تور تعمیمی از دنباله است.
چون دنباله ها اون کارایی که تو فضا متریک دارند تو فضای توپولوژیک ندارند لذا به جای استفاده از دنباله ها در فضاهای توپولوژیک از تورها استفاده میکنیم. یعنی به جای N از مجموعه اندیس گذار که کلی تر است استفاده میکنیم.
برای تعریف تور به یک مجموعه جهت دار نیاز داریم یعنی مجموعه ای مانند X که به یک رابطه دوتایی > مجهز شده باشد و دارای خاصیت انعکاسی و ترایایی باشد و در شرط زیر نیز صدق کند:
برای هر دو عضو دلخواه a,b از X عضوی مانند r از X موجود باشد که
a < r , b < r
در این صورت زوج (X, >) را یک مجموعه سودار نامیم.
یک تور در مجموعه ای مانند Y یک تابع از مجموعه جهت دار X به توی Y است که هر عضو مجموعه جهت دار X را به یک عضو Y تصویر میکند

نکاتی در مورد اتم
1 -فرض کنیم( X,S,U) فضایی اندازه پذیر باشد.مجموعه اندازه پذیر A را اتم گوییم هرگاه اندازه برونی A نامنفی باشد و به ازای هر زیر مجموعه اندازه پذیر E از A داشته باشیم اندازه برونی E صفر یا اندازه برونی متمم E صفر باشد.
2 - اگر فضای اندازه( X,S,U) اتم نداشته باشد آن را فضای اندازه دار غیر اتمی نامیم.
3 -اگر R را مجهز به اندازه لبگ کنیم یک فضای غیر اتمی به دست میاید

2 -
2 -

چند نکته در مورد آنالیز
1 -اگر f,gاندازه پذیر لبگ باشند آنگاه gof الزاما اندازه پذیر لبگ نمیباشد
2 -اگر f,g اندازه پذیر برل باشند آنگاه gof اندازه پذیر برل است
3 -اگر f اندازه پذیر لبگ و g اندازه پذیر برل باشد آنگاه gof اندازه پذیر لبگ است
4 -اگر g اندازه پذیر لبگ و f تابعی پیوسته باشد آنگاه gof الزاما اندازه پذیر لبگ نمیباشد
5 -اگر g تابعی پیوسته و f تابعی اندازه پذیر باشد آنگاه gof اندازه پذیر است
6 -هر تابع یکنوا f: R→R اندازه پذیر برل است
7 -هر تابع تقریبا همه جا پیوسته f: R→R اندازه پذیر لبگ است
8 - -اگر تابع f: R→R مشتق پذیر باشد آنگاه 'f اندازه پذیر لبگ است
9 - تابع اندازه ناپذیر لبگ f: R→R موجود است که اfا اندازه پذیر است
10 -اگر f,g توابعی اندازه پذیر باشند توابع زیر اندازه پذیر است:
الف: ⁿاfا برای nهای نامنفی
ب: f /ا برای f های مخالف صفر
ج: f+g ، f.g
د: {max{f,g و {min{f,g
ه: +f و -f

انتگرال های استییلتس و انتگرال لبگ تعمیمی از انتگرال ریمان میباشند
در حالت کلی وقتی بیان میسود تابع بر یک بازه بسته، نسبت به آلفا انتگرال پذیر یا ریمان -اشتیلتس انتگرال پذیر است دو حالت داریم حالت اول وقتی است که آلفا همانی باشد در این صورت انتگرال مورد بحث انتگرال ریمان یا همون ریمان معمولی است و در حالتی که آلفا غیر همانی باشد انتگرال مورد بحث استیلتس است

یک مجموعه را خودالحاق نامیم هرگاه شامل الحاق اعضای خود باشد.
چون مجموعه مورد نظر مثبت است لذا هر عصو آن مثبت میباشد یعنی برای عضو دلخواه x ازاین مجموعه، عضو y از این مجموعه موجود است که داریم
x=y*y
حال اگر از رابطه بالا الحاق بگیریم داریم
x*=y*y
روابط بالا نشان میدهد که مجموعه مثبت مورد نظر شامل الحاق اعضا خود میباشد.
بنابراین هر مجموعه مثبت، خودالحاق است

دنباله نوسانی
دنباله نوسانی دنباله ای است که حاصل ضرب هر دو جمله متوالی آن منفی میباشد به عبارت دیگر جملاتش یکی در میان مثبت و منفی اند که این دنباله ها به دو دسته کراندار و بی کران تقسیم میشوند و همگرای این دنباله ها هم فقط در حالت کرانداری رخ میدهد آن هم وقتی که دنباله نوسانی به صفر همگرا باشد
هر سری هم یک دنباله است لذا در شرایط بالا صدق میکند

وضعیت سری ها در فضاهای نرمدار
۱ـ فرض کنیم X یک فضای نرمدار باشد در این صورت یک سری همگراست اگر دنباله مجموع های جزئی آن همگرا باشد
۲ -در یک فضای نرمدار یک سری مطلقا همگرا الزاما همگرا نمیباشد
۳ -در یک فضای باناخ هر سری مطلقا همگرا، همگراست
۴ -فضای نرمدار X را باناخ گوییم هرگاه هر سری مطلقا همگرا در آن همگرا باشد
۵-در یک فضای باناخ یک سری را همگرا غیر مشروط نامیم هرگاه هر تجدید آرایش آن همگرا باشد
۶-در یک فضای باناخ هر سری همگرای مطلق، همگرای غیر مشروط است
۷-عکس نکته ۶ الزاما برقرار نمیباشد
۸-در فضای باناخ متناهی البعد همگرایی مطلق و همگرایی نامشروط معادلند
۹-در یک فضای نرمدار یک سری همگرا الزاما همگرای مطلق نمیباشد
۱۰-در یک فضای نرمدار یک سری همگرا الزاما همگرای نامشروط نمیباشد

نكاتی از آنالیز
۱- تابع نرم یک تابع پیوسته است
۲ -تابع نرم یک تابع لیپشیتس با ثابت یک است
۳- هر تابع نرم به طور یکنواخت پیوسته است
۴- در فضای نرمدار عمل های جمع و ضرب اسکالر دو تابع پیوسته اند

نکاتی در مورد ابرصفحه (hyperplane)
1 -فرض کنیم X یک فضای برداری (لزوما نرمدار نیست) و M زیرفضای X (لزوما بسته نیست) باشد ما گوییم M در X دارای هم بعد (codimention ) از مرتبه n است هرگاه فضای خارج قسمتX/M دارای بعد n باشد
۲ -یک فضای برداری با هم دامنه یک، را ابر صفحه نامیم
۳ -فرض کنیم X یک ابرصفحه باشد در این صورت هر هم مجموعه a+M را ابر صفحه آفین در X نامیم (a € M)
4 -فرض کنیم F یک تابعک خطی ناصفر متعلق به 'X ( دوگان جبری X را با 'X نمایش میدهیم) باشد، در این صورت Kernel F یک ابر صفحه در X است
Kernel F={a € X: F(a) =0}
۵ -فرض کنیم F یک تابعک خطی ناصفر متعلق به 'X ( دوگان جبری X را با 'X نمایش میدهیم) باشد، در این صورت مجموعه زیر یک ابرصفحه آفین است
A={a € X: F(a) =۱}
6-هر ابرصفحه هسته تعدادی تابعک خطی ناصفر متعلق به 'X میباشد
۷ -در یک فضای نرمدار X یک ابر صفحه M یا بسته میباشد و یا اینکه در X چگال میباشد
۸ -نکته ۷ برای ابرصفحه های آفین a+M نیز صادق است

Warning:
فرض کنیم x یک فضای نرمدار باشد اگر x یکریخت طولپا با دوگان دوم خود یعنی **x باشد نمیتوان نتیجه گرفت که x یک فضای بازتابی (reflexive) است.
برای مثال فضای جیمز (James ) یک فضای باناخ تفکیک پذیر غیربازتابی است که x یکریخت طولپا با **x میباشد.
فضای نرمدار x فقط وقتی فضای بازتابی است که:
یکریختی طولپایی بین x و **x تحت نشاننده طبیعی (natural emnedding ) باشد

Warning:
فرض کنیم X,Y دو فضای نرمدار باشند و T:X→Y یک عملگر خطی باشد در این صورت برای نامگذاری *T هر یک از موارد زیر را به کار میبرند
الف:adjoint T=الحاق T
یا
ب:dual T=دوگان T
یا
ج:transpose T=ترانهاده T
منظورم اینه که این مفاهیم، مفاهیم جدا از هم نییستند

نکاتی در مورد جابه جاگر دو عملگر
۱ -جابه جا گر دو عملگر T,S یک عملگر [T , S] است که به صورت زیر تعریف میشود
[T , S] =TS-ST
۲-جابه جا گرها دارای ویژگی های زیر میباشند:
الف: پاد متقارن
[T , S] =- [T , S]
ب: خطی بودن
[aT, bS] =ab [T , S]
[T , S+K] = [T , S] + [T , K]
[T+k , S] = [T , S] + [K , S]
پ: مشتق راست
[TK , S] =T [K , S] + [T , S] K
ث: مشتق چپ
[T , SK] = [T , S] K+ S[T , K]
ت: همانی ژاکوبی
[T , [K , S] ] + [K , [S , T] ] + [S , [T , K] ] =0

نکاتی از آنالیز
فرض کنیم g تابعی باشد که هر عضو گویا را به صفر، و هر عضو اصم را به صفر تصویر کند در این صورت سوپریموم و سوپریموم اساسی g برابر است:
Sup g(x)=1
ess sup g(x)=0

۲ -مجموعه Eر را پوچ نامیم هرگاه تصویر آن تحت تابع اندازه برونی برابر صفر گردد
۳-هر اجتماع شمارا از مجموعه پوچ، یک مجموعه پوچ است
۴ -نکته ۲ از ویژگی سیگما زیر جمعی اندازه برونی حاصل میشود
۵ -هر مجموعه پوچ یک مجموعه اندازه پذیر است
۵ -ساده ترین مجموعه های اندازه پذیر، مجموعه های پوچ اند
۶ - هر زير مجموعه يك مجموعه پوچ، یک مجوعه پوچ است

فضای هاسدورف فضایی است که برای نقاط متمایز، همسایگی های مجزا وجود دارد.
مانند فضای متریک،فضای باناخ، فضای هیلبرت ......که همگی هاسدورع اند
در فضای هاسدورف حد یکتاست.
برای فضاهای دیگر ممکن است حد یکتا نباشد مانند فضای T¹
در فضی T¹ ممکن است دنباله ای به تمام نقاط این فضا همگرا باشد.
بنابراین یکی از دلایل اهمیت این فضا وجود یکتایی حد میباشد

از دیگر ویژگی های فضای هاسدورف این است که هر زیر مجموعه فشرده آن بسته است که ممکن است برای فضاهای دیگر این شرط برقرار نباشد

نکاتی در مورد تصاویر (projection )
1 -فرض کنیم X فضای برداری باشد نگاشت خطی P: X→X را تصویر گوییم هرگاه
P²=P
2 -فرض کنیم X یک فضای برداری باشد اگر P: X→X یک تصویر باشد آنگاه X برابر است با جمع مستقیم KerP و rang P
3-اگر X جمع مستقیم دو زیرفضای برداری M و N باشد آنگاه تصویر
P: X→X
است که ran P=M و ker P=N
4 -یک تصویر متعامد روی فضای هیلبرت H یک نگاشت خطی که دو شرط زیر صدق میکند
P²=P , P*=P
6 -بین تصاویر متعامد P و زیر فضاهای متعامد M از H که rangP=M تناظر یک به یک موجود است
۷ -اگر P یک تصویر روی فضای هیلبرت H باشد آنگاه
الف: ran P بسته است
ب: H جمع مستقیم Ker P و rang P میباشد
پ: اگر M زیر فضای بسته H باشد آنگاه یک تصویر متعامد P روی M موجود است که
ran P=M , ker P=M'
(منظور از 'M مکمل متعامد M میباشد)
۸ -اگر P تصویر متعامد ناصفر باشد آنگاه
llPll=1
9 -یک تصویر متعامد لزوما کراندار است

نکاتی از آنالیز
۱ -ضرب داخلی تابعی توأم پیوسته میباشد
۲ -از نکته یک نتیجه میشود که هر بردار y متعلق به ضرب داخلی X ، تابعک خطی پیوسته ای مانند
f: X→C
f (x)= (x,y)
تعریف میکند
۳ -قضیه نمایش ریس بیان میکند برای فضای هیلبرت H تمام تابعک های خطی کراندار بر H به فرم نکته ۲ میباشند
۴ -قضیه نمایش ریس:
فرض کنیم f: H→C یک تابعک خطی کراندار باشد آنگاه بردار یکتا y در H موجود است که برای هر x در H داریم:
f (x) = (x,y)
4 -در نکته ۳ داریم
ll f ll=sup { lf(x)l / ll x ll ≤ 1}= sup { lf(x)l / ll x ll = 1}= inf { M / lf(x)l ≤ M ll x ll } =ll y ll

نکاتی از آنالیز
۱ -ضرب داخلی تابعی توأم پیوسته میباشد
۲ -از نکته یک نتیجه میشود که هر بردار y متعلق به ضرب داخلی X ، تابعک خطی پیوسته ای مانند
f: X→C
f (x)= (x,y)
تعریف میکند
۳ -در نکته ۲ اگر X ما فضای هیلبرت H باشد آنگاه تمام تابعک های خطی کراندار بر X به فرم نکته ۲ میباشد که به قضیه نمایش ریس معروف است
۴ -قضیه نمایش ریس:
فرض کنیم f: H→C یک تابعک خطی کراندار باشد آنگاه بردار یکتا y در H موجود است که برای هر x در H داریم:
f (x) = (x,y)
۵ -نرم بردار y نکته ۴ به صورت زیر محاسبه میگردد
ll f ll=sup { lf(x)l / ll x ll ≤ 1}= sup { lf(x)l / ll x ll = 1}= inf { M / lf(x)l ≤ M ll x ll } =ll y ll
۶ -یکی از نتایج قضیه نمایش ریس وجود الحاق یک عملگر کراندار بر فضای هیلبرت H میباشد.
به عبارت دیگر اگر T: H→H یک عملگر خطی کراندار باشد آنگاه عملگر کراندار یکتایی مانند
T*: H→H
موجود است که
(T(x), y)=(x,T*(y)):
۷ -یک عملگر خطب کراندار روی فضای هیلبرت H را عملگر فردهولم(Fredholm Operator) گوییم هرگاه در دو شرط رزیر صدق کند
الف: برد عملگر T بسته باشد
ب: پوچی T و پوچی *T متناهی باشد