نکاتی در مورد:
توپولوژی نرم (توپولوژی قوی یا توپولوژی اصلی)، توپولوژی ضعیف، توپولوژی ضعیف ستاره
فرض کنیم X یک مجموعه و Л خانواده ای از توابع از X به توی فضای توپولوژیکی Y باشد توپولوژی ضعیف بر X که توسط Л القا می شود کوچکترین توپولوژی بر X است که هر عضو Л را پیوسته می سازد
نحوه ساختن توپولوژی ضعیف بر مجموعه X
فرض کنیم X یک مجموعه و (Y , T) یک فضای توپولوژیک باشد، هدف ساختن توپولوژیی است که هر عضو گردایه {(f: X→ (Y , T } را پیوسته سازد و در عین حال ضعیف ترین توپولوژی باشد.
مراحل ساختن:
مرحله اول:
ابتدا هر عضو u از توپولوژی T را تحت تصویر وارون f تصویر میکنیم، در این صورت یک گردایه ای از زیر مجموعه های X را خواهیم داشت که لزوما تشکیل توپولوژی نمیدهد و نام آن را Л قرار میدهیم.
مرحله دوم:
برای تشکیل چنین توپولوژی نیاز به یک پایه داریم.
برای تشکیل این پایه اشتراک های متناهی گردایه Л را که در مرحله اول ساخته شده را در نظر میگیریم ، لذا گردایه ای از اشتراک های متناهی خواهیم داشت که آن را Б مینامیم (بدیهی است که Б اعضای Л را نیز در بر دارد.)
مرحله سوم:
بدیهی است که Л تشکیل یک پایه میدهد.
اکنون اجتماع های دلخواه از اعضای پایه Л که در مرحله دوم ساخته شده را در نظر میگیریم، این اجتماع های دلخواه تشکیل یک توپولوژی میدهد به نام Г که توپولوژی ضعیف نام دارد (یعنی ضعیف ترین توپولوژی بر X که هر عضو گردایه {(f: X→ (Y , T } را پیوسته میسازد)
نتیجه: گردایه Л که در مرحله اول ساخته شده یک زیر پایه برای توپولوژی جدید به وجود آمده در مرحله سوم یعنی Г میباشد.
۲-اگر ما X را با توپولوژی گسسته مجهز کنیم بزرگترین (قویترین) توپولوژی به دست می آید
۳- سه توپولوژی روی *x (دوگان x) به صورت زیر تعریف میکنیم:
الف: توپولوژی نرم (یا توپولوژی اصلی یا توپولوژی قوی عملگرها )
در قسمت الف منظور از همگرایی قوی همان همگرایی نرم است که به صورت زیر میباشد:
fⁿ→f
اگر وتنها اگر
ll fⁿ-fll→0
یعنی
Sup { lfⁿ(x) - f(x)l / llxll≤1 } →0
( توجه کنید fⁿ دنباله ای از تابعکها روی *x میباشد)
ب: توپولوژی ضعیف ستاره:
توپولوژی ضعیف ستاره برابر است با گردایه همه تابعک های خطی مانند f اندیس a است که روی *x تعریف میشوند ( a متعلق به x است )
همگرایی ضعیف ستاره به صورت زير میباشد:
fⁿ→f
اگر وتنها اگر برای هر a عضو x
l fⁿ(a) - f(a)l→0
ج: توپولوژی ضعیف:
توپولوژی ضعیف برابر است با گردایه تمام تابعک های خطی روی *x که به صورت f اندیس a ( که a عضوی از **x میباشد)
همگرایی در توپولوژی ضعیف به صورت زیر میباشد:
fⁿ→f
اگر وتنها اگر برای هر a عضو **x
l fⁿ(a) - f(a)l→0
4-توپولوژی ضعیف و توپولوژی ضعیف ستاره هاسدورف اند
۵-اگر فضای باناخ X متناهی البعد باشد توپولوژی ضعیف و معمولی یکی اند
۶-وقتی که بیان میشود یک توپولوژی از توپولوژی دیگر ضعیف تر است یعنی تعداد مجموعه های باز کمتری دارد
۷-اگر فضای باناخ X با بعد نامتناهی باشد آنگاه مجموعه های باز و بسته در توپولوژی ضعیف در توپولوژی قوی نیز باز بسته اند ولی عکس بالا برقرار نیست
۸-در هر فضای نامتناهی البعد توپولوژی ضعیف اکیدا کوچکتر از توپولوژی قوی است
۹-هر مجموعه که با توپولوژی ضعیف بسته باشد با توپولوژی قوی نیز بسته است اما عکس این مطلب در فضای نامتناهی البعد برقرار نیست ولی برای مجموعه های محدب بسته بودن با توپولوژی قوی با بسته بودن با توپولوژی ضعیف یکی است
فضای نرمدار X اگر با بعد متناهی باشد آنگاه توپولوژی نرم و توپولوژی ضعیف یکی میشوندـ
اگر فضای نرمدار X با بعد نامتناهی باشد آنگاه توپولوژی ضعیف اکیدا کوچکتر از توپولوژی نرم است
یعنی مجموعه های باز ( بسته) ای در توپولوژی نرم موجودند که در توپولوژی ضعیف باز( بسته)نیستند
ولی اگر این مجموعه های باز ( بسته) ای که در توپولوژی نرم موجودند محدب باشند آنگاه در توپولوژی ضعیف باز( بسته)هستند
توپولوژی نرم (توپولوژی قوی یا توپولوژی اصلی)، توپولوژی ضعیف، توپولوژی ضعیف ستاره
فرض کنیم X یک مجموعه و Л خانواده ای از توابع از X به توی فضای توپولوژیکی Y باشد توپولوژی ضعیف بر X که توسط Л القا می شود کوچکترین توپولوژی بر X است که هر عضو Л را پیوسته می سازد
نحوه ساختن توپولوژی ضعیف بر مجموعه X
فرض کنیم X یک مجموعه و (Y , T) یک فضای توپولوژیک باشد، هدف ساختن توپولوژیی است که هر عضو گردایه {(f: X→ (Y , T } را پیوسته سازد و در عین حال ضعیف ترین توپولوژی باشد.
مراحل ساختن:
مرحله اول:
ابتدا هر عضو u از توپولوژی T را تحت تصویر وارون f تصویر میکنیم، در این صورت یک گردایه ای از زیر مجموعه های X را خواهیم داشت که لزوما تشکیل توپولوژی نمیدهد و نام آن را Л قرار میدهیم.
مرحله دوم:
برای تشکیل چنین توپولوژی نیاز به یک پایه داریم.
برای تشکیل این پایه اشتراک های متناهی گردایه Л را که در مرحله اول ساخته شده را در نظر میگیریم ، لذا گردایه ای از اشتراک های متناهی خواهیم داشت که آن را Б مینامیم (بدیهی است که Б اعضای Л را نیز در بر دارد.)
مرحله سوم:
بدیهی است که Л تشکیل یک پایه میدهد.
اکنون اجتماع های دلخواه از اعضای پایه Л که در مرحله دوم ساخته شده را در نظر میگیریم، این اجتماع های دلخواه تشکیل یک توپولوژی میدهد به نام Г که توپولوژی ضعیف نام دارد (یعنی ضعیف ترین توپولوژی بر X که هر عضو گردایه {(f: X→ (Y , T } را پیوسته میسازد)
نتیجه: گردایه Л که در مرحله اول ساخته شده یک زیر پایه برای توپولوژی جدید به وجود آمده در مرحله سوم یعنی Г میباشد.
۲-اگر ما X را با توپولوژی گسسته مجهز کنیم بزرگترین (قویترین) توپولوژی به دست می آید
۳- سه توپولوژی روی *x (دوگان x) به صورت زیر تعریف میکنیم:
الف: توپولوژی نرم (یا توپولوژی اصلی یا توپولوژی قوی عملگرها )
در قسمت الف منظور از همگرایی قوی همان همگرایی نرم است که به صورت زیر میباشد:
fⁿ→f
اگر وتنها اگر
ll fⁿ-fll→0
یعنی
Sup { lfⁿ(x) - f(x)l / llxll≤1 } →0
( توجه کنید fⁿ دنباله ای از تابعکها روی *x میباشد)
ب: توپولوژی ضعیف ستاره:
توپولوژی ضعیف ستاره برابر است با گردایه همه تابعک های خطی مانند f اندیس a است که روی *x تعریف میشوند ( a متعلق به x است )
همگرایی ضعیف ستاره به صورت زير میباشد:
fⁿ→f
اگر وتنها اگر برای هر a عضو x
l fⁿ(a) - f(a)l→0
ج: توپولوژی ضعیف:
توپولوژی ضعیف برابر است با گردایه تمام تابعک های خطی روی *x که به صورت f اندیس a ( که a عضوی از **x میباشد)
همگرایی در توپولوژی ضعیف به صورت زیر میباشد:
fⁿ→f
اگر وتنها اگر برای هر a عضو **x
l fⁿ(a) - f(a)l→0
4-توپولوژی ضعیف و توپولوژی ضعیف ستاره هاسدورف اند
۵-اگر فضای باناخ X متناهی البعد باشد توپولوژی ضعیف و معمولی یکی اند
۶-وقتی که بیان میشود یک توپولوژی از توپولوژی دیگر ضعیف تر است یعنی تعداد مجموعه های باز کمتری دارد
۷-اگر فضای باناخ X با بعد نامتناهی باشد آنگاه مجموعه های باز و بسته در توپولوژی ضعیف در توپولوژی قوی نیز باز بسته اند ولی عکس بالا برقرار نیست
۸-در هر فضای نامتناهی البعد توپولوژی ضعیف اکیدا کوچکتر از توپولوژی قوی است
۹-هر مجموعه که با توپولوژی ضعیف بسته باشد با توپولوژی قوی نیز بسته است اما عکس این مطلب در فضای نامتناهی البعد برقرار نیست ولی برای مجموعه های محدب بسته بودن با توپولوژی قوی با بسته بودن با توپولوژی ضعیف یکی است
فضای نرمدار X اگر با بعد متناهی باشد آنگاه توپولوژی نرم و توپولوژی ضعیف یکی میشوندـ
اگر فضای نرمدار X با بعد نامتناهی باشد آنگاه توپولوژی ضعیف اکیدا کوچکتر از توپولوژی نرم است
یعنی مجموعه های باز ( بسته) ای در توپولوژی نرم موجودند که در توپولوژی ضعیف باز( بسته)نیستند
ولی اگر این مجموعه های باز ( بسته) ای که در توپولوژی نرم موجودند محدب باشند آنگاه در توپولوژی ضعیف باز( بسته)هستند
نکاتی در مورد:
توپولوژی نرم (توپولوژی قوی یا توپولوژی اصلی)، توپولوژی ضعیف، توپولوژی ضعیف ستاره
فرض کنیم X یک مجموعه و Л خانواده ای از توابع از X به توی فضای توپولوژیکی Y باشد توپولوژی ضعیف بر X که توسط Л القا می شود کوچکترین توپولوژی بر X است که هر عضو Л پیوسته میسازد
۲-اگر ما X را با توپولوژی گسسته مجهز کنیم بزرگترین (قویترین) توپولوژی به دست می آید
۳- سه توپولوژی روی *x (دوگان x) به صورت زیر تعریف میکنیم:
الف: توپولوژی نرم (یا توپولوژی اصلی یا توپولوژی قوی عملگرها )
در قسمت الف منظور از همگرایی قوی همان همگرایی نرم است که به صورت زیر میباشد:
fⁿ→f
اگر وتنها اگر
ll fⁿ-fll→0
یعنی
Sup { lfⁿ(x) - f(x)l / llxll≤1 } →0
( توجه کنید fⁿ دنباله ای از تابعکها روی *x میباشد)
ب: توپولوژی ضعیف ستاره:
توپولوژی ضعیف ستاره برابر است با گردایه همه تابعک های خطی مانند f اندیس a است که روی *x تعریف میشوند ( a متعلق به x است )
همگرایی ضعیف ستاره به صورت زير میباشد:
fⁿ→f
اگر وتنها اگر برای هر a عضو x
l fⁿ(a) - f(a)l→0
ج: توپولوژی ضعیف:
توپولوژی ضعیف برابر است با گردایه تمام تابعک های خطی روی *x که به صورت f اندیس a ( که a عضوی از **x میباشد)
همگرایی در توپولوژی ضعیف به صورت زیر میباشد:
fⁿ→f
اگر وتنها اگر برای هر a عضو **x
l fⁿ(a) - f(a)l→0
4-توپولوژی ضعیف و توپولوژی ضعیف ستاره هاسدورف اند
۵-اگر فضای باناخ X متناهی البعد باشد توپولوژی ضعیف و معمولی یکی اند
۶-وقتی که بیان میشود یک توپولوژی از توپولوژی دیگر ضعیف تر است یعنی تعداد مجموعه های باز کمتری دارد
۷-اگر فضای باناخ X با بعد نامتناهی باشد آنگاه مجموعه های باز و بسته در توپولوژی ضعیف در توپولوژی قوی نیز باز بسته اند ولی عکس بالا برقرار نیست
۸-در هر فضای نامتناهی البعد توپولوژی ضعیف اکیدا کوچکتر از توپولوژی قوی است
۹-هر مجموعه که با توپولوژی ضعیف بسته باشد با توپولوژی قوی نیز بسته است اما عکس این مطلب در فضای نامتناهی البعد برقرار نیست ولی برای مجموعه های محدب بسته بودن با توپولوژی قوی با بسته بودن با توپولوژی ضعیف یکی است
فضای نرمدار X اگر با بعد متناهی باشد آنگاه توپولوژی نرم و توپولوژی ضعیف یکی میشوندـ
اگر فضای نرمدار X با بعد نامتناهی باشد آنگاه توپولوژی ضعیف اکیدا کوچکتر از توپولوژی نرم است
یعنی مجموعه های باز ( بسته) ای در توپولوژی نرم موجودند که در توپولوژی ضعیف باز( بسته)نیستند
ولی اگر این مجموعه های باز ( بسته) ای که در توپولوژی نرم موجودند محدب باشند آنگاه در توپولوژی ضعیف باز( بسته)هستند
توپولوژی نرم (توپولوژی قوی یا توپولوژی اصلی)، توپولوژی ضعیف، توپولوژی ضعیف ستاره
فرض کنیم X یک مجموعه و Л خانواده ای از توابع از X به توی فضای توپولوژیکی Y باشد توپولوژی ضعیف بر X که توسط Л القا می شود کوچکترین توپولوژی بر X است که هر عضو Л پیوسته میسازد
۲-اگر ما X را با توپولوژی گسسته مجهز کنیم بزرگترین (قویترین) توپولوژی به دست می آید
۳- سه توپولوژی روی *x (دوگان x) به صورت زیر تعریف میکنیم:
الف: توپولوژی نرم (یا توپولوژی اصلی یا توپولوژی قوی عملگرها )
در قسمت الف منظور از همگرایی قوی همان همگرایی نرم است که به صورت زیر میباشد:
fⁿ→f
اگر وتنها اگر
ll fⁿ-fll→0
یعنی
Sup { lfⁿ(x) - f(x)l / llxll≤1 } →0
( توجه کنید fⁿ دنباله ای از تابعکها روی *x میباشد)
ب: توپولوژی ضعیف ستاره:
توپولوژی ضعیف ستاره برابر است با گردایه همه تابعک های خطی مانند f اندیس a است که روی *x تعریف میشوند ( a متعلق به x است )
همگرایی ضعیف ستاره به صورت زير میباشد:
fⁿ→f
اگر وتنها اگر برای هر a عضو x
l fⁿ(a) - f(a)l→0
ج: توپولوژی ضعیف:
توپولوژی ضعیف برابر است با گردایه تمام تابعک های خطی روی *x که به صورت f اندیس a ( که a عضوی از **x میباشد)
همگرایی در توپولوژی ضعیف به صورت زیر میباشد:
fⁿ→f
اگر وتنها اگر برای هر a عضو **x
l fⁿ(a) - f(a)l→0
4-توپولوژی ضعیف و توپولوژی ضعیف ستاره هاسدورف اند
۵-اگر فضای باناخ X متناهی البعد باشد توپولوژی ضعیف و معمولی یکی اند
۶-وقتی که بیان میشود یک توپولوژی از توپولوژی دیگر ضعیف تر است یعنی تعداد مجموعه های باز کمتری دارد
۷-اگر فضای باناخ X با بعد نامتناهی باشد آنگاه مجموعه های باز و بسته در توپولوژی ضعیف در توپولوژی قوی نیز باز بسته اند ولی عکس بالا برقرار نیست
۸-در هر فضای نامتناهی البعد توپولوژی ضعیف اکیدا کوچکتر از توپولوژی قوی است
۹-هر مجموعه که با توپولوژی ضعیف بسته باشد با توپولوژی قوی نیز بسته است اما عکس این مطلب در فضای نامتناهی البعد برقرار نیست ولی برای مجموعه های محدب بسته بودن با توپولوژی قوی با بسته بودن با توپولوژی ضعیف یکی است
فضای نرمدار X اگر با بعد متناهی باشد آنگاه توپولوژی نرم و توپولوژی ضعیف یکی میشوندـ
اگر فضای نرمدار X با بعد نامتناهی باشد آنگاه توپولوژی ضعیف اکیدا کوچکتر از توپولوژی نرم است
یعنی مجموعه های باز ( بسته) ای در توپولوژی نرم موجودند که در توپولوژی ضعیف باز( بسته)نیستند
ولی اگر این مجموعه های باز ( بسته) ای که در توپولوژی نرم موجودند محدب باشند آنگاه در توپولوژی ضعیف باز( بسته)هستند
تعریف *c جبر
۱- فرض کنیم A یک فضای برداری باشد. ضرب جدید ★ را روی A با خواص زیر تعریف میکنیم
الف:خاصیت شرکت پذیری
(x★y) ★z=x★(y★z)
ب:ضرب ★ نسبت به مولفه اول و دوم خطی باشد.
در این صورت (★, . , +, A) را یک جبر نامیم.
۲-فرض کنیم (★,.,+,A) یک جبر باشد عملگر * را را یک برگشت نامیم هرگاه در شرایط زیر صدق کند
الف:عملگر ** برای هر عضو A عملگر همانی باشد.
ب:عملگر * ویژگی مزدوج خطی را دارا باشد .
ج:تصویر xy تحت عملگر * برابر
y*x*
گردد.
در این صورت به
(A,+,.,★,*)
جبر ستاره دار گوییم
۲-اگر در نکته یک A یک جبر باناخ باشد به (*,★,.,+, A) جبر باناخ ستاره دار گوییم
۳-جبر باناخ ستاره دار را *c جبر نامیم هرگاه در شرط زیر صدق کند
llx*xll=llxll²
لینک گروه
https://telegram.me/joinchat/BBtJFkEmXa9Pf--i0vPeoA
بزرگترین گروه تلگرام تخصصی ریاضی برای مشاوره و نکات کلیدی آزمون دکتری و رفع اشکال
Admin: @Roklp
Admin: @taheries
۱- فرض کنیم A یک فضای برداری باشد. ضرب جدید ★ را روی A با خواص زیر تعریف میکنیم
الف:خاصیت شرکت پذیری
(x★y) ★z=x★(y★z)
ب:ضرب ★ نسبت به مولفه اول و دوم خطی باشد.
در این صورت (★, . , +, A) را یک جبر نامیم.
۲-فرض کنیم (★,.,+,A) یک جبر باشد عملگر * را را یک برگشت نامیم هرگاه در شرایط زیر صدق کند
الف:عملگر ** برای هر عضو A عملگر همانی باشد.
ب:عملگر * ویژگی مزدوج خطی را دارا باشد .
ج:تصویر xy تحت عملگر * برابر
y*x*
گردد.
در این صورت به
(A,+,.,★,*)
جبر ستاره دار گوییم
۲-اگر در نکته یک A یک جبر باناخ باشد به (*,★,.,+, A) جبر باناخ ستاره دار گوییم
۳-جبر باناخ ستاره دار را *c جبر نامیم هرگاه در شرط زیر صدق کند
llx*xll=llxll²
لینک گروه
https://telegram.me/joinchat/BBtJFkEmXa9Pf--i0vPeoA
بزرگترین گروه تلگرام تخصصی ریاضی برای مشاوره و نکات کلیدی آزمون دکتری و رفع اشکال
Admin: @Roklp
Admin: @taheries
تعریف مشبکه باناخ
1-فضای جزئا مرتب:
فضای جزئا مرتب، یک فضای برداری حقیقی مانند X مجهز به یک رابطه ترتیبی مانند > است که در دو شرط زیر صدق میکند
الف: اگر a<b باشد آنگاه برای هر c عضو X داشته باشیم a+c<b+c
ب: اگر a<b باشد آنگاهه برای هر اسکالر نامنفی r عضو میدان داشته باشیم ra<rb
2-مشبکه برداری:
فضاي برداري جزئا مرتب X را مشکه برداری گوییم هرگاه به ازای هر جفت از بردارهای a,b متعلق به X، هم سوپریموم a,b موجود باشه و هم اینفیموم a,b موجود باشد.
3-نرم مشبکه ای:
میگوییم نرم اا اا روی مشبکه برداری X یک نرم مشبکه ای است هرگاه رابطه اaا کوچکتر مساوی اbا مستلزم ااaاا کوچکتر مساوی ااbاا باشد.
4-مشبکه برداری نرمدار:
هرمشبکه برداری نرمدار، مشبکه ای برداری مجهز به یک نرم مشبکه ای است.
5-مشبکه باناخ:
اگر مشبکه برداری نرمدار X کامل باشد، X را مشبکه باناخ نامیم.
برای مثال(B (X مجهز به ابطه ترتیبی کوچکتر مساوی و نرم sup یک مشبکه باناخ است
همچنین Lp برای p های بین یک تا بینهایت مشبکه باناخ است (برای p=1 و p=∞، نیز مشبکه باناخ است)
1-فضای جزئا مرتب:
فضای جزئا مرتب، یک فضای برداری حقیقی مانند X مجهز به یک رابطه ترتیبی مانند > است که در دو شرط زیر صدق میکند
الف: اگر a<b باشد آنگاه برای هر c عضو X داشته باشیم a+c<b+c
ب: اگر a<b باشد آنگاهه برای هر اسکالر نامنفی r عضو میدان داشته باشیم ra<rb
2-مشبکه برداری:
فضاي برداري جزئا مرتب X را مشکه برداری گوییم هرگاه به ازای هر جفت از بردارهای a,b متعلق به X، هم سوپریموم a,b موجود باشه و هم اینفیموم a,b موجود باشد.
3-نرم مشبکه ای:
میگوییم نرم اا اا روی مشبکه برداری X یک نرم مشبکه ای است هرگاه رابطه اaا کوچکتر مساوی اbا مستلزم ااaاا کوچکتر مساوی ااbاا باشد.
4-مشبکه برداری نرمدار:
هرمشبکه برداری نرمدار، مشبکه ای برداری مجهز به یک نرم مشبکه ای است.
5-مشبکه باناخ:
اگر مشبکه برداری نرمدار X کامل باشد، X را مشبکه باناخ نامیم.
برای مثال(B (X مجهز به ابطه ترتیبی کوچکتر مساوی و نرم sup یک مشبکه باناخ است
همچنین Lp برای p های بین یک تا بینهایت مشبکه باناخ است (برای p=1 و p=∞، نیز مشبکه باناخ است)
#بخش_پذیری اعداد تا ١٦
📚برای تقسیم بر بیشتر اعداد طبیعی قاعده هایی وجود دارد...
🔴قاعده تقسیم بر 1 :
همه ی اعداد بر یک بخش پذیر هستند.
🔵قاعده تقسیم بر 2 :
عددی بر 2 بخش پذیر است که رقم یکانش بر 2 بخش پذیر باشد. باقی مانده تقسیم هرعدد بر 2 باقی مانده تقسیم رقم یکان عدد بر 2 است.
مثال- همه ی اعداد زوج بر 2 بخش پذیر هستند.
🔴قاعده تقسیم بر 3 :
عددی بر 3 بخش پذیر است که مجموع ارقامش بر 3 بخش پذیر باشد. باقی مانده ی تقسیم عدد بر 3 همان باقی مانده تقسیم مجموع ارقام آن عدد بر 3 است.
مثال- مجموع رقم های عدد 7۵12 برابر 1۵ است و 1۵ بر 3 بخش پذیر می باشد، بنابراین عدد7۵12 بر 3 بخش پذیر است.
🔵قاعده تقسیم بر 4 :
الف) عددی بر 4 قابل قسمت است که دو رقم
سمت راست آن بر4 قابل قسمت باشد. باقی مانده تقسیم هر عدد بر 4 مساوی باقی مانده تقسیم دو رقم سمت راست آن عدد بر4 .
مثال- عدد ۵248 بر 4 بخش پذیر است. زیرا 48 بر 4 بخش پذیر است.
ب)عددی بر4 بخش پذیر است که رقم یکان به اضافه ی 2 برابر رقم دهگان آن بر 4 بخش پذیر باشد.
مثال- عدد 1۵68 بر 4 بخش پذیر است. زیرا 20 = 8 + 6 * 2 و 20 بر 4 بخش پذیر می باشد.
🔴قاعده تقسیم بر 5 :
عددی بر۵بخش پذیر است که رقم یکانش بر۵ بخش پذیر باشد. باقی مانده تقسیم هرعدد بر۵ باقی مانده تقسیم رقم یکان عدد بر ۵ است.
مثال- اعداد ۶۵، 240 و 800 بر۵ بخش پذیر هستند.
🔵قاعده تقسیم بر 6 :
عددی بر 6 بخش پذیر است که بر2 و3 بخش پذیر باشد. ( 3 * 2 = 6)
مثال- عدد 132 هم بر 2 و هم بر 3 بخش پذیراست. پس بر6 نیز بخش پذیر است.
🔴قاعده تقسیم بر 7 :
عددی بر 7 بخش پذیر است که اگر 2 برابر رقم یکان آن را از عددی که از حذف یکان به دست آمده کم کنیم، حاصل بر7 بخش پذیر باشد.(در صورت لزوم این عمل را چندین بار تکرار می کنیم تا به نتیجه برسیم.)
مثال- عدد ۵194 بر 7 بخش پذیر است. زیرا: ( 8 = 2 * 4) 5194 ( 2= 2 *1) 511 =
8 – 519 49 = 2- 51
49 مضربی از 7 است. بنابراین۵۱۹۴ بر 7 بخش پذیر است.
🔵قاعده تقسیم بر 8 :
الف) عددی بر8 قابل قسمت است که سه رقم سمت راست آن بر 8 قابل قسمت باشد.
مثال- اعداد 4۵000 و706۵6 بر 8 بخش پذیرهستند. زیرا سه رقم سمت راست آن ها یعنی صفر و6۵6 بر 8 بخش پذیرهستند.
ب) عددی بر8 بخش پذیر است که 2 برابررقم دهگان به اضافه ی 4 برابر رقم صدگان آن بر 8 بخش پذیر باشد.
مثال- عدد 6۵321 بر 8 بخش پذیر است. زیرا 16 = 2 * 2 + 3 * 4 و 16 بر 8 بخش پذیر می باشد.
🔴قاعده تقسیم بر 9 :
عددی بر 9 بخش پذیراست که مجموع ارقامش بر9 بخش پذیر باشد.
مثال- عدد ۵148 بر 9 بخش پذیراست. زیرا مجموع رقم های آن یعنی 18 بر 9 بخش پذیر است.
🔴قاعده تقسیم بر 10 :
عددی بر 10 بخش پذیر است که رقم یکان آن صفر باشد.
مثال- اعداد 70 ، 1200 و 810 بر 10 بخش پذیر هستند.
🔴قاعده تقسیم بر 11 :
عددی بر 11 بخش پذیر است که اگر ارقام آن را یکی در میان به دو دسته تقسیم کنیم و مجموع ارقام هر دسته را به دست آوریم و سپس دو عدد به دست آمده را از هم کم کنیم عدد حاصل بر 11 بخش پذیر باشد.
مثال-عدد ۵240312 بر 11 بخش پذیر است زیرا: 14 = 2 + 3 + 4 + 5 3 = 1 + 0 + 2 11 = 3 - 14
🔵قاعده تقسیم بر 12 :
عددی بر 12 بخش پذیر است که بر 3 و 4 بخش پذیر باشد.
مثال- اعداد 72 و 120 و 480 بر 12 بخش پذیر هستند.
🔴قاعده تقسیم بر 13 :
عددی بر 13 بخش پذیر است که اگر 4 برابر رقم یکان آن را با عددی که از حذف یکان به دست آمده جمع کنیم، حاصل بر 13 بخش پذیرباشد. (در صورت لزوم این عمل را چندین بار تکرار می کنیم تا به نتیجه برسیم.)
مثال- عدد 247 بر 13 بخش پذیر است. زیرا: ( 28 = 7 * 4) 247 ( 8 = 2 * 4) 52 = 28 + 24 13 = 8 + 5
🔵قاعده تقسیم بر 14 :
عددی بر 14 بخش پذیر است که بر 2 و 7 بخش پذیر باشد. ( 7 * 2 = 14)
مثال- عدد 3۵42 هم بر 2 وهم بر7 بخش پذیر است. پس بر 14 نیز بخش پذیر است.
🔴قاعده تقسیم بر 15 :
عددی بر 1۵ بخش پذیر است که بر 3 و 5 بخش پذیر باشد. ( ۵ * 3 = 1۵)
مثال- عدد 43۵0 هم بر 3 و هم بر 5 بخش پذیر است. پس بر 43۵0 نیز بخش پذیر است.
🔵قاعده تقسیم بر 16 : عددی بر 16 بخش پذیر است که چهار رقم سمت راست آن بر 16 بخش پذیر باشد .
📚برای تقسیم بر بیشتر اعداد طبیعی قاعده هایی وجود دارد...
🔴قاعده تقسیم بر 1 :
همه ی اعداد بر یک بخش پذیر هستند.
🔵قاعده تقسیم بر 2 :
عددی بر 2 بخش پذیر است که رقم یکانش بر 2 بخش پذیر باشد. باقی مانده تقسیم هرعدد بر 2 باقی مانده تقسیم رقم یکان عدد بر 2 است.
مثال- همه ی اعداد زوج بر 2 بخش پذیر هستند.
🔴قاعده تقسیم بر 3 :
عددی بر 3 بخش پذیر است که مجموع ارقامش بر 3 بخش پذیر باشد. باقی مانده ی تقسیم عدد بر 3 همان باقی مانده تقسیم مجموع ارقام آن عدد بر 3 است.
مثال- مجموع رقم های عدد 7۵12 برابر 1۵ است و 1۵ بر 3 بخش پذیر می باشد، بنابراین عدد7۵12 بر 3 بخش پذیر است.
🔵قاعده تقسیم بر 4 :
الف) عددی بر 4 قابل قسمت است که دو رقم
سمت راست آن بر4 قابل قسمت باشد. باقی مانده تقسیم هر عدد بر 4 مساوی باقی مانده تقسیم دو رقم سمت راست آن عدد بر4 .
مثال- عدد ۵248 بر 4 بخش پذیر است. زیرا 48 بر 4 بخش پذیر است.
ب)عددی بر4 بخش پذیر است که رقم یکان به اضافه ی 2 برابر رقم دهگان آن بر 4 بخش پذیر باشد.
مثال- عدد 1۵68 بر 4 بخش پذیر است. زیرا 20 = 8 + 6 * 2 و 20 بر 4 بخش پذیر می باشد.
🔴قاعده تقسیم بر 5 :
عددی بر۵بخش پذیر است که رقم یکانش بر۵ بخش پذیر باشد. باقی مانده تقسیم هرعدد بر۵ باقی مانده تقسیم رقم یکان عدد بر ۵ است.
مثال- اعداد ۶۵، 240 و 800 بر۵ بخش پذیر هستند.
🔵قاعده تقسیم بر 6 :
عددی بر 6 بخش پذیر است که بر2 و3 بخش پذیر باشد. ( 3 * 2 = 6)
مثال- عدد 132 هم بر 2 و هم بر 3 بخش پذیراست. پس بر6 نیز بخش پذیر است.
🔴قاعده تقسیم بر 7 :
عددی بر 7 بخش پذیر است که اگر 2 برابر رقم یکان آن را از عددی که از حذف یکان به دست آمده کم کنیم، حاصل بر7 بخش پذیر باشد.(در صورت لزوم این عمل را چندین بار تکرار می کنیم تا به نتیجه برسیم.)
مثال- عدد ۵194 بر 7 بخش پذیر است. زیرا: ( 8 = 2 * 4) 5194 ( 2= 2 *1) 511 =
8 – 519 49 = 2- 51
49 مضربی از 7 است. بنابراین۵۱۹۴ بر 7 بخش پذیر است.
🔵قاعده تقسیم بر 8 :
الف) عددی بر8 قابل قسمت است که سه رقم سمت راست آن بر 8 قابل قسمت باشد.
مثال- اعداد 4۵000 و706۵6 بر 8 بخش پذیرهستند. زیرا سه رقم سمت راست آن ها یعنی صفر و6۵6 بر 8 بخش پذیرهستند.
ب) عددی بر8 بخش پذیر است که 2 برابررقم دهگان به اضافه ی 4 برابر رقم صدگان آن بر 8 بخش پذیر باشد.
مثال- عدد 6۵321 بر 8 بخش پذیر است. زیرا 16 = 2 * 2 + 3 * 4 و 16 بر 8 بخش پذیر می باشد.
🔴قاعده تقسیم بر 9 :
عددی بر 9 بخش پذیراست که مجموع ارقامش بر9 بخش پذیر باشد.
مثال- عدد ۵148 بر 9 بخش پذیراست. زیرا مجموع رقم های آن یعنی 18 بر 9 بخش پذیر است.
🔴قاعده تقسیم بر 10 :
عددی بر 10 بخش پذیر است که رقم یکان آن صفر باشد.
مثال- اعداد 70 ، 1200 و 810 بر 10 بخش پذیر هستند.
🔴قاعده تقسیم بر 11 :
عددی بر 11 بخش پذیر است که اگر ارقام آن را یکی در میان به دو دسته تقسیم کنیم و مجموع ارقام هر دسته را به دست آوریم و سپس دو عدد به دست آمده را از هم کم کنیم عدد حاصل بر 11 بخش پذیر باشد.
مثال-عدد ۵240312 بر 11 بخش پذیر است زیرا: 14 = 2 + 3 + 4 + 5 3 = 1 + 0 + 2 11 = 3 - 14
🔵قاعده تقسیم بر 12 :
عددی بر 12 بخش پذیر است که بر 3 و 4 بخش پذیر باشد.
مثال- اعداد 72 و 120 و 480 بر 12 بخش پذیر هستند.
🔴قاعده تقسیم بر 13 :
عددی بر 13 بخش پذیر است که اگر 4 برابر رقم یکان آن را با عددی که از حذف یکان به دست آمده جمع کنیم، حاصل بر 13 بخش پذیرباشد. (در صورت لزوم این عمل را چندین بار تکرار می کنیم تا به نتیجه برسیم.)
مثال- عدد 247 بر 13 بخش پذیر است. زیرا: ( 28 = 7 * 4) 247 ( 8 = 2 * 4) 52 = 28 + 24 13 = 8 + 5
🔵قاعده تقسیم بر 14 :
عددی بر 14 بخش پذیر است که بر 2 و 7 بخش پذیر باشد. ( 7 * 2 = 14)
مثال- عدد 3۵42 هم بر 2 وهم بر7 بخش پذیر است. پس بر 14 نیز بخش پذیر است.
🔴قاعده تقسیم بر 15 :
عددی بر 1۵ بخش پذیر است که بر 3 و 5 بخش پذیر باشد. ( ۵ * 3 = 1۵)
مثال- عدد 43۵0 هم بر 3 و هم بر 5 بخش پذیر است. پس بر 43۵0 نیز بخش پذیر است.
🔵قاعده تقسیم بر 16 : عددی بر 16 بخش پذیر است که چهار رقم سمت راست آن بر 16 بخش پذیر باشد .
نکاتی راجع به کلا کرانداری (totally bounded)
1-زیر مجموعه A از فضای متریک M را کراندار گوییم هرگاه قطر A متناهی باشد
۲-زیر مجموعه A از فضای متریک M را کلا کراندار نامیم هرگاه به ازای هر عدد مثبت یک اپسیلون تور متناهی موجود باشد
۳-هر فضای متریک کلا کراندار، کراندار است ولی عکس آن لزوما برقرار نیست
۴-هر فضای متری فشرده کلا کراندار است
۵-کلا کرانداری یک فضای متریک کامل، فشردگی این فضا را ایجاب میکنند
۶-در فضای n بعدی R کرانداری و کلا کرانداری معادلند
۷-در فضای R با متر گسسته، یک زیر مجموعه R کلا کراندار است اگر و تنها اگر متناهی باشد
۸-زیر مجموعه E از فضای متریک M کلا کراندار است اگر. وتنها اگر هر دنباله از نقاط E شامل یک زیر دنباله کوشی باشد
۹-گوی واحد در فضای هیلبرت یا در حالت کلی در فضای باناخ کلا کراندار است اگر بعد فضا متناهی باشد
1۰-یک فضای متریک تفکیک پذیر است اگر و تنها اگر با یک فضای متریک کلا کراندار همسانریخت باشد
11-هر زیر مجموعه یک فضای متریک کلا کراندار خود نیز کلا کراندار است
1۲-هر فضای متریک کلا کراندار و در حالت خاص هر فضای متریک فشرده تفکیک پذیر است
1۳-کرانداری یک مجموعه در متری که در آن بکار رفته بستگی دارد
1۴-هر فضای متریک دلخواه را، میتوان به یک فضای متریک کراندار تبدیل کرد
1۵- مجموعه R با متر اقلیدسی کراندار نیست، ولی میتوان R را با متر جدید کراندار کرد
1-زیر مجموعه A از فضای متریک M را کراندار گوییم هرگاه قطر A متناهی باشد
۲-زیر مجموعه A از فضای متریک M را کلا کراندار نامیم هرگاه به ازای هر عدد مثبت یک اپسیلون تور متناهی موجود باشد
۳-هر فضای متریک کلا کراندار، کراندار است ولی عکس آن لزوما برقرار نیست
۴-هر فضای متری فشرده کلا کراندار است
۵-کلا کرانداری یک فضای متریک کامل، فشردگی این فضا را ایجاب میکنند
۶-در فضای n بعدی R کرانداری و کلا کرانداری معادلند
۷-در فضای R با متر گسسته، یک زیر مجموعه R کلا کراندار است اگر و تنها اگر متناهی باشد
۸-زیر مجموعه E از فضای متریک M کلا کراندار است اگر. وتنها اگر هر دنباله از نقاط E شامل یک زیر دنباله کوشی باشد
۹-گوی واحد در فضای هیلبرت یا در حالت کلی در فضای باناخ کلا کراندار است اگر بعد فضا متناهی باشد
1۰-یک فضای متریک تفکیک پذیر است اگر و تنها اگر با یک فضای متریک کلا کراندار همسانریخت باشد
11-هر زیر مجموعه یک فضای متریک کلا کراندار خود نیز کلا کراندار است
1۲-هر فضای متریک کلا کراندار و در حالت خاص هر فضای متریک فشرده تفکیک پذیر است
1۳-کرانداری یک مجموعه در متری که در آن بکار رفته بستگی دارد
1۴-هر فضای متریک دلخواه را، میتوان به یک فضای متریک کراندار تبدیل کرد
1۵- مجموعه R با متر اقلیدسی کراندار نیست، ولی میتوان R را با متر جدید کراندار کرد
فرق انتگرال ریمان و انتگرال لبگ
در انتگرال گیری از تابع دلخواه f اختلاف روش کار ریمان و لبگ در نحوه افراز آنهاست.
ریمان دامنه تابع را افراز و مجموع ریمان را به عنوان تقریبی از مساحت زیر نمودار در نظر میگیرد ولی لبگ برد تابع را افراز و مجموعه لبگ را به دست میاورد.
از جمله مزایای روش لبگ نسبت به روش ریمان این است که توابع بیشتری از توابع ریمان انتگرال پذیر را در بر میگیرد.
در انتگرال گیری از تابع دلخواه f اختلاف روش کار ریمان و لبگ در نحوه افراز آنهاست.
ریمان دامنه تابع را افراز و مجموع ریمان را به عنوان تقریبی از مساحت زیر نمودار در نظر میگیرد ولی لبگ برد تابع را افراز و مجموعه لبگ را به دست میاورد.
از جمله مزایای روش لبگ نسبت به روش ریمان این است که توابع بیشتری از توابع ریمان انتگرال پذیر را در بر میگیرد.
مجموعه کانتور فشرده است زیرا اشتراک دلخواه از مجموعه های فشرده، فشرده است.
از طرفی مجموعه نقاط حدی مجموعه کانتور دقیقا برابر خودش است.یعنی هیچ نقطه تنهایی ندارد.
قضیه: یک فضای متریک، ناتهی و فشرده که مجموعه نقاط حدیش دقیقا برابر خودش گردد، ناشماراست.
از طرفی مجموعه نقاط حدی مجموعه کانتور دقیقا برابر خودش است.یعنی هیچ نقطه تنهایی ندارد.
قضیه: یک فضای متریک، ناتهی و فشرده که مجموعه نقاط حدیش دقیقا برابر خودش گردد، ناشماراست.
منظور از مجموعه اعداد حقیقی تو سطوح دبیرستان چهارتایی
(R,+,x,<)
است که یک میدان مرتب است و در ان
(R,x)
یک گروه ضربی جابجایی با عضو همانی یک است.
یعنی هر عضو ناصفرش دارای وارون است، بنابراین تو دستگاه
(R,+,x,<)
وارون ضربی برای صفر موجود نیست.
یعنی صفر به روی صفر یک نمیشه.
(R,+,x,<)
است که یک میدان مرتب است و در ان
(R,x)
یک گروه ضربی جابجایی با عضو همانی یک است.
یعنی هر عضو ناصفرش دارای وارون است، بنابراین تو دستگاه
(R,+,x,<)
وارون ضربی برای صفر موجود نیست.
یعنی صفر به روی صفر یک نمیشه.
نکته ای از انالیز
مجموعه نقاط حدی مجموعه
{(-1)ⁿ/[1+1/n] / nㅌ N}
برابر تهی است.
نماد[ ] جزصحیح است.
مجموعه نقاط حدی مجموعه
{(-1)ⁿ/[1+1/n] / nㅌ N}
برابر تهی است.
نماد[ ] جزصحیح است.
نکته ای از انالیز
تابع، تبدیل، نگاشت،عملگر همه به یک مفهومند یعنی رابطه ای از زوج مرتب ها که مولفه اول انها یکسان نباشد.
حالا مفهوم تابع میشه رو مجموعه، فضای برداری، فضای نرمدار، فضای هیلبرت، جبر باناخ، سی استار جبر، جبر فون نویمان و....... تعریف گردد که در اصل تعریف هیچ خللی ایجاد نمیشه فقط جنس دامنه و هم دامنه تغییر میکند.
برا مثال وقتی تابع روی فضای برداری تعریف میشه جنس اعضامون بردارند و اگر این تابع ویژگی خطی بودن را دارا باشد تابع خطی، تبدیل خطی یا نگاشت خطی مینامیم.
این تفاوت اسمها در فضاهای مختلف ایجاد شده، برا مثال تابع از یک فضای برداری به فضای برداری دیگر را نگاشت یا تبدیل نامیم.
تابع از یک فضای برداری به میدان را تابعک نامیم.
تابع بین دو فضای برداری یکسان را عملگر نامیم.
تابع، تبدیل، نگاشت،عملگر همه به یک مفهومند یعنی رابطه ای از زوج مرتب ها که مولفه اول انها یکسان نباشد.
حالا مفهوم تابع میشه رو مجموعه، فضای برداری، فضای نرمدار، فضای هیلبرت، جبر باناخ، سی استار جبر، جبر فون نویمان و....... تعریف گردد که در اصل تعریف هیچ خللی ایجاد نمیشه فقط جنس دامنه و هم دامنه تغییر میکند.
برا مثال وقتی تابع روی فضای برداری تعریف میشه جنس اعضامون بردارند و اگر این تابع ویژگی خطی بودن را دارا باشد تابع خطی، تبدیل خطی یا نگاشت خطی مینامیم.
این تفاوت اسمها در فضاهای مختلف ایجاد شده، برا مثال تابع از یک فضای برداری به فضای برداری دیگر را نگاشت یا تبدیل نامیم.
تابع از یک فضای برداری به میدان را تابعک نامیم.
تابع بین دو فضای برداری یکسان را عملگر نامیم.
نکاتی در مورد فشردگی در فضا های توپولوژیک
۱-فضای توپولوژیک(X,T )را فشرده گوییم، هرگاه هر پوشش باز X دارای زیر پوشش متناهی باشد.
۲-فرض کنیم مجموعه X متناهی باشد، در این صورت توپولوژی X هر چه باشد (X,T ) فشرده است .
۳_هر فضا که توپولوژی آن متناهی باشد فشرده است .
۴-از نکته ۳ داریم که هر فضای ناگسسته فشرده است.
۵-از نکته ۲ داریم که هر فضای خالی فشرده است.
۶-مجموعه نامتناهی X را با توپولوژی متمم شمارا در نظر بگیرید، در این صورت فضای
(X,T )
فشرده نیست .
۷- مجموعه X را با توپولوژی متمم متناهی در نظر بگیرید ، در این صورت فضای (X,T ) فشرده است.
۸- فرض کنیم A زیرمجموعه ی X باشد و T توپولوژی A-ناشامل باشد، در این صورت فضای (X,T ) فشرده است.
۹- مجموعه نامتناهی X را با توپولوژی {a}-شامل در نظر بگیرید در این صورت فضای (X,T ) فشرده نیست .( aㅌX)
۱۰-در فضای گسسته فشردگی و متناهی بودن معادلند.
۱۱-هر زیر مجموعه بسته ی یک فضای فشرده، خود نیز فشرده است.
۱۲- زیر فضاهای متناهی فضای دلخواه ، خود فضای فشرده اند .
۱۳-زیر مجموعه فشرده یک فضای هاسدورف، بسته است.
۱۴-فشردگی تحت تابع پیوسته حفظ میگردد .
۱۵-فشردگی یک خاصیت توپولوژیک است .
۱۶-اگر X فشرده و Y هاسدورف باشد، در این صورت هر تابع پیوسته f: X→Y، بسته است .
۱۷-اگر X فشرده و Y هاسدورف باشد، در این صورت هر تناظر یک به یک و پیوسته f: X→Y، یک همسانریختی است .
۱۸-حاصل ضرب تعداد متناهی از فضاهای فشرده، فشرده است.
۱۹-در توپولوژی متمم شمارا تنها زیرمجموعه های فشرده، زیرمجموعه های متناهی اند .
۲۰-هر زیر مجموعه نامتناهی یک فضای فشرده ، حداقل دارای یک نقطه اجتماع است .
۲۱-توپولوژی شعاع راست در R فشرده نیست .
۲۲-در یک فضای هاسدورف، اشتراک دلخواه از زیرمجموعه های فشرده، فشرده است .
۲۳-فضای فشرده شده ی تک نقطهای فضای Rⁿ، با کره n بعدی، همسانریخت است.
۱-فضای توپولوژیک(X,T )را فشرده گوییم، هرگاه هر پوشش باز X دارای زیر پوشش متناهی باشد.
۲-فرض کنیم مجموعه X متناهی باشد، در این صورت توپولوژی X هر چه باشد (X,T ) فشرده است .
۳_هر فضا که توپولوژی آن متناهی باشد فشرده است .
۴-از نکته ۳ داریم که هر فضای ناگسسته فشرده است.
۵-از نکته ۲ داریم که هر فضای خالی فشرده است.
۶-مجموعه نامتناهی X را با توپولوژی متمم شمارا در نظر بگیرید، در این صورت فضای
(X,T )
فشرده نیست .
۷- مجموعه X را با توپولوژی متمم متناهی در نظر بگیرید ، در این صورت فضای (X,T ) فشرده است.
۸- فرض کنیم A زیرمجموعه ی X باشد و T توپولوژی A-ناشامل باشد، در این صورت فضای (X,T ) فشرده است.
۹- مجموعه نامتناهی X را با توپولوژی {a}-شامل در نظر بگیرید در این صورت فضای (X,T ) فشرده نیست .( aㅌX)
۱۰-در فضای گسسته فشردگی و متناهی بودن معادلند.
۱۱-هر زیر مجموعه بسته ی یک فضای فشرده، خود نیز فشرده است.
۱۲- زیر فضاهای متناهی فضای دلخواه ، خود فضای فشرده اند .
۱۳-زیر مجموعه فشرده یک فضای هاسدورف، بسته است.
۱۴-فشردگی تحت تابع پیوسته حفظ میگردد .
۱۵-فشردگی یک خاصیت توپولوژیک است .
۱۶-اگر X فشرده و Y هاسدورف باشد، در این صورت هر تابع پیوسته f: X→Y، بسته است .
۱۷-اگر X فشرده و Y هاسدورف باشد، در این صورت هر تناظر یک به یک و پیوسته f: X→Y، یک همسانریختی است .
۱۸-حاصل ضرب تعداد متناهی از فضاهای فشرده، فشرده است.
۱۹-در توپولوژی متمم شمارا تنها زیرمجموعه های فشرده، زیرمجموعه های متناهی اند .
۲۰-هر زیر مجموعه نامتناهی یک فضای فشرده ، حداقل دارای یک نقطه اجتماع است .
۲۱-توپولوژی شعاع راست در R فشرده نیست .
۲۲-در یک فضای هاسدورف، اشتراک دلخواه از زیرمجموعه های فشرده، فشرده است .
۲۳-فضای فشرده شده ی تک نقطهای فضای Rⁿ، با کره n بعدی، همسانریخت است.
نکاتی در مورد فضاهای بازتابی (reflexive Spaces )
1-فضای نرمدار X ، بازتابی است اگر نشاننده طبیعی از X به توی دوگان دوم X یعنی **X برو باشد.
۲-هر فضای نرمدار بازتابی یک فضای باناخ است .
۳-هر فضای یکریخت با فضای نرمدار بازتابی، خود بازتابی است.
۴-هر فضای نرمدار متناهی البعد بازتابی است .
۵-فضای Lp پی، و lp، بازتابی اند (برای p>1 <∞)
6-هر زیر فضای بسته یک فضای بازتابی خود نیز بازتابی است.
۷-فضای نرمدار X بازتابی است اگر و تنها اگر *X بازتابی باشد .
۸-اگر X یک فضای بازتابی و M زیر فضای بسته آن باشد آنگاه فضای خرج قسمتی X/M نیز بازتابی است
۹-اگر فضای نرمدار X برابر باشد با دایرکسام (جمع مستقیم)، n تا X آنگاه X بازتابی است اگر و تنها اگر هر X اندیس n بازتابی باشد.
۱۰-فرض کنیم X فضای نرمدار بازتابی و Y فضای باناخ باشد و یک عملگر خطی از X به روی Y موجود باشد آنگاه Y بازتابی است .
۱۱-فضای l¹ و ∞l غیر بازتابی اند .
۱۳-فضاهای L¹و ∞L بازتابی اند اگر و تنها اگر متناهی البعد باشند .
۱۳- فضاهای L¹ و ∞L، بازه [0,1] غیر بازتابی اند.
۱۴-هر فضای هیلبرت یک فضای بازتابی است .
۱۵-یک فضای باناخ الزاما بازتابی نیست .
۱۶-فضای جیمز یک فضای باناخ غیر بازتابی است.
1-فضای نرمدار X ، بازتابی است اگر نشاننده طبیعی از X به توی دوگان دوم X یعنی **X برو باشد.
۲-هر فضای نرمدار بازتابی یک فضای باناخ است .
۳-هر فضای یکریخت با فضای نرمدار بازتابی، خود بازتابی است.
۴-هر فضای نرمدار متناهی البعد بازتابی است .
۵-فضای Lp پی، و lp، بازتابی اند (برای p>1 <∞)
6-هر زیر فضای بسته یک فضای بازتابی خود نیز بازتابی است.
۷-فضای نرمدار X بازتابی است اگر و تنها اگر *X بازتابی باشد .
۸-اگر X یک فضای بازتابی و M زیر فضای بسته آن باشد آنگاه فضای خرج قسمتی X/M نیز بازتابی است
۹-اگر فضای نرمدار X برابر باشد با دایرکسام (جمع مستقیم)، n تا X آنگاه X بازتابی است اگر و تنها اگر هر X اندیس n بازتابی باشد.
۱۰-فرض کنیم X فضای نرمدار بازتابی و Y فضای باناخ باشد و یک عملگر خطی از X به روی Y موجود باشد آنگاه Y بازتابی است .
۱۱-فضای l¹ و ∞l غیر بازتابی اند .
۱۳-فضاهای L¹و ∞L بازتابی اند اگر و تنها اگر متناهی البعد باشند .
۱۳- فضاهای L¹ و ∞L، بازه [0,1] غیر بازتابی اند.
۱۴-هر فضای هیلبرت یک فضای بازتابی است .
۱۵-یک فضای باناخ الزاما بازتابی نیست .
۱۶-فضای جیمز یک فضای باناخ غیر بازتابی است.
نکاتی درباره مجموعه کانتور
۱-مجموعه کانتور فشرده است
۲-مجموعه کانتور بی نقص است
۳-مجموعه کانتور ناشماراست
۴-مجموعه کانتور کلا ناهمبند
است
۵-مرز مجموعه کانتور با خودش برابر است
۶-درون مجموعه کانتور تهی است
۷-مجموعه کانتور برابر است با مجموعه همه X هایی متعلق به بازه [۱,۰]که یک بسط سه سه ای متشکل فقط از ۰ و ۲ اند
۸-مجوعه کانتور زیرمجموعه
[ ۱, ۰] است
۹-مجموعه کانتور هیچ جا چگال است
۱۰-مجموع طول های بازه هایی
که از [۱, ۰ ]حذف شده تا مجموعه کانتور به دست آید برابر یک است
۱۱-کاردینال مجموعه کانتور با کاردینال مجموعه اعداد حقیقی برابر است
۱۲—مجموعه کانتور زیر مجموعه ای دارد که اندازه پذیر بورل نیست
۱۳-اندازه لبگ مجموعه کانتور صفر است لذا هر زیر مجموعه کانتور دارای اندازه لبگ صفر است
۱۴-فرض کنیم C مجموعه کانتور باشد در این صورت C-C برابر است با [۱ , ۱—] و همچنین C+C برا"بر است با [ ۲ ,۰]
۱-مجموعه کانتور فشرده است
۲-مجموعه کانتور بی نقص است
۳-مجموعه کانتور ناشماراست
۴-مجموعه کانتور کلا ناهمبند
است
۵-مرز مجموعه کانتور با خودش برابر است
۶-درون مجموعه کانتور تهی است
۷-مجموعه کانتور برابر است با مجموعه همه X هایی متعلق به بازه [۱,۰]که یک بسط سه سه ای متشکل فقط از ۰ و ۲ اند
۸-مجوعه کانتور زیرمجموعه
[ ۱, ۰] است
۹-مجموعه کانتور هیچ جا چگال است
۱۰-مجموع طول های بازه هایی
که از [۱, ۰ ]حذف شده تا مجموعه کانتور به دست آید برابر یک است
۱۱-کاردینال مجموعه کانتور با کاردینال مجموعه اعداد حقیقی برابر است
۱۲—مجموعه کانتور زیر مجموعه ای دارد که اندازه پذیر بورل نیست
۱۳-اندازه لبگ مجموعه کانتور صفر است لذا هر زیر مجموعه کانتور دارای اندازه لبگ صفر است
۱۴-فرض کنیم C مجموعه کانتور باشد در این صورت C-C برابر است با [۱ , ۱—] و همچنین C+C برا"بر است با [ ۲ ,۰]
نکاتی از آنالیز
۱- کوشی بودن،هم بندی، فشرگی تحت پیوستگی یکنواخت حفظ میگردد.
۲- زیر مجموعه هم بند ماکسیمال را مولفه گوییم.
۳- متر گسسته در دامنه، هر تابعی را پیوسته میسازد.
۴- متر گسسته روی دامنه، هر تابع دلخواه را پیوسته یکنواخت میکند.
۵- پیوستگی یکنواخت تحت ترکیب توابع حفظ میگردد.
۶- پیوستگی یکنواخت تحت عمل جمع بسته است.
۷- پیوستگی یکنواخت تحت عمل ضرب بسته نیست.
۸- تابع یکنوا ناپبوستگی نوع دوم ندارد.
۹- مجموعه نقاط ناپیوستگی تابع یکنوا حداکثر شماراست.
۱۰- هر تابع یکنوا در هر زیربازه دلخواه نقطه پیوستگی دارد.
۱۱- هر فضای متریک کمانی همبند، فضایی هم بند است.
۱۲- محدب بودن تحت اشتراک دلخواه بسته است.
۱۳- محدب بودن تحت اجتماع متناهی بسته نیست.
۱۴- بستار و درون یک مجموعه محدب، محدب است.
۱- کوشی بودن،هم بندی، فشرگی تحت پیوستگی یکنواخت حفظ میگردد.
۲- زیر مجموعه هم بند ماکسیمال را مولفه گوییم.
۳- متر گسسته در دامنه، هر تابعی را پیوسته میسازد.
۴- متر گسسته روی دامنه، هر تابع دلخواه را پیوسته یکنواخت میکند.
۵- پیوستگی یکنواخت تحت ترکیب توابع حفظ میگردد.
۶- پیوستگی یکنواخت تحت عمل جمع بسته است.
۷- پیوستگی یکنواخت تحت عمل ضرب بسته نیست.
۸- تابع یکنوا ناپبوستگی نوع دوم ندارد.
۹- مجموعه نقاط ناپیوستگی تابع یکنوا حداکثر شماراست.
۱۰- هر تابع یکنوا در هر زیربازه دلخواه نقطه پیوستگی دارد.
۱۱- هر فضای متریک کمانی همبند، فضایی هم بند است.
۱۲- محدب بودن تحت اشتراک دلخواه بسته است.
۱۳- محدب بودن تحت اجتماع متناهی بسته نیست.
۱۴- بستار و درون یک مجموعه محدب، محدب است.
نکاتی راجع به تفکیک پذیری
۱-فضای متریک (E,d) را تفکیک پذیر نامیم هرگاه E حداقل یک زیر مجموعه حداکثر شمارا داشته باشد.
۲-اگر فضای E یک زیر متناهی چگال داشته باشد آنگاه E متناهی است .
۳-فضای متریک گسسته E وقتی تفکیک پذیر است که E حداکثر شمارا باشد .
۴-اگر E فضای k تفکیک پذیر و F خانواده مجموعه های باز ناتهی دوبه دو جدا از هم در E باشد، F حداکثر شماراست.
۵-فضای متریک E تفکیک پذیر است اگر و تنها اگر حداقل یک پایه حداکثر شمارا داشته باشد .
۶-اگر فضای متریک (E, d) تفکیک پذیر و (F, d) زیر مجموعه مخالف تهی آن باشد F نیز تفکیک پذیر است.
۷-هر فضای متریک فشرده تفکیک پذیر است
۸-فرض کنیم E تفکیک پذیر و S زیر مجموعه E و S' مجموعه نقاط تراکم S باشدS-'S حداکثر شماراست
۹-اگر E فضای متریک و S زیر مجموعه ناشمارا آن باشد آنگاه S' مجموعه بی نقص است .
۱۰-هر فضای هیلبرتی الزاما تفکیک پذیر نیست
۱۱-فضای هیلبرت نامتناهی البعد H تفکیک پذیر است اگر و تنها اگر دارای پایه یکا متعامد شمارا داشته باشد
۱۲-فضای هیلبرت نامتناهی البعد H تفکیک پذیر است اگر و تنها اگر با ( l²) به طور خطی طولپا باشد
۱-فضای متریک (E,d) را تفکیک پذیر نامیم هرگاه E حداقل یک زیر مجموعه حداکثر شمارا داشته باشد.
۲-اگر فضای E یک زیر متناهی چگال داشته باشد آنگاه E متناهی است .
۳-فضای متریک گسسته E وقتی تفکیک پذیر است که E حداکثر شمارا باشد .
۴-اگر E فضای k تفکیک پذیر و F خانواده مجموعه های باز ناتهی دوبه دو جدا از هم در E باشد، F حداکثر شماراست.
۵-فضای متریک E تفکیک پذیر است اگر و تنها اگر حداقل یک پایه حداکثر شمارا داشته باشد .
۶-اگر فضای متریک (E, d) تفکیک پذیر و (F, d) زیر مجموعه مخالف تهی آن باشد F نیز تفکیک پذیر است.
۷-هر فضای متریک فشرده تفکیک پذیر است
۸-فرض کنیم E تفکیک پذیر و S زیر مجموعه E و S' مجموعه نقاط تراکم S باشدS-'S حداکثر شماراست
۹-اگر E فضای متریک و S زیر مجموعه ناشمارا آن باشد آنگاه S' مجموعه بی نقص است .
۱۰-هر فضای هیلبرتی الزاما تفکیک پذیر نیست
۱۱-فضای هیلبرت نامتناهی البعد H تفکیک پذیر است اگر و تنها اگر دارای پایه یکا متعامد شمارا داشته باشد
۱۲-فضای هیلبرت نامتناهی البعد H تفکیک پذیر است اگر و تنها اگر با ( l²) به طور خطی طولپا باشد
روش های تشخیص یک عملگر فشرده
فرض کنیم
T:X→Y
عملگری خطی بین دو فضای نرمدار باشد در این صورت داریم:
۱-اگر T عملگری کراندار و بعد TX متناهی باشد آنگاه عملگر T فشرده است .
۲-اگر بعد X متناهی باشد آنگاه عملگر T فشرده است .
۳-فشردگی T معادل است با این که برای هر دنباله کراندار y اندیس n، دنباله Ty اندیس n، حداقل یک زیر دنباله همگرا داشته باشد .
۴_مجموعه همه عملگرهای خطی فشرده، یک فضای برداری است .
۵-عملگر T فشرده است هرگاه به ازای هر مجموعه کراندار M از X، بستار TM در Y فشرده باشد .
۶-هر عملگر خطی فشرده، خود یک عملگر کراندار و لذا پیوسته است .
۷-اگر بعد X، بینهایت باشد آنگاه یک عملگر پیوسته الزاما فشرده نمیباشد .
۸-فرض کنیم Y یک فضای باناخ و T اندیس n دنباله ای از عملگرهای خطی فشرده باشد که با نرم عملگری به T میل کند آنگاه T عملگری فشرده است .
۹-اگر در ۸، همگرایی نقطه به نقطه باشد الزاما T فشرده نمیباشد .
۱۰-در ۸ منظور همگرایی یکنواخت و در ۹ منظور همگرایی قوی میباشد.
فرض کنیم
T:X→Y
عملگری خطی بین دو فضای نرمدار باشد در این صورت داریم:
۱-اگر T عملگری کراندار و بعد TX متناهی باشد آنگاه عملگر T فشرده است .
۲-اگر بعد X متناهی باشد آنگاه عملگر T فشرده است .
۳-فشردگی T معادل است با این که برای هر دنباله کراندار y اندیس n، دنباله Ty اندیس n، حداقل یک زیر دنباله همگرا داشته باشد .
۴_مجموعه همه عملگرهای خطی فشرده، یک فضای برداری است .
۵-عملگر T فشرده است هرگاه به ازای هر مجموعه کراندار M از X، بستار TM در Y فشرده باشد .
۶-هر عملگر خطی فشرده، خود یک عملگر کراندار و لذا پیوسته است .
۷-اگر بعد X، بینهایت باشد آنگاه یک عملگر پیوسته الزاما فشرده نمیباشد .
۸-فرض کنیم Y یک فضای باناخ و T اندیس n دنباله ای از عملگرهای خطی فشرده باشد که با نرم عملگری به T میل کند آنگاه T عملگری فشرده است .
۹-اگر در ۸، همگرایی نقطه به نقطه باشد الزاما T فشرده نمیباشد .
۱۰-در ۸ منظور همگرایی یکنواخت و در ۹ منظور همگرایی قوی میباشد.
نکاتی راجع به *c جبر ها
1-فرض کنیم A یک جبر باشد عملگر * را را یک برگشت نامیم هرگاه در شرایط زیر صدق کند
الف:عملگر ** برای هر عضو A عملگر همانی باشد
ب:عملگر* ویژگی مزدوج خطی را دارا باشد
ج:تصویر xy تحت عملگر * برابر *y*xگردد.
در این صورت به جفت (*, A) جبر ستاره دار گوییم
۲-اگر در نکته یک A یک جبر باناخ باشد به جفت (*, A) جبر باناخ ستاره دار گوییم
۳-جبر باناخ ستاره دار را *c جبر نامیم هرگاه در شرط زیر صدق کند:
ll x *x ll=ll x ll²
۴-برگشت در تعریف *c جبر، ایزومتری است
۵-تصویر عضو همانی دامنه در تعریف *c جبر برابر عضو همانی برد است
۶-وارون پذیری x و *x در یک *c جبر معادلند
۷ - شعاع طیفی x و *x در یک *c جبر یکی اند
۸-طیف عضو *x در یک *c جبر برابر است با مزدوج طیف x
9-ساده ترین *c جبر، مجموعه اعداد مختلط، است که تابع * برابر است با مزدوج اعضا
۱۰-فضای توابع پیوسته روی فضای هاسدورف و فشرده K، یک *c جبر است، که تابع * برابر است با مزدوج اعضا
11-جبر باناخ L بینهایت ، یک *c جبر است که تابع * برابر است با مزدوج اعضا
۱۲-جبر باناخ(B(H یک *c جبر است که تابع * برابر است با الحاق اعضا
۱۳-جبر باناخ ماتریس های n در n، یک *c جبر است که تابع الحاق برابر است با الحاق اعضا
۱۵-جا به جایی بودن، *c جبر معادل است با جمله زیر:
تبدیل گلفاند ایزومتریک بوده و عملگر * نسبت به آن پایا میباشد
۱۵-یک *c جبر توسط عناصر یکانی خود تولید میگردد
۱۶-نگاشت F را بین دو *c جبر A و B، یک *c همریختی گوییم هرگاه F دارای خواص زیر باشد
الف:نگاشت F خطی باشد
ب:نگاشت F ضربی باشد
ج:تصویر *x تحت F برابر *(F(x گردد
د:نگاشت F عضو همانی A را به عضو همانی B تصویر کند
۱۷-اگر F یک به یک باشد F را *c یکریختی نامیم
۱۸-نگاشت تعریف شده در ۱۶ پیوسته، انقباضی و کراندار است
۱۹- فرض کنیم a عضوی از *C جبر یکدار A باشد در این صورت a را میتوان به صورت ترکیب خطی از موارد زیر نوشت:
الف: دو عضو خودالحاق از A
ب: چهار عضو مثبت از A
ج: چهار عضو یکانی (unitary )از A
۲۰ - فرض کنیم A یک *C جبر یکدار باشد و a عضو وارون پذیر از A باشد. در این صورت a متعلق است به *C زیر جبر تولید شده توسط{ ٭e,a,a}
۲۱ -هر عضو مثبت در یک *C جبر، ریشه دوم مثبت یکتا دارد
۲۲ -اگر a < b > • دو عضو *C جبر A باشند آنگاه:
a½ < b½
۲۳ -در حالت کلی a < b رابطه زیر را نتیجه نمیدهد
a² < b²
1-فرض کنیم A یک جبر باشد عملگر * را را یک برگشت نامیم هرگاه در شرایط زیر صدق کند
الف:عملگر ** برای هر عضو A عملگر همانی باشد
ب:عملگر* ویژگی مزدوج خطی را دارا باشد
ج:تصویر xy تحت عملگر * برابر *y*xگردد.
در این صورت به جفت (*, A) جبر ستاره دار گوییم
۲-اگر در نکته یک A یک جبر باناخ باشد به جفت (*, A) جبر باناخ ستاره دار گوییم
۳-جبر باناخ ستاره دار را *c جبر نامیم هرگاه در شرط زیر صدق کند:
ll x *x ll=ll x ll²
۴-برگشت در تعریف *c جبر، ایزومتری است
۵-تصویر عضو همانی دامنه در تعریف *c جبر برابر عضو همانی برد است
۶-وارون پذیری x و *x در یک *c جبر معادلند
۷ - شعاع طیفی x و *x در یک *c جبر یکی اند
۸-طیف عضو *x در یک *c جبر برابر است با مزدوج طیف x
9-ساده ترین *c جبر، مجموعه اعداد مختلط، است که تابع * برابر است با مزدوج اعضا
۱۰-فضای توابع پیوسته روی فضای هاسدورف و فشرده K، یک *c جبر است، که تابع * برابر است با مزدوج اعضا
11-جبر باناخ L بینهایت ، یک *c جبر است که تابع * برابر است با مزدوج اعضا
۱۲-جبر باناخ(B(H یک *c جبر است که تابع * برابر است با الحاق اعضا
۱۳-جبر باناخ ماتریس های n در n، یک *c جبر است که تابع الحاق برابر است با الحاق اعضا
۱۵-جا به جایی بودن، *c جبر معادل است با جمله زیر:
تبدیل گلفاند ایزومتریک بوده و عملگر * نسبت به آن پایا میباشد
۱۵-یک *c جبر توسط عناصر یکانی خود تولید میگردد
۱۶-نگاشت F را بین دو *c جبر A و B، یک *c همریختی گوییم هرگاه F دارای خواص زیر باشد
الف:نگاشت F خطی باشد
ب:نگاشت F ضربی باشد
ج:تصویر *x تحت F برابر *(F(x گردد
د:نگاشت F عضو همانی A را به عضو همانی B تصویر کند
۱۷-اگر F یک به یک باشد F را *c یکریختی نامیم
۱۸-نگاشت تعریف شده در ۱۶ پیوسته، انقباضی و کراندار است
۱۹- فرض کنیم a عضوی از *C جبر یکدار A باشد در این صورت a را میتوان به صورت ترکیب خطی از موارد زیر نوشت:
الف: دو عضو خودالحاق از A
ب: چهار عضو مثبت از A
ج: چهار عضو یکانی (unitary )از A
۲۰ - فرض کنیم A یک *C جبر یکدار باشد و a عضو وارون پذیر از A باشد. در این صورت a متعلق است به *C زیر جبر تولید شده توسط{ ٭e,a,a}
۲۱ -هر عضو مثبت در یک *C جبر، ریشه دوم مثبت یکتا دارد
۲۲ -اگر a < b > • دو عضو *C جبر A باشند آنگاه:
a½ < b½
۲۳ -در حالت کلی a < b رابطه زیر را نتیجه نمیدهد
a² < b²
نکاتی در مورد جبر های باناخ
1-تعریف جبر :فرض کنیم(., +,A) یک فضای برداری باشد. ضرب جدید * را روی A با خواص زیر تعریف میکنیم
الف:خاصیت شرکت پذیری
(x*y) *z=x*(y*z)
ب:ضرب * نسبت به مولفه اول و دوم خطی باشد.
در این صورت به چهارتایی
(*, . , +, A)
جبر گوییم.
۲-تعریف جبر نرمدار :
جبر (*, . , +, A) را یک جبر نرمدار نامیم هرگاه یک نرم روی A موجود باشد که A را به یک فضای نرمدار تبدیل کند و در نامساوی ضربی زیر نیز صدق کند :
ااxاا ااyاا≥ااxyاا
یعنی ۵ تایی (اا اا,*,.,+, A) جبر نرمدار گوییم.
۳-نامساوی ااxاا ااyاا ≥ ااx*yاا ضرب را یک عمل پیوسته میسازد .
۴-جبر نرمدار (اا اا,*,.,+, A) را جبر باناخ نامیم هرگاه A نسبت به متر القایی توسط نرم اا اا کامل باشد.
۵-هرگاه A جبر باناخ با یکه e باشد که ۱ = اا e اا در این صورت جبر باناخ را یکدار نامیم.
۶-ساده ترین جبر باناخ ، میدان مختلط، است که تابع نرم برابر است با قدرمطلق یعنی ا ا=اا اا
۷-فضای توابع پیوسته روی فضای هاسدورف و فشرده K، یک جبر باناخ با نرم sup است که ضرب * همان ضرب توابع میباشد .
۸-فضای L بینهایت ، یک جبر باناخ است .
۹-فضای (B(H یک جبر باناخ با نرم عملگری میباشد که ضرب * همان ترکیب عملگرها میباشد.
۱۰-جبر باناخ ماتریس های n در n، یک جبر باناخ با نرم ماتریسی میباشد که ضرب * را ضرب ماتریسی تعریف میکنیم .
۱۰-اگر A جبر باناخ باشد مجموعه تمام عناصر وارون پذیر A را با ( G(A نمایش میدهیم که یک گروه ضربی میباشد.
۱۱-اگر K هاسدورف فشرده باشد ( G(K متشکل از تمام توابعی است که صفر نمیگردد.
۱۲-اگر H فضای هیلبرت باشد ( G(BH متشکل از همه عملگرهای یک به یک و پوشا میگردد.
۱۳-در ۱۲ اگر بعد H متناهی باشد ( G(BH متشکل از همه عملگرهای یک به یک میباشد .
۱۴-برای هر جبر باناخ A گروه وارون پذیر ( G(A در A یک مجموعه باز میباشد.
۱۵ -هر تابع از A به ( G(A پیوسته میباشد .
۱۶-اگر A یک جبر باناخ و ( K(A مولفه همبند ( G(A و شامل عضو همانی e باشد آنگاه ( K(A زیر گروه باز، بسته و نرمال ( G(A میباشد.
۱۷-هم دسته های ( K(A دقیقا مولفه های هم بند ( G(A میباشند.
۱۸-اگر A جبر باناخ و x عضوی از A باشد طیف x، ناتهی و فشرده میباشد .
۱۹-اگر A جبر باناخ باشد که در آن هر عضو غیر صفر وارون پذیر باشد در این صورت A با C یکریخت، طولپا میباشد.
۲۰-اگر F یک تابعک خطی ضربی بر جبر باناخ A باشد آنگاه داریم :
1 = ااF اا
۲۱-فضای ایده آل ماکسیمال جبر باناخ A متشکل از تمام تابعکهای خطی، ضربی A میباشد.
۲۲- فضای ایده آل ماکسیمال جبر باناخ جابهجایی A، با خود A در تناظر یک به یک میباشد.
۲۳-هر جبر جابجایی دارای ایده آل های ماکسیمال سره میباشد .
۲۴-یک تابعک خطی ضربی همواره مجموعه باز A را به مجموعه های C تصویر میکند .
۲۵-فرض کنیم فضای ایده آل ماکسیمال جبر باناخ A برابر M باشد در این صورت نگاشت F از A به ( C(M را تبدیل گلفاند نامیم که هر عضو x از A را عضوی
از ( C(M تصویر میکند .
۲۶-تبدیل گلفاند یک همریختی جبری باناخ از A به توی فضای ایده آل ماکسیمال A، میباشد که انقباضی نیز است .
۲۷-تبدیل گلفاند در حالت کلی نه یک به یک و نه پوشاست.
۲۸-فرض A جبر باناخ جابجایی باشد در این صورت تبدیل گلفاند طولپا است اگر و تنها اگر
llx²ll=llxll²
1-تعریف جبر :فرض کنیم(., +,A) یک فضای برداری باشد. ضرب جدید * را روی A با خواص زیر تعریف میکنیم
الف:خاصیت شرکت پذیری
(x*y) *z=x*(y*z)
ب:ضرب * نسبت به مولفه اول و دوم خطی باشد.
در این صورت به چهارتایی
(*, . , +, A)
جبر گوییم.
۲-تعریف جبر نرمدار :
جبر (*, . , +, A) را یک جبر نرمدار نامیم هرگاه یک نرم روی A موجود باشد که A را به یک فضای نرمدار تبدیل کند و در نامساوی ضربی زیر نیز صدق کند :
ااxاا ااyاا≥ااxyاا
یعنی ۵ تایی (اا اا,*,.,+, A) جبر نرمدار گوییم.
۳-نامساوی ااxاا ااyاا ≥ ااx*yاا ضرب را یک عمل پیوسته میسازد .
۴-جبر نرمدار (اا اا,*,.,+, A) را جبر باناخ نامیم هرگاه A نسبت به متر القایی توسط نرم اا اا کامل باشد.
۵-هرگاه A جبر باناخ با یکه e باشد که ۱ = اا e اا در این صورت جبر باناخ را یکدار نامیم.
۶-ساده ترین جبر باناخ ، میدان مختلط، است که تابع نرم برابر است با قدرمطلق یعنی ا ا=اا اا
۷-فضای توابع پیوسته روی فضای هاسدورف و فشرده K، یک جبر باناخ با نرم sup است که ضرب * همان ضرب توابع میباشد .
۸-فضای L بینهایت ، یک جبر باناخ است .
۹-فضای (B(H یک جبر باناخ با نرم عملگری میباشد که ضرب * همان ترکیب عملگرها میباشد.
۱۰-جبر باناخ ماتریس های n در n، یک جبر باناخ با نرم ماتریسی میباشد که ضرب * را ضرب ماتریسی تعریف میکنیم .
۱۰-اگر A جبر باناخ باشد مجموعه تمام عناصر وارون پذیر A را با ( G(A نمایش میدهیم که یک گروه ضربی میباشد.
۱۱-اگر K هاسدورف فشرده باشد ( G(K متشکل از تمام توابعی است که صفر نمیگردد.
۱۲-اگر H فضای هیلبرت باشد ( G(BH متشکل از همه عملگرهای یک به یک و پوشا میگردد.
۱۳-در ۱۲ اگر بعد H متناهی باشد ( G(BH متشکل از همه عملگرهای یک به یک میباشد .
۱۴-برای هر جبر باناخ A گروه وارون پذیر ( G(A در A یک مجموعه باز میباشد.
۱۵ -هر تابع از A به ( G(A پیوسته میباشد .
۱۶-اگر A یک جبر باناخ و ( K(A مولفه همبند ( G(A و شامل عضو همانی e باشد آنگاه ( K(A زیر گروه باز، بسته و نرمال ( G(A میباشد.
۱۷-هم دسته های ( K(A دقیقا مولفه های هم بند ( G(A میباشند.
۱۸-اگر A جبر باناخ و x عضوی از A باشد طیف x، ناتهی و فشرده میباشد .
۱۹-اگر A جبر باناخ باشد که در آن هر عضو غیر صفر وارون پذیر باشد در این صورت A با C یکریخت، طولپا میباشد.
۲۰-اگر F یک تابعک خطی ضربی بر جبر باناخ A باشد آنگاه داریم :
1 = ااF اا
۲۱-فضای ایده آل ماکسیمال جبر باناخ A متشکل از تمام تابعکهای خطی، ضربی A میباشد.
۲۲- فضای ایده آل ماکسیمال جبر باناخ جابهجایی A، با خود A در تناظر یک به یک میباشد.
۲۳-هر جبر جابجایی دارای ایده آل های ماکسیمال سره میباشد .
۲۴-یک تابعک خطی ضربی همواره مجموعه باز A را به مجموعه های C تصویر میکند .
۲۵-فرض کنیم فضای ایده آل ماکسیمال جبر باناخ A برابر M باشد در این صورت نگاشت F از A به ( C(M را تبدیل گلفاند نامیم که هر عضو x از A را عضوی
از ( C(M تصویر میکند .
۲۶-تبدیل گلفاند یک همریختی جبری باناخ از A به توی فضای ایده آل ماکسیمال A، میباشد که انقباضی نیز است .
۲۷-تبدیل گلفاند در حالت کلی نه یک به یک و نه پوشاست.
۲۸-فرض A جبر باناخ جابجایی باشد در این صورت تبدیل گلفاند طولپا است اگر و تنها اگر
llx²ll=llxll²