نکته ای از آنالیز

اگر x یک فضای نرمدار باشد که یکریخت طولپا با دوگان دوم خود یعنی **x باشد میتوان نتیجه گرفت که x یک فضای بازتابی (reflexive) است. (🤔🤔)

پاسخ:
فضای جیمز (James ) یک فضای باناخ تفکیک پذیر است که x یکریخت طولپا با **x میباشد، ولی غیر بازتابی است.

نتیجه:

فضای نرمدار x فقط وقتی فضای بازتابی است که:
یکریختی طولپایی بین x و **x تحت نشاننده طبیعی (natural embedding ) باشد.

نکاتی راجع به طیف

1_مقدار منظم :فرض کنیم:
T: Domain(T)→X
عملگری خطی باشد ،اسکالر مختلط k را مقدار منظم T نامیم هرگاه در سه شرط زیر صدق کند:
الف :وارون T-kl موجود باشد ( I عملگر همانی است)
ب: وارون T-kl کراندار باشد.
ج:بستار
Domain((T-kl)-¹)
تمام X گردد.

2-فرض کنیم T یک عملگر خطی روی فضای نرمدار X باشد طیف T را به سه مجموعه مجزای زیر تقسیم میکنیم:
اا:طیف نقطه ای یا گسسته :
طیف T را نقطه ای گوییم هرگاه اسکالر k در شرط الف صدق نکند .
ااا: طیف پیوسته :
طیف T را پیوسته گوییم هرگاه اسکالر k در شرط الف و ج صدق کند ولی در شرط ب صدق نکند .
اااا:طیف مانده ای :
طیف T را مانده ایگوییم هرگاه اسکالر k در شرط الف صدق کند و در شرط ج صدق نکند.

۳-در حالت متناهی طیف مانده ای و طیف پیوسته برابر صفرند یعنی طیف T برابر است با مقادیر ویژه عملگر T.

۴-در حالتی که بعد X نامتناهی باشد طیف نقطه ای زیر مجموعه ای از طیف T است.

۵-عکس ۴ الزاما برقرار نیست.

۶-اگر T عملگر خطی و کراندار روی فضای باناخ مختلط X باشد آنگاه طیف T، فشرده است.

نکته ای از آنالیز

هر نگاشت طولپا یک به یک، پیوسته و پیوسته یکنواخت میباشد و در شرط لیپشیتس نیز صدق میکند.

نکاتی از آنالیز

۱ -فرض کنیم X,Y دو فضای برداری باشند، عملگر T: X→Y را یکریختی(isomorphism) گوییم هرگاه T خطی، یک به یک و پوشا باشد.

۲ -فرض کنیم X,Y دو فضای نرمدار باشند عملگر T: X→Y را یکریختی طولپا (isometirc isomorphism) گوییم هرگاه T خطی، حافظ نرم و پوشا باشد.

۳-در نکته ۲، بیان یک به یک بودن نیازی نیست. (🤔)

۴--فرض کنیم X,Y دو فضای نرمدار باشند عملگر T: X→Y را یکریختی توپولوژیکی(homeomorphism)گوییم هرگاه T خطی، پوشا، پیوسته و دارای وارون پیوسته باشد.

۵-فرض کنیم X,Y دو فضای ضرب داخلی باشند عملگر T: X→Y را یکانی (unitary) گوییم هرگاه T یکریختی طولپا و حافظ ضرب داخلی باشد.

۶ -فرض کنیم X,Y دو جبر باناخ باشند عملگر T: X→Y را یکریختی گوییم هرگاه T خطی، ضربی، یک به یک و پوشا باشد.

book_chapter_7.pdf

نکاتی راجع به ماتریس های متشابه

۱-دو ماتریس n در n روی میدان F را متشابه گوییم هرگاه ماتریس های یک عملگر خطی روی فضای برداری Fⁿ باشند.

۲- تشابه نکته ۱ رابطه هم ارزی روی همه ماتریس های n در n بر روی میدان F میباشد.

۳-اگر A,B دو ماتریس مشابه باشند ترانهاده A و ترانهاده B نیز متشابه اند.

۴- اگر A,B دو ماتریس مشابه باشند وارون A و وارون B نیز متشابه اند.

۵- اگر A,B دو ماتریس مشابه باشند برای هر n طبیعی Aⁿ, Bⁿنیز متشابه اند.

۶-تنها ماتریس متشابه با ماتریس همانی، خود ماتریس همانی است.

۷-تنها ماتریس متشابه با ماتریس صفر،خود ماتریس صفر است.

۸-اگر A ماتریس مربعی باشد که تنها با خودش متشابه است در این صورت A یک ماتریس اسکالر است.

۹-ماتریس های متشابه دارای مقادیر ویژه یکسانند.

۱۰- ماتریس های متشابه دارای trace یکسانند.

۱۱- ماتریس های متشابه دارای چند جمله ای مشخصه یکسانند .

۱۲- ماتریس های متشابه دارای چند جمله ای مینیمال یکسانند.

۱۳- ماتریس های متشابه دارای دترمینان یکسانند.

اعضای توپولوژی متری

فرض کنیم (X,d) یک فضای متریک باشد تعریف میکنیم :
B(x,r)={yㅌX / d(x,y)< r}
در این صورت مجموعه زیر یک پایه است:
{ B(x,r) / xㅌX, r>0}.
یعنی گوی های باز یه پایه برا این توپولوژی تشکیل میدهند.
همچنین توپولوژی که این پایه تولید میکند توپولوژی متری است.

نکاتی از جبر خطی

۱-فرض کنیم T عملگر خطی روی فضای متناهی البعد V باشد در این صورت گزاره های زیر معادلند :
الف: عملگر T وارون پذیر است
ب: عملگر T نامنفرد است
پ: عملگر T یک به یک است
ت: عملگر T برو است
ث: تمام مقادیر ویژه T مخالف صفر است .

۲-نکته فوق برای فضاهای نامتناهی البعد لزومأ بررار نمیباشد .

۳- تبدیل خطی T بردار صفر دامنه را به بردار صفر برد تصویر میکند.

۴-اگر T عملگری خطی باشد که T²=0 آنگاه الزامأ T=0 نمیباشد.

۵-اگر T, S دو عملگر خطی باشند که TS=0 آنگاه الزامأ ST=0 نمیباشد.

۶-در نکته ۳ و ۴ منظور از صفر، بردار صفر میباشد.

۷-فرض کنیم T عملگری خطی از فضای متناهی البعد U به فضای متناهی البعد V باشد در این صورت موارد زیر را داریم:
الف: اگر T پوشا باشد dim V کوچکتر مساوی dim U میگردد.
ب: اگر T یک به یک باشد dim U کوچکتر مساوی dim V میگردد.
پ: یک به یک بودن T معادل است با ( d im U = dim T(U
ث: پوشا بودن T معادل است با dim T(U) =dim V

۸-اگر عملگر خطی T پوچ توان باشد آنگاه عملگر I±T وارون پذیر است.

۹-عملگر مشتق یک عملگر پوچ توان، پوشا و غیر به یک میباشد.

۱۰ -عملگر انتگرال یک عملگر یک به یک غیر پوشاست.

۱۱-نکته های ۹ و ۱۰ نشان میدهد که نکته فوق الزامأ برای فضاهای نامتناهی البعد برقرار نمیباشد.

۱۲ -اگر A,B دو ماتریس متشابه باشند آنگاه ماتریس های زیر نیز متشابه میباشند:
الف -A وارون و B وارون
ب: ترانهاده A و ترانهاده B
پ: Aⁿ و Bⁿ

۱۲-اگر A ماتریس قطری شدنی باشد آنگاه ماتریس های زیر نیز قطری شدنی میباشند:
الف: adj A
ب: وارون A
پ: ترانهاده A
ت: Aⁿ

۱۳-رتبه هر ماتریس قطری برابر است با تعداد عناصر غیر صفر روی قطر اصلی

۱۴- دتر مینان یک ماتریس پادمتقارن برابر است با حاصل ضرب مقادیر ویژه آن

نکته ای از آنالیز

جبرهای فون نویمان رده خاصی از *c زیر جبر(B(H میباشند که به صورت جبری و توپولوژیکی قابل تعریف اند.

توپولوژی قوی عملگرها بر(B(H، توپولوژی موضعا محدبی است که توسط نیم نرم های به شکل زیر تعریف میگردد :
نیم نرم T برابر است با نرم Tx یعنی ااTxاا=ااTاا

ب: توپولوژی ضعیف عملگرها بر(B(H، توپولوژی موضعا محدبی است که توسط نیم نرمهای به شکل زیر تعریف میگردد :
نیم نرم T برابر است با قدرمطلق ضرب داخلی یعنی ا( Tx, y) ا=ااTاا

یک *c زیر جبر A از (B(H را جبر فون نویمان گوییم هرگاه A در توپولوژی قوی عملگرها بسته باشد .

قضیه :فرض کنیم S زیر مجموعه محدب (B(H باشد، در این صورت بستار S با توپولوژی قوی برابر است با بستار S با توپولوژی ضعیف در (B(H.

طبق قضیه بالا *c زیر A جبر(B(H یک جبر فون نویمان است اگر و تنها اگر A در توپولوژی ضعیف عملگرها بسته باشد.

جبرهای فون نویمان را میتوان به صورت جبری محض به صورت زیر میتوان تعریف کرد👇

فرض کنید H یک فضای هیلبرت و F زیرمجوعه ای از (H)B باشد.مجموعه 'F را به صورت زیر تعریف میکنیم:
F'={T∈B(H): TS=ST ㅂS∈F}
در این صورت 'F را جابه جاگر F نامیم.
در این صورت یک *c زیر جبر A از (B(H را جبر فون نویمان نامیم هرگاه با دوگان دوم خود برابر باشد، یعنی
F=F"

درسته آرمین جان دقیقا برابر میشه با انتگرال معمولی.😳

برا مثال تابع ضابطه ای زیر را در بازه [۰،۱] نظر بگیر
0 xㅌQ
√x xㅌQ'
این تابع ریمان انتگرال پذیر نیست ولی انتگرال لبگش دقیقا برابر انتگرال معمولی x√ در بازه مذکور است یعنی انتگرال لبگش میشه ۲/۳🤔