه جاگر دو عملگر
۱ -جابه جا گر دو عملگر T,S یک عملگر [T , S] است که به صورت زیر تعریف میشود
[T , S] =TS-ST
۲-جابه جا گرها دارای ویژگی های زیر میباشند:
الف: پاد متقارن
[T , S] =- [T , S]
ب: خطی بودن
[aT, bS] =ab [T , S]
[T , S+K] = [T , S] + [T , K]
[T+k , S] = [T , S] + [K , S]
پ: مشتق راست
[TK , S] =T [K , S] + [T , S] K
ث: مشتق چپ
[T , SK] = [T , S] K+ S[T , K]
ت: همانی ژاکوبی
[T , [K , S] ] + [K , [S , T] ] + [S , [T , K] ] =0
۱ -جابه جا گر دو عملگر T,S یک عملگر [T , S] است که به صورت زیر تعریف میشود
[T , S] =TS-ST
۲-جابه جا گرها دارای ویژگی های زیر میباشند:
الف: پاد متقارن
[T , S] =- [T , S]
ب: خطی بودن
[aT, bS] =ab [T , S]
[T , S+K] = [T , S] + [T , K]
[T+k , S] = [T , S] + [K , S]
پ: مشتق راست
[TK , S] =T [K , S] + [T , S] K
ث: مشتق چپ
[T , SK] = [T , S] K+ S[T , K]
ت: همانی ژاکوبی
[T , [K , S] ] + [K , [S , T] ] + [S , [T , K] ] =0
نکاتی از آنالیز
فرض کنیم g تابعی باشد که هر عضو گویا را به صفر، و هر عضو اصم را به صفر تصویر کند در این صورت سوپریموم و سوپریموم اساسی g برابر است:
Sup g(x)=1
ess sup g(x)=0
۲ -مجموعه Eر را پوچ نامیم هرگاه تصویر آن تحت تابع اندازه برونی برابر صفر گردد
۳-هر اجتماع شمارا از مجموعه پوچ، یک مجموعه پوچ است
۴ -نکته ۲ از ویژگی سیگما زیر جمعی اندازه برونی حاصل میشود
۵ -هر مجموعه پوچ یک مجموعه اندازه پذیر است
۵ -ساده ترین مجموعه های اندازه پذیر، مجموعه های پوچ اند
۶ - هر زير مجموعه يك مجموعه پوچ، یک مجوعه پوچ است
فرض کنیم g تابعی باشد که هر عضو گویا را به صفر، و هر عضو اصم را به صفر تصویر کند در این صورت سوپریموم و سوپریموم اساسی g برابر است:
Sup g(x)=1
ess sup g(x)=0
۲ -مجموعه Eر را پوچ نامیم هرگاه تصویر آن تحت تابع اندازه برونی برابر صفر گردد
۳-هر اجتماع شمارا از مجموعه پوچ، یک مجموعه پوچ است
۴ -نکته ۲ از ویژگی سیگما زیر جمعی اندازه برونی حاصل میشود
۵ -هر مجموعه پوچ یک مجموعه اندازه پذیر است
۵ -ساده ترین مجموعه های اندازه پذیر، مجموعه های پوچ اند
۶ - هر زير مجموعه يك مجموعه پوچ، یک مجوعه پوچ است
فضای هاسدورف فضایی است که برای نقاط متمایز، همسایگی های مجزا وجود دارد.
مانند فضای متریک،فضای باناخ، فضای هیلبرت ......که همگی هاسدورع اند
در فضای هاسدورف حد یکتاست.
برای فضاهای دیگر ممکن است حد یکتا نباشد مانند فضای T¹
در فضی T¹ ممکن است دنباله ای به تمام نقاط این فضا همگرا باشد.
بنابراین یکی از دلایل اهمیت این فضا وجود یکتایی حد میباشد
از دیگر ویژگی های فضای هاسدورف این است که هر زیر مجموعه فشرده آن بسته است که ممکن است برای فضاهای دیگر این شرط برقرار نباشد
مانند فضای متریک،فضای باناخ، فضای هیلبرت ......که همگی هاسدورع اند
در فضای هاسدورف حد یکتاست.
برای فضاهای دیگر ممکن است حد یکتا نباشد مانند فضای T¹
در فضی T¹ ممکن است دنباله ای به تمام نقاط این فضا همگرا باشد.
بنابراین یکی از دلایل اهمیت این فضا وجود یکتایی حد میباشد
از دیگر ویژگی های فضای هاسدورف این است که هر زیر مجموعه فشرده آن بسته است که ممکن است برای فضاهای دیگر این شرط برقرار نباشد
نکاتی در مورد تصاویر (projection )
1 -فرض کنیم X فضای برداری باشد نگاشت خطی P: X→X را تصویر گوییم هرگاه
P²=P
2 -فرض کنیم X یک فضای برداری باشد اگر P: X→X یک تصویر باشد آنگاه X برابر است با جمع مستقیم KerP و rang P
3-اگر X جمع مستقیم دو زیرفضای برداری M و N باشد آنگاه تصویر
P: X→X
است که ran P=M و ker P=N
4 -یک تصویر متعامد روی فضای هیلبرت H یک نگاشت خطی که دو شرط زیر صدق میکند
P²=P , P*=P
6 -بین تصاویر متعامد P و زیر فضاهای متعامد M از H که rangP=M تناظر یک به یک موجود است
۷ -اگر P یک تصویر روی فضای هیلبرت H باشد آنگاه
الف: ran P بسته است
ب: H جمع مستقیم Ker P و rang P میباشد
پ: اگر M زیر فضای بسته H باشد آنگاه یک تصویر متعامد P روی M موجود است که
ran P=M , ker P=M'
(منظور از 'M مکمل متعامد M میباشد)
۸ -اگر P تصویر متعامد ناصفر باشد آنگاه
llPll=1
9 -یک تصویر متعامد لزوما کراندار است
1 -فرض کنیم X فضای برداری باشد نگاشت خطی P: X→X را تصویر گوییم هرگاه
P²=P
2 -فرض کنیم X یک فضای برداری باشد اگر P: X→X یک تصویر باشد آنگاه X برابر است با جمع مستقیم KerP و rang P
3-اگر X جمع مستقیم دو زیرفضای برداری M و N باشد آنگاه تصویر
P: X→X
است که ran P=M و ker P=N
4 -یک تصویر متعامد روی فضای هیلبرت H یک نگاشت خطی که دو شرط زیر صدق میکند
P²=P , P*=P
6 -بین تصاویر متعامد P و زیر فضاهای متعامد M از H که rangP=M تناظر یک به یک موجود است
۷ -اگر P یک تصویر روی فضای هیلبرت H باشد آنگاه
الف: ran P بسته است
ب: H جمع مستقیم Ker P و rang P میباشد
پ: اگر M زیر فضای بسته H باشد آنگاه یک تصویر متعامد P روی M موجود است که
ran P=M , ker P=M'
(منظور از 'M مکمل متعامد M میباشد)
۸ -اگر P تصویر متعامد ناصفر باشد آنگاه
llPll=1
9 -یک تصویر متعامد لزوما کراندار است
نکاتی از آنالیز
۱ -ضرب داخلی تابعی توأم پیوسته میباشد
۲ -از نکته یک نتیجه میشود که هر بردار y متعلق به ضرب داخلی X ، تابعک خطی پیوسته ای مانند
f: X→C
f (x)= (x,y)
تعریف میکند
۳ -قضیه نمایش ریس بیان میکند برای فضای هیلبرت H تمام تابعک های خطی کراندار بر H به فرم نکته ۲ میباشند
۴ -قضیه نمایش ریس:
فرض کنیم f: H→C یک تابعک خطی کراندار باشد آنگاه بردار یکتا y در H موجود است که برای هر x در H داریم:
f (x) = (x,y)
4 -در نکته ۳ داریم
ll f ll=sup { lf(x)l / ll x ll ≤ 1}= sup { lf(x)l / ll x ll = 1}= inf { M / lf(x)l ≤ M ll x ll } =ll y ll
۱ -ضرب داخلی تابعی توأم پیوسته میباشد
۲ -از نکته یک نتیجه میشود که هر بردار y متعلق به ضرب داخلی X ، تابعک خطی پیوسته ای مانند
f: X→C
f (x)= (x,y)
تعریف میکند
۳ -قضیه نمایش ریس بیان میکند برای فضای هیلبرت H تمام تابعک های خطی کراندار بر H به فرم نکته ۲ میباشند
۴ -قضیه نمایش ریس:
فرض کنیم f: H→C یک تابعک خطی کراندار باشد آنگاه بردار یکتا y در H موجود است که برای هر x در H داریم:
f (x) = (x,y)
4 -در نکته ۳ داریم
ll f ll=sup { lf(x)l / ll x ll ≤ 1}= sup { lf(x)l / ll x ll = 1}= inf { M / lf(x)l ≤ M ll x ll } =ll y ll
نکاتی از آنالیز
۱ -ضرب داخلی تابعی توأم پیوسته میباشد
۲ -از نکته یک نتیجه میشود که هر بردار y متعلق به ضرب داخلی X ، تابعک خطی پیوسته ای مانند
f: X→C
f (x)= (x,y)
تعریف میکند
۳ -در نکته ۲ اگر X ما فضای هیلبرت H باشد آنگاه تمام تابعک های خطی کراندار بر X به فرم نکته ۲ میباشد که به قضیه نمایش ریس معروف است
۴ -قضیه نمایش ریس:
فرض کنیم f: H→C یک تابعک خطی کراندار باشد آنگاه بردار یکتا y در H موجود است که برای هر x در H داریم:
f (x) = (x,y)
۵ -نرم بردار y نکته ۴ به صورت زیر محاسبه میگردد
ll f ll=sup { lf(x)l / ll x ll ≤ 1}= sup { lf(x)l / ll x ll = 1}= inf { M / lf(x)l ≤ M ll x ll } =ll y ll
۶ -یکی از نتایج قضیه نمایش ریس وجود الحاق یک عملگر کراندار بر فضای هیلبرت H میباشد.
به عبارت دیگر اگر T: H→H یک عملگر خطی کراندار باشد آنگاه عملگر کراندار یکتایی مانند
T*: H→H
موجود است که
(T(x), y)=(x,T*(y)):
۷ -یک عملگر خطب کراندار روی فضای هیلبرت H را عملگر فردهولم(Fredholm Operator) گوییم هرگاه در دو شرط رزیر صدق کند
الف: برد عملگر T بسته باشد
ب: پوچی T و پوچی *T متناهی باشد
۱ -ضرب داخلی تابعی توأم پیوسته میباشد
۲ -از نکته یک نتیجه میشود که هر بردار y متعلق به ضرب داخلی X ، تابعک خطی پیوسته ای مانند
f: X→C
f (x)= (x,y)
تعریف میکند
۳ -در نکته ۲ اگر X ما فضای هیلبرت H باشد آنگاه تمام تابعک های خطی کراندار بر X به فرم نکته ۲ میباشد که به قضیه نمایش ریس معروف است
۴ -قضیه نمایش ریس:
فرض کنیم f: H→C یک تابعک خطی کراندار باشد آنگاه بردار یکتا y در H موجود است که برای هر x در H داریم:
f (x) = (x,y)
۵ -نرم بردار y نکته ۴ به صورت زیر محاسبه میگردد
ll f ll=sup { lf(x)l / ll x ll ≤ 1}= sup { lf(x)l / ll x ll = 1}= inf { M / lf(x)l ≤ M ll x ll } =ll y ll
۶ -یکی از نتایج قضیه نمایش ریس وجود الحاق یک عملگر کراندار بر فضای هیلبرت H میباشد.
به عبارت دیگر اگر T: H→H یک عملگر خطی کراندار باشد آنگاه عملگر کراندار یکتایی مانند
T*: H→H
موجود است که
(T(x), y)=(x,T*(y)):
۷ -یک عملگر خطب کراندار روی فضای هیلبرت H را عملگر فردهولم(Fredholm Operator) گوییم هرگاه در دو شرط رزیر صدق کند
الف: برد عملگر T بسته باشد
ب: پوچی T و پوچی *T متناهی باشد
نکاتی از آنالیز
۱ -ضرب داخلی تابعی توأم پیوسته میباشد
۲ -از نکته یک نتیجه میشود که هر بردار y متعلق به ضرب داخلی X ، تابعک خطی پیوسته ای مانند
f: X→C
f (x)= (x,y)
تعریف میکند
۳ -در نکته ۲ اگر X ما فضای هیلبرت H باشد آنگاه تمام تابعک های خطی کراندار بر X به فرم نکته ۲ میباشد که به قضیه نمایش ریس معروف است
۴ -قضیه نمایش ریس:
فرض کنیم f: H→C یک تابعک خطی کراندار باشد آنگاه بردار یکتا y در H موجود است که برای هر x در H داریم:
f (x) = (x,y)
۵ -نرم بردار y نکته ۴ به صورت زیر محاسبه میگردد
ll f ll=sup { lf(x)l / ll x ll ≤ 1}= sup { lf(x)l / ll x ll = 1}= inf { M / lf(x)l ≤ M ll x ll } =ll y ll
۶ -یکی از نتایج قضیه نمایش ریس وجود الحاق یک عملگر کراندار بر فضای هیلبرت H میباشد.
به عبارت دیگر اگر T: H→H یک عملگر خطی کراندار باشد آنگاه عملگر کراندار یکتایی مانند
T*: H→H
موجود است که
(T(x), y)=(x,T*(y)):
۷ -یک عملگر خطی کراندار روی فضای هیلبرت H را عملگر فردهولم(Fredholm Operator) گوییم هرگاه در دو شرط رزیر صدق کند
الف: ببرد عملگر T بسته باشد
ب: پوچی T و پوچی *T متناهی باشد
۸: اگر T عملگر کراندار و خود الحاق روی فضای هیلبرت H باشد داریم:
ll T ll=sup{ l(x, Tx)l / llxll=1 }
۹ -یک عملگر کراندار T را الحاق کج نامیم هرگاه:
T* = -T
۱ -ضرب داخلی تابعی توأم پیوسته میباشد
۲ -از نکته یک نتیجه میشود که هر بردار y متعلق به ضرب داخلی X ، تابعک خطی پیوسته ای مانند
f: X→C
f (x)= (x,y)
تعریف میکند
۳ -در نکته ۲ اگر X ما فضای هیلبرت H باشد آنگاه تمام تابعک های خطی کراندار بر X به فرم نکته ۲ میباشد که به قضیه نمایش ریس معروف است
۴ -قضیه نمایش ریس:
فرض کنیم f: H→C یک تابعک خطی کراندار باشد آنگاه بردار یکتا y در H موجود است که برای هر x در H داریم:
f (x) = (x,y)
۵ -نرم بردار y نکته ۴ به صورت زیر محاسبه میگردد
ll f ll=sup { lf(x)l / ll x ll ≤ 1}= sup { lf(x)l / ll x ll = 1}= inf { M / lf(x)l ≤ M ll x ll } =ll y ll
۶ -یکی از نتایج قضیه نمایش ریس وجود الحاق یک عملگر کراندار بر فضای هیلبرت H میباشد.
به عبارت دیگر اگر T: H→H یک عملگر خطی کراندار باشد آنگاه عملگر کراندار یکتایی مانند
T*: H→H
موجود است که
(T(x), y)=(x,T*(y)):
۷ -یک عملگر خطی کراندار روی فضای هیلبرت H را عملگر فردهولم(Fredholm Operator) گوییم هرگاه در دو شرط رزیر صدق کند
الف: ببرد عملگر T بسته باشد
ب: پوچی T و پوچی *T متناهی باشد
۸: اگر T عملگر کراندار و خود الحاق روی فضای هیلبرت H باشد داریم:
ll T ll=sup{ l(x, Tx)l / llxll=1 }
۹ -یک عملگر کراندار T را الحاق کج نامیم هرگاه:
T* = -T
۱۰ -فرض کنیم T: X→Y عملگری خطی و کراندار بین دو فضای هیلبرت باشد در این صورت دو عبارت زیر معادل اند
الف: T طولپاست
ب: T*T یک عملگر همانی است
۱۱ -فرض کنیم T: X→Y عملگری خطی و کراندار بین دو فضای هیلبرت باشد در این صورت دو عبارت زیر معادل اند
الف: T هم طولپایی است
ب: *TTیک عملگر همانی است
الف: T طولپاست
ب: T*T یک عملگر همانی است
۱۱ -فرض کنیم T: X→Y عملگری خطی و کراندار بین دو فضای هیلبرت باشد در این صورت دو عبارت زیر معادل اند
الف: T هم طولپایی است
ب: *TTیک عملگر همانی است
حسابان تابعی پیوسته (Continuious Functional calculus)
فرض کنیم T: H→H عضوی از *c جبر (B(Hباشد در این صورت تابع یکتای
Ф: C(spectrum( T) )→В(H)
را حسابان تابعی پیوسته گوییم که دارای ویژگی های زیر میباشد:
الف: Φ خطی است
Φ(λf+g)=λΦ(f)+Φ(g)
λ=اسکالر
ب: Φ ضربی است
Φ(fg)=Φ(f)Φ(g)
ت: اگر 'f مزدوج f باشد داریم:
Φ(f')=Φ(f)*
پ: فرض کنیم 1 تابع ثابت یک، و i عملگر همانی باشد داریم:
Φ(1)=i
اگر j: Spectrum(T)→C یک نگاشت شمول باشد آنگاه داریم:
Φ(j)=T
فرض کنیم T: H→H عضوی از *c جبر (B(Hباشد در این صورت تابع یکتای
Ф: C(spectrum( T) )→В(H)
را حسابان تابعی پیوسته گوییم که دارای ویژگی های زیر میباشد:
الف: Φ خطی است
Φ(λf+g)=λΦ(f)+Φ(g)
λ=اسکالر
ب: Φ ضربی است
Φ(fg)=Φ(f)Φ(g)
ت: اگر 'f مزدوج f باشد داریم:
Φ(f')=Φ(f)*
پ: فرض کنیم 1 تابع ثابت یک، و i عملگر همانی باشد داریم:
Φ(1)=i
اگر j: Spectrum(T)→C یک نگاشت شمول باشد آنگاه داریم:
Φ(j)=T
حسابان تابعی پیوسته (Continuious Functional calculus)
فرض کنیم x عضو نرمالی از *c جبر A باشد. [A[x نیز *c زیر جبر تولید شده تویط عضو x باشد. در این صورت فضای ایده آل ماکسیمال [A[x (که متشکل از تابعک های خطی ضربی بر [A[x میباشد) را با (σ(x یکی میگیریم.نسبت به این یکی سازی تبدیل گلفند
Ф: A[x]→C(σ(x))
یک *c یکریختی پوشاست.
فرض کنیم x عضو نرمال از یک *c جبر A باشد در این صورت حسابان تابعی پیوسته را به صورت زیر تعریف میکنیم:
Φ: A[x]→C(σ(x))
که دارای ویژگی های زیر میباشد:
الف: Ф یک *c یکریختی پوشاست
ب: برای تمام f های متعلق به
C(σ(x))
داریم:
f(σ(x))= σ(f(x))
فرض کنیم x عضو نرمالی از *c جبر A باشد. [A[x نیز *c زیر جبر تولید شده تویط عضو x باشد. در این صورت فضای ایده آل ماکسیمال [A[x (که متشکل از تابعک های خطی ضربی بر [A[x میباشد) را با (σ(x یکی میگیریم.نسبت به این یکی سازی تبدیل گلفند
Ф: A[x]→C(σ(x))
یک *c یکریختی پوشاست.
فرض کنیم x عضو نرمال از یک *c جبر A باشد در این صورت حسابان تابعی پیوسته را به صورت زیر تعریف میکنیم:
Φ: A[x]→C(σ(x))
که دارای ویژگی های زیر میباشد:
الف: Ф یک *c یکریختی پوشاست
ب: برای تمام f های متعلق به
C(σ(x))
داریم:
f(σ(x))= σ(f(x))
نکاتی از آنالیز
۱-دنباله xⁿ را در فضای نرمدار X همگرای قوی به x نامیم هرگاه:
Limll xⁿ - x ll=0
۲ - دنباله xⁿ را در فضای نرمدار X همگرای ضعیف به x نامیم هرگاه برای هر تابعک خطی کراندار
f: X→R
داشته باشیم:
Limll f(xⁿ ) -f( x )ll=0
۳-فرض کنیم xⁿ دنباله ای در فضای نرمدار X باشد داریم:
الف: همگرایی قوی xⁿ به x، همگرایی ضعیف xⁿ را نتیجه میدهد
ب: عکس الف در حالت کلی درست نیست
پ: اگر بعد فضای نرمدار X متناهی
باشد آنگاه همگرایی ضعیف xⁿ ،همگرایی قوی xⁿ را نتیجه میدهد
ت: اگر دنباله xⁿبه طور ضعیف همگرا باشد آنگاه این حد منحصر به فرد میباشد
م: اگر دنباله xⁿبه طور ضعیف همگرا باشد آنگاه xⁿ کراندار میباشد
۴-بنا به قسمت پ نکته ۱ در Rⁿ, Cⁿ همگرایی قوی و همگرایی ضعیف بی معناست و فقط همگرایی قوی را داریم.
۱-دنباله xⁿ را در فضای نرمدار X همگرای قوی به x نامیم هرگاه:
Limll xⁿ - x ll=0
۲ - دنباله xⁿ را در فضای نرمدار X همگرای ضعیف به x نامیم هرگاه برای هر تابعک خطی کراندار
f: X→R
داشته باشیم:
Limll f(xⁿ ) -f( x )ll=0
۳-فرض کنیم xⁿ دنباله ای در فضای نرمدار X باشد داریم:
الف: همگرایی قوی xⁿ به x، همگرایی ضعیف xⁿ را نتیجه میدهد
ب: عکس الف در حالت کلی درست نیست
پ: اگر بعد فضای نرمدار X متناهی
باشد آنگاه همگرایی ضعیف xⁿ ،همگرایی قوی xⁿ را نتیجه میدهد
ت: اگر دنباله xⁿبه طور ضعیف همگرا باشد آنگاه این حد منحصر به فرد میباشد
م: اگر دنباله xⁿبه طور ضعیف همگرا باشد آنگاه xⁿ کراندار میباشد
۴-بنا به قسمت پ نکته ۱ در Rⁿ, Cⁿ همگرایی قوی و همگرایی ضعیف بی معناست و فقط همگرایی قوی را داریم.
نکاتی از عملگرها
۱ -فرض کنیم H یک فضای هیلبرت و T: H→H یک عملگر باشد
(نماد ㄷ را برای زیرمجموعه بودن به کار میبریم)
بافرضیات بالا داریم:
الف: T را متقارن نامیم هرگاه
T ㄷ T** ㄷ T*
ب: T را متقارن بسته نامیم هرگاه
T = T** ㄷ T*
ث: T را اساسأ خودالحاق نامیم هرگاه
T ㄷ T** = T*
پ: T را خودالحاق نامیم هرگاه
T = T** = T*
۲ -اگر T کراندار باشد الف و پ با هم معادل میگردند
۳ -قسمت الف نکته ۱ معادل است با:
(Tx,y)=(x,Ty)
۱ -فرض کنیم H یک فضای هیلبرت و T: H→H یک عملگر باشد
(نماد ㄷ را برای زیرمجموعه بودن به کار میبریم)
بافرضیات بالا داریم:
الف: T را متقارن نامیم هرگاه
T ㄷ T** ㄷ T*
ب: T را متقارن بسته نامیم هرگاه
T = T** ㄷ T*
ث: T را اساسأ خودالحاق نامیم هرگاه
T ㄷ T** = T*
پ: T را خودالحاق نامیم هرگاه
T = T** = T*
۲ -اگر T کراندار باشد الف و پ با هم معادل میگردند
۳ -قسمت الف نکته ۱ معادل است با:
(Tx,y)=(x,Ty)
اگر مجموعه A زیر مجموعه ای از اعداد حقیقی بوده و برای هر عضو a از A داشته باشیم:
a ≤ M
آنگاه:
Sup A ≤ M
2 -سوپریموم، اینفیموم، ماکسیموم و مینیموم برای اعداد مختلط تعریف نمیشوند
۳ -اگر A و B دو زیرمجموعه غیر خالی از اعداد حقیقی باشند به طوری که A زیر مجموعه B باشد و B نیز از بالا کراندار باشد آنگاه:
Sup A ≤ Sup B
a ≤ M
آنگاه:
Sup A ≤ M
2 -سوپریموم، اینفیموم، ماکسیموم و مینیموم برای اعداد مختلط تعریف نمیشوند
۳ -اگر A و B دو زیرمجموعه غیر خالی از اعداد حقیقی باشند به طوری که A زیر مجموعه B باشد و B نیز از بالا کراندار باشد آنگاه:
Sup A ≤ Sup B
نکاتی در مورد همگرایی دنباله
۱ -هر دنباله از عداد حقیقی حداکثر یک حد دارد
۲ -در فضای هاسدورف حد هر دنباله یکتاست
۳ -در فضای T¹ ممکن است یک دنباله به تمام نقاط فضا همگرا باشد
۴ -نکته ۳ نشان میدهد در فضای غیر هاسدورف الزاما حد یکتا نیست
۵ -هر دنباله حقیقی یکنوای کراندار، همگراست
۶ -هر دنباله همگرا ، کراندار است
۷-هر دنباله کوشی با یک زیر دنباله همگرا، همگراست
۸ -گوییم x یک نقطه حدی دنباله xⁿ است اگر و تنها اگر زیر دنباله ای از این دنباله موجود باشد که به x همگرا باشد
۹ -هر دنباله کراندار در R دارای زیر دنباله ای همگراست
۱۰ -هر دنباله کوشی الزاما کراندار است
۱۱ -هر دنباله همگرا یک دنباله کوشی است
۱۲ -در فضای متریک گسسته ، کوشی و همگرا بودن معادلند
۱۳ -در Rⁿ,Cⁿ کوشی و همگرا بودن معادلند
۱۴ -بنا به ۱۳ دنباله حقیقی xⁿ همگراست اگر و تنها اگر کوشی باشد
۱۵ -دنباله xⁿ به x همگراست اگر وتنها اگر هر زیردنباله آن به x همگرا باشد
۱۶ -هر دنباله از اعداد حقیقی دارای زیر دنباله ای یکنوا است
۱۷ -اگر نقطه حدی یک دنباله را با اعضای دنباله در یک مجموعه قرار دهیم، مجموعه حاصل یک مجموعه فشرده میباشد
۱۸ -در یک فضای متریک هر دنباله با برد متناهی، حداقل یک زیر دنباله همگرا دارد
۱۹ - اگر Q را با متر اقلیدسی مجهز کنیم در این صورت مجموعه حدود زیر دنباله ای Q برابر Q میباشد
۲۰ - اگر R را با متر اقلیدسی مجهز کنیم در این صورت مجموعه حدود زیر دنباله ای Q برابر R میباشد
۲۱ - اگر [۰،۱] را با متر اقلیدسی مجهز کنیم، در این صورت در این فضا هر دنباله با یک زیر دنباله همگرا، همگرا میباشد
۲۲ -فشردگی یک فضای متریک معادل است با اینکه هر دنباله در این فضا دارای زیر دنباله همگرا باشد
۱ -هر دنباله از عداد حقیقی حداکثر یک حد دارد
۲ -در فضای هاسدورف حد هر دنباله یکتاست
۳ -در فضای T¹ ممکن است یک دنباله به تمام نقاط فضا همگرا باشد
۴ -نکته ۳ نشان میدهد در فضای غیر هاسدورف الزاما حد یکتا نیست
۵ -هر دنباله حقیقی یکنوای کراندار، همگراست
۶ -هر دنباله همگرا ، کراندار است
۷-هر دنباله کوشی با یک زیر دنباله همگرا، همگراست
۸ -گوییم x یک نقطه حدی دنباله xⁿ است اگر و تنها اگر زیر دنباله ای از این دنباله موجود باشد که به x همگرا باشد
۹ -هر دنباله کراندار در R دارای زیر دنباله ای همگراست
۱۰ -هر دنباله کوشی الزاما کراندار است
۱۱ -هر دنباله همگرا یک دنباله کوشی است
۱۲ -در فضای متریک گسسته ، کوشی و همگرا بودن معادلند
۱۳ -در Rⁿ,Cⁿ کوشی و همگرا بودن معادلند
۱۴ -بنا به ۱۳ دنباله حقیقی xⁿ همگراست اگر و تنها اگر کوشی باشد
۱۵ -دنباله xⁿ به x همگراست اگر وتنها اگر هر زیردنباله آن به x همگرا باشد
۱۶ -هر دنباله از اعداد حقیقی دارای زیر دنباله ای یکنوا است
۱۷ -اگر نقطه حدی یک دنباله را با اعضای دنباله در یک مجموعه قرار دهیم، مجموعه حاصل یک مجموعه فشرده میباشد
۱۸ -در یک فضای متریک هر دنباله با برد متناهی، حداقل یک زیر دنباله همگرا دارد
۱۹ - اگر Q را با متر اقلیدسی مجهز کنیم در این صورت مجموعه حدود زیر دنباله ای Q برابر Q میباشد
۲۰ - اگر R را با متر اقلیدسی مجهز کنیم در این صورت مجموعه حدود زیر دنباله ای Q برابر R میباشد
۲۱ - اگر [۰،۱] را با متر اقلیدسی مجهز کنیم، در این صورت در این فضا هر دنباله با یک زیر دنباله همگرا، همگرا میباشد
۲۲ -فشردگی یک فضای متریک معادل است با اینکه هر دنباله در این فضا دارای زیر دنباله همگرا باشد
فضای بازتابی
فرض کنیم Y یک فضای نرمدار باشد، هر بردار y از Y موجب پیدایش یک تابعک خطی پیوسته ў روی *Y به فرم زیر میگردد:
ў: Y* → R
ў(F)=F(y)
بنابر این ў پیوسته و متعلق به **Y
میباشد.
(تعریف میکنیم *Y را دوگان Y، و **Y را دوگان دوم Y)
بعلاوه نگاشت
i: Y→i[Y]
i(y)=ў
یک یکریختی طولپاست که [i[Y یک زیرفضای **Y میباشد.
اگر Y باناخ باشد آنگاه [i[Y یک زیرفضای بسته **Y میباشد.
نگاشت i از Y به توی **Y را نشاننده طبیعی نامیم.
یک فضای نرمدار Y یک فضای بازتابی نامیده میشود أگر نشاننده طبیعی که در بالا معرفی شد پوشا باشد یعنی
i[Y]=Y
فرض کنیم Y یک فضای نرمدار باشد، هر بردار y از Y موجب پیدایش یک تابعک خطی پیوسته ў روی *Y به فرم زیر میگردد:
ў: Y* → R
ў(F)=F(y)
بنابر این ў پیوسته و متعلق به **Y
میباشد.
(تعریف میکنیم *Y را دوگان Y، و **Y را دوگان دوم Y)
بعلاوه نگاشت
i: Y→i[Y]
i(y)=ў
یک یکریختی طولپاست که [i[Y یک زیرفضای **Y میباشد.
اگر Y باناخ باشد آنگاه [i[Y یک زیرفضای بسته **Y میباشد.
نگاشت i از Y به توی **Y را نشاننده طبیعی نامیم.
یک فضای نرمدار Y یک فضای بازتابی نامیده میشود أگر نشاننده طبیعی که در بالا معرفی شد پوشا باشد یعنی
i[Y]=Y
نکاتی از آنالیز
۱ -فضای نرمدار مختلط H را یک فضای پیش هیلبرت نامند هرگاه بتوان نرم آن را از یک ضرب داخلی روی H به دست آید
۲ -اگر H نسبت به این نرم کامل باشد، در این صورت H را یک فضای هیلبرت نامند
۳ -فضاهای هیلبرت رده خاصی از فضاهای باناخ است
۴ -فضای نرمدار مختلط H را یک فضای پیش هیلبرت نامیم اگر وتنها اگر در قانون متوازی الاضلاع صدق کند
۵ -هر فضای هیلبرت در قانون متوازی الاضلاع صدق میکند
۶ -عکس ۵ الزاما برقرار نیست
۱ -فضای نرمدار مختلط H را یک فضای پیش هیلبرت نامند هرگاه بتوان نرم آن را از یک ضرب داخلی روی H به دست آید
۲ -اگر H نسبت به این نرم کامل باشد، در این صورت H را یک فضای هیلبرت نامند
۳ -فضاهای هیلبرت رده خاصی از فضاهای باناخ است
۴ -فضای نرمدار مختلط H را یک فضای پیش هیلبرت نامیم اگر وتنها اگر در قانون متوازی الاضلاع صدق کند
۵ -هر فضای هیلبرت در قانون متوازی الاضلاع صدق میکند
۶ -عکس ۵ الزاما برقرار نیست
نکاتی از آنالیز
1 -فرض کنیم X,Y دو فضای برداری باشند عملگر T: X→Y را یکریختی گوییم هرگاه T خطی، یک به یک و پوشا باشد
۲ -فرض کنیم X,Y دو جبر باناخ باشند عملگر T: X→Y را یکریختی گوییم هرگاه T خطی، ضربی، یک به یک و پوشا باشد
۳ -فرض کنیم X,Y دو فضای برداری باشند عملگر T: X→Y را هومئومورفیسم گوییم هرگاه T ، یک به یک و پوشا و پیوسته باشد و وارون T نیز باید پیوسته باشد
1 -فرض کنیم X,Y دو فضای برداری باشند عملگر T: X→Y را یکریختی گوییم هرگاه T خطی، یک به یک و پوشا باشد
۲ -فرض کنیم X,Y دو جبر باناخ باشند عملگر T: X→Y را یکریختی گوییم هرگاه T خطی، ضربی، یک به یک و پوشا باشد
۳ -فرض کنیم X,Y دو فضای برداری باشند عملگر T: X→Y را هومئومورفیسم گوییم هرگاه T ، یک به یک و پوشا و پیوسته باشد و وارون T نیز باید پیوسته باشد