اعضای توپولوژی ضعیف ستاره صورت زیرند:
الف: تصویر وارون های تابعک های خطی به فرم زیر
F: x*→K (K میدان)
F(f)=f(a)
(که f عضو *x و a عضو x میباشد)
ب:همه اشتراک های متناهی اعضای تابعک های معرفی شده در الف
ج:همه اجتماع های دلخواه اعضای ب
الف: تصویر وارون های تابعک های خطی به فرم زیر
F: x*→K (K میدان)
F(f)=f(a)
(که f عضو *x و a عضو x میباشد)
ب:همه اشتراک های متناهی اعضای تابعک های معرفی شده در الف
ج:همه اجتماع های دلخواه اعضای ب
نکاتی در مورد:
توپولوژی نرم (توپولوژی قوی یا توپولوژی اصلی)، توپولوژی ضعیف، توپولوژی ضعیف ستاره
فرض کنیم X یک مجموعه و Л خانواده ای از توابع از X به توی فضای توپولوژیکی Y باشد توپولوژی ضعیف بر X که توسط Л القا می شود کوچکترین توپولوژی بر X است که هر عضو Л را پیوسته می سازد
نحوه ساختن توپولوژی ضعیف بر مجموعه X
فرض کنیم X یک مجموعه و (Y , T) یک فضای توپولوژیک باشد، هدف ساختن توپولوژیی است که هر عضو گردایه {(f: X→ (Y , T } را پیوسته سازد و در عین حال ضعیف ترین توپولوژی باشد.
مراحل ساختن:
مرحله اول:
بتدا هر عضو u از توپولوژی T را تحت تابع وارون f تصویر میکنیم، در این صورت یک گردایه ای از زیر مجموعه های X را خواهیم داشت که لزوما تشکیل توپولوژی نمیدهد و نام آن را Л قرار میدهیم.
مرحله دوم:
برای تشکیل چنین توپولوژی نیاز به یک پایه داریم.
برای تشکیل این پایه اشتراک های متناهی گردایه Л را که در مرحله اول ساخته شده را در نظر میگیریم ، لذا گردایه ای از اشتراک های متناهی خواهیم داشت که آن را Б مینامیم (بدیهی است که Б اعضای Л را نیز در بر دارد.)
مرحله سوم:
بدیهی است که Л تشکیل یک پایه میدهد.
اکنون اجتماع های دلخواه از اعضای پایه Л که در مرحله دوم ساخته شده را در نظر میگیریم، این اجتماع های دلخواه تشکیل یک توپولوژی میدهد به نام Г که توپولوژی ضعیف نام دارد (یعنی ضعیف ترین توپولوژی بر X که هر عضو گردایه {(f: X→ (Y , T } را پیوسته میسازد)
نتیجه: گردایه Л که در مرحله اول ساخته شده یک زیر پایه برای توپولوژی جدید به وجود آمده در مرحله سوم یعنی Г میباشد.
۲-اگر ما X را با توپولوژی گسسته مجهز کنیم بزرگترین (قویترین) توپولوژی به دست می آید
۳- سه توپولوژی روی *x (دوگان x) به صورت زیر تعریف میکنیم:
الف: توپولوژی نرم (یا توپولوژی اصلی یا توپولوژی قوی عملگرها )
در قسمت الف منظور از همگرایی قوی همان همگرایی نرم است که به صورت زیر میباشد:
fⁿ→f
اگر وتنها اگر
ll fⁿ-fll→0
یعنی
Sup { lfⁿ(x) - f(x)l / llxll≤1 } →0
( توجه کنید fⁿ دنباله ای از تابعکها روی *x میباشد)
ب: توپولوژی ضعیف ستاره:
توپولوژی ضعیف ستاره برابر است با گردایه همه تابعک های خطی مانند f اندیس a است که روی *x تعریف میشوند ( a متعلق به x است )
همگرایی ضعیف ستاره به صورت زير میباشد:
fⁿ→f
اگر وتنها اگر برای هر a عضو x
l fⁿ(a) - f(a)l→0
ج: توپولوژی ضعیف:
توپولوژی ضعیف برابر است با گردایه تمام تابعک های خطی روی *x که به صورت f اندیس a ( که a عضوی از **x میباشد)
همگرایی در توپولوژی ضعیف به صورت زیر میباشد:
fⁿ→f
اگر وتنها اگر برای هر a عضو **x
l fⁿ(a) - f(a)l→0
4-توپولوژی ضعیف و توپولوژی ضعیف ستاره هاسدورف اند
۵-اگر فضای باناخ X متناهی البعد باشد توپولوژی ضعیف و معمولی یکی اند
۶-وقتی که بیان میشود یک توپولوژی از توپولوژی دیگر ضعیف تر است یعنی تعداد مجموعه های باز کمتری دارد
۷-اگر فضای باناخ X با بعد نامتناهی باشد آنگاه مجموعه های باز و بسته در توپولوژی ضعیف در توپولوژی قوی نیز باز بسته اند ولی عکس بالا برقرار نیست
۸-در هر فضای نامتناهی البعد توپولوژی ضعیف اکیدا کوچکتر از توپولوژی قوی است
۹-هر مجموعه که با توپولوژی ضعیف بسته باشد با توپولوژی قوی نیز بسته است اما عکس این مطلب در فضای نامتناهی البعد برقرار نیست ولی برای مجموعه های محدب بسته بودن با توپولوژی قوی با بسته بودن با توپولوژی ضعیف یکی است
فضای نرمدار X اگر با بعد متناهی باشد آنگاه توپولوژی نرم و توپولوژی ضعیف یکی میشوندـ
اگر فضای نرمدار X با بعد نامتناهی باشد آنگاه توپولوژی ضعیف اکیدا کوچکتر از توپولوژی نرم است
یعنی مجموعه های باز ( بسته) ای در توپولوژی نرم موجودند که در توپولوژی ضعیف باز( بسته)نیستند
ولی اگر این مجموعه های باز ( بسته) ای که در توپولوژی نرم موجودند محدب باشند آنگاه در توپولوژی ضعیف باز( بسته)هستند
توپولوژی نرم (توپولوژی قوی یا توپولوژی اصلی)، توپولوژی ضعیف، توپولوژی ضعیف ستاره
فرض کنیم X یک مجموعه و Л خانواده ای از توابع از X به توی فضای توپولوژیکی Y باشد توپولوژی ضعیف بر X که توسط Л القا می شود کوچکترین توپولوژی بر X است که هر عضو Л را پیوسته می سازد
نحوه ساختن توپولوژی ضعیف بر مجموعه X
فرض کنیم X یک مجموعه و (Y , T) یک فضای توپولوژیک باشد، هدف ساختن توپولوژیی است که هر عضو گردایه {(f: X→ (Y , T } را پیوسته سازد و در عین حال ضعیف ترین توپولوژی باشد.
مراحل ساختن:
مرحله اول:
بتدا هر عضو u از توپولوژی T را تحت تابع وارون f تصویر میکنیم، در این صورت یک گردایه ای از زیر مجموعه های X را خواهیم داشت که لزوما تشکیل توپولوژی نمیدهد و نام آن را Л قرار میدهیم.
مرحله دوم:
برای تشکیل چنین توپولوژی نیاز به یک پایه داریم.
برای تشکیل این پایه اشتراک های متناهی گردایه Л را که در مرحله اول ساخته شده را در نظر میگیریم ، لذا گردایه ای از اشتراک های متناهی خواهیم داشت که آن را Б مینامیم (بدیهی است که Б اعضای Л را نیز در بر دارد.)
مرحله سوم:
بدیهی است که Л تشکیل یک پایه میدهد.
اکنون اجتماع های دلخواه از اعضای پایه Л که در مرحله دوم ساخته شده را در نظر میگیریم، این اجتماع های دلخواه تشکیل یک توپولوژی میدهد به نام Г که توپولوژی ضعیف نام دارد (یعنی ضعیف ترین توپولوژی بر X که هر عضو گردایه {(f: X→ (Y , T } را پیوسته میسازد)
نتیجه: گردایه Л که در مرحله اول ساخته شده یک زیر پایه برای توپولوژی جدید به وجود آمده در مرحله سوم یعنی Г میباشد.
۲-اگر ما X را با توپولوژی گسسته مجهز کنیم بزرگترین (قویترین) توپولوژی به دست می آید
۳- سه توپولوژی روی *x (دوگان x) به صورت زیر تعریف میکنیم:
الف: توپولوژی نرم (یا توپولوژی اصلی یا توپولوژی قوی عملگرها )
در قسمت الف منظور از همگرایی قوی همان همگرایی نرم است که به صورت زیر میباشد:
fⁿ→f
اگر وتنها اگر
ll fⁿ-fll→0
یعنی
Sup { lfⁿ(x) - f(x)l / llxll≤1 } →0
( توجه کنید fⁿ دنباله ای از تابعکها روی *x میباشد)
ب: توپولوژی ضعیف ستاره:
توپولوژی ضعیف ستاره برابر است با گردایه همه تابعک های خطی مانند f اندیس a است که روی *x تعریف میشوند ( a متعلق به x است )
همگرایی ضعیف ستاره به صورت زير میباشد:
fⁿ→f
اگر وتنها اگر برای هر a عضو x
l fⁿ(a) - f(a)l→0
ج: توپولوژی ضعیف:
توپولوژی ضعیف برابر است با گردایه تمام تابعک های خطی روی *x که به صورت f اندیس a ( که a عضوی از **x میباشد)
همگرایی در توپولوژی ضعیف به صورت زیر میباشد:
fⁿ→f
اگر وتنها اگر برای هر a عضو **x
l fⁿ(a) - f(a)l→0
4-توپولوژی ضعیف و توپولوژی ضعیف ستاره هاسدورف اند
۵-اگر فضای باناخ X متناهی البعد باشد توپولوژی ضعیف و معمولی یکی اند
۶-وقتی که بیان میشود یک توپولوژی از توپولوژی دیگر ضعیف تر است یعنی تعداد مجموعه های باز کمتری دارد
۷-اگر فضای باناخ X با بعد نامتناهی باشد آنگاه مجموعه های باز و بسته در توپولوژی ضعیف در توپولوژی قوی نیز باز بسته اند ولی عکس بالا برقرار نیست
۸-در هر فضای نامتناهی البعد توپولوژی ضعیف اکیدا کوچکتر از توپولوژی قوی است
۹-هر مجموعه که با توپولوژی ضعیف بسته باشد با توپولوژی قوی نیز بسته است اما عکس این مطلب در فضای نامتناهی البعد برقرار نیست ولی برای مجموعه های محدب بسته بودن با توپولوژی قوی با بسته بودن با توپولوژی ضعیف یکی است
فضای نرمدار X اگر با بعد متناهی باشد آنگاه توپولوژی نرم و توپولوژی ضعیف یکی میشوندـ
اگر فضای نرمدار X با بعد نامتناهی باشد آنگاه توپولوژی ضعیف اکیدا کوچکتر از توپولوژی نرم است
یعنی مجموعه های باز ( بسته) ای در توپولوژی نرم موجودند که در توپولوژی ضعیف باز( بسته)نیستند
ولی اگر این مجموعه های باز ( بسته) ای که در توپولوژی نرم موجودند محدب باشند آنگاه در توپولوژی ضعیف باز( بسته)هستند
نکته ای از آنالیز
هر تابع محدب در نقاط درونی دامنه اش پیوسته است بنابراین دو حالت زیر را داریم:
الف: اگر دامنه تابع محدب f یک بازه باز مانند l باشد چون f پیوسته است لذا برد تابع یعنی (f(l نیز یک بازه است( چون هم بندی توسط تابع پیوسته حفض میگردد) لذا مجموعه محدب میشود.
ب: اگر دامنه تابع محدب f یک بازه غیر باز باشد در این صورت برد تابع f لزوما محدب نمیگردد:
برای مثال تابع دو ضابطه ای
f: [0,1]→R
با ضابطه1= (f(x برای x=0 و با ضابطه0= (f(x برای [xㅌ(0,1 یک تابع محدب است ولی برد آن یعنی مجموعه {0,1} محدب نیست
هر تابع محدب در نقاط درونی دامنه اش پیوسته است بنابراین دو حالت زیر را داریم:
الف: اگر دامنه تابع محدب f یک بازه باز مانند l باشد چون f پیوسته است لذا برد تابع یعنی (f(l نیز یک بازه است( چون هم بندی توسط تابع پیوسته حفض میگردد) لذا مجموعه محدب میشود.
ب: اگر دامنه تابع محدب f یک بازه غیر باز باشد در این صورت برد تابع f لزوما محدب نمیگردد:
برای مثال تابع دو ضابطه ای
f: [0,1]→R
با ضابطه1= (f(x برای x=0 و با ضابطه0= (f(x برای [xㅌ(0,1 یک تابع محدب است ولی برد آن یعنی مجموعه {0,1} محدب نیست
اندازه لبگ
1-اندازه لبگ یه تابع است که دامنه آن نیم حلقه (این نیم حلقه یک مجموعه است که شامل تهی و بازه های نیم باز است) و برد این تابع هم زیر مجموعه ای از اعداد حقیقی نامنفی است. ضابطه تابع هم به این صورت است که تهی را به صفر میبرد و هر بازه را به طول بازه میبرد.
همچنین این نیم حلقه را میتونید مجموعه شامل حاصل ضرب این نیم بازه ها همراه با تهی در نظر بگیرید در این صورت ضابطه تابع به صورت زیر میشود یعنی تهی را به صفر میبرد و حاصل ضرب نیم بازه ها را به حاصل ضرب طول ها میبرد.
اندازه برل
۲-فرض کنیم (X, T) یک فضای توپولوژیک باشد، در این صورت سیگما جبر تولید شده توسط توپولوژی T را سیگما جبر برل نامیم و این سیگما جبر را با K نمایش میدهیم.
در این صورت به جفت (X, K) فضای اندازه برل ، به اعضای K مجموعه های اندازه پذیر برل نامیم.
نکته ۱: تعریف های معادل برای مجموعه های برل:
الف: مجموعه های برل فضای متریک (X,d) کوچکترین گردایه از زیر مجموعه های X شامل تمام مجموعه های بسته است که تحت اشتراک شمارا و اجتماع شمارای مجزا بسته است.
ب: مجموعه های برل فضای متریک (X,d) کوچکترین گردایه از زیر مجموعه های X شامل تمام مجموعه های باز است که تحت اشتراک شمارا و اجتماع شمارای مجزا بسته است.
نکته ۲: روی یک فضای اندازه پذیر بیشمار تابع اندازه قابل تعریف است که آن را به یک فضای اندازه تبدیل کند.
بنابراین روی برل اندازه پذیرها هم میتوان نیز میتوان بیشمار تابع اندازه تعریف کرد.
نکته ۳: تابع اندازه پذیر منحصر به فردی روی برل اندازه پذیرها میتوان تعریف کرد که اندازه هر بازه برابر طول بازه باشد و آن همتن تحدید اندازه لبگ به سیگما جبر برل میباشد.
نکته ۴: فرض کنیم K سیگما جبر برل باشد، یک تابع مانند f از فضای اندازه پذیر (X, K) به فضای توپولوژیک (Y, N) تعریف میکنیم با این شرط که هر عضو N را تحت تابع وارون f به یک عضو K تصویر کند، در این صورت تابع f را، تابع اندازه پذیر برل نامیم.
1-اندازه لبگ یه تابع است که دامنه آن نیم حلقه (این نیم حلقه یک مجموعه است که شامل تهی و بازه های نیم باز است) و برد این تابع هم زیر مجموعه ای از اعداد حقیقی نامنفی است. ضابطه تابع هم به این صورت است که تهی را به صفر میبرد و هر بازه را به طول بازه میبرد.
همچنین این نیم حلقه را میتونید مجموعه شامل حاصل ضرب این نیم بازه ها همراه با تهی در نظر بگیرید در این صورت ضابطه تابع به صورت زیر میشود یعنی تهی را به صفر میبرد و حاصل ضرب نیم بازه ها را به حاصل ضرب طول ها میبرد.
اندازه برل
۲-فرض کنیم (X, T) یک فضای توپولوژیک باشد، در این صورت سیگما جبر تولید شده توسط توپولوژی T را سیگما جبر برل نامیم و این سیگما جبر را با K نمایش میدهیم.
در این صورت به جفت (X, K) فضای اندازه برل ، به اعضای K مجموعه های اندازه پذیر برل نامیم.
نکته ۱: تعریف های معادل برای مجموعه های برل:
الف: مجموعه های برل فضای متریک (X,d) کوچکترین گردایه از زیر مجموعه های X شامل تمام مجموعه های بسته است که تحت اشتراک شمارا و اجتماع شمارای مجزا بسته است.
ب: مجموعه های برل فضای متریک (X,d) کوچکترین گردایه از زیر مجموعه های X شامل تمام مجموعه های باز است که تحت اشتراک شمارا و اجتماع شمارای مجزا بسته است.
نکته ۲: روی یک فضای اندازه پذیر بیشمار تابع اندازه قابل تعریف است که آن را به یک فضای اندازه تبدیل کند.
بنابراین روی برل اندازه پذیرها هم میتوان نیز میتوان بیشمار تابع اندازه تعریف کرد.
نکته ۳: تابع اندازه پذیر منحصر به فردی روی برل اندازه پذیرها میتوان تعریف کرد که اندازه هر بازه برابر طول بازه باشد و آن همتن تحدید اندازه لبگ به سیگما جبر برل میباشد.
نکته ۴: فرض کنیم K سیگما جبر برل باشد، یک تابع مانند f از فضای اندازه پذیر (X, K) به فضای توپولوژیک (Y, N) تعریف میکنیم با این شرط که هر عضو N را تحت تابع وارون f به یک عضو K تصویر کند، در این صورت تابع f را، تابع اندازه پذیر برل نامیم.
سلام وقت به خیر. ببخشید فرق نگاشت و تابع چیه؟ تابع زمانی وارون پذیره که یک به یک باشه یا یک به یک و پوشا؟
زمانی که تعداد عناصر دامنه با تعداد عناصر برد برابر باشه فقط یک به یک بودن کافیه؟درسته؟
تابع ۱-۱ باشه کافیه ولی فرقش اینه که اگر تابع ما به صورت
f:A---->B
باشه ، دیگه تابع وارون دامنش B نیست . اما اگه پوشا باشه تابع وارون میشه :
f-1 : B--->A
f:A---->B
باشه ، دیگه تابع وارون دامنش B نیست . اما اگه پوشا باشه تابع وارون میشه :
f-1 : B--->A
اگر تعداد عناصر دامنه با هم دامنه(نه برد) برابر باشه اونوقت یک به یکی معادل پوشایی .
برابر بودن تعداد عناصر دامنه با برد ، یک به یکی رو نتیجه میده ولی پوشایی رو نه لزوما .
منظورم از برد همان خروجی تابع و منظور از هم دامنه همان مجموعه B در تعریف تابع است
برابر بودن تعداد عناصر دامنه با برد ، یک به یکی رو نتیجه میده ولی پوشایی رو نه لزوما .
منظورم از برد همان خروجی تابع و منظور از هم دامنه همان مجموعه B در تعریف تابع است
در مطالعه فضاهای برداری توپولوژیک مجرد بله _ ولی در آنالیز تابعی اکثرا فضاهای موضعا محدب مد نظر هستن هر چند در بر خی از کتب اینکه مجموعه های یکانی بسته باشند قید نشده ولی به محض در گیری با فضاهای تابعی شرط هاسدورفی فضا و الزاما پذیرش مجموعه های یکانی همواره لازم هست . بکارگیری واژه ذاتی در این پست الزاما نادرست هست _ و به لحاظ توپولوژیکی با توپولوژی ذاتی فضاهای تابعی مغایرت دارد .
بسته بودن مجموعه های یکانی یک فضای توپولوژیک چیزی ضعیف تر از هاسدورف بودن آن هست و فضاهای ناهاسدورفی وجود دارند که مجموعه های یکانی آنها بسته است.
نکاتی از نمایش ها در *c جبرها
۱- نمایش:
یک نمایش از یک *c جبر یک زوج مرتب (H , π) میباشد که در آن H یک فضای هیلبرت و نگاشت
π: H → B(H)
یک همریختی میباشد
۲: اگر Ker π =0 باشد آنگاه نمایش معرفی شده در نکته ۱ را باوفا (Faithful) نامیم.
۳- یک نمایش باوفای (H , π)، یک به یک است و لذا طولپاست.
۴ -همه نمایش ها باوفا میباشند.
۱- نمایش:
یک نمایش از یک *c جبر یک زوج مرتب (H , π) میباشد که در آن H یک فضای هیلبرت و نگاشت
π: H → B(H)
یک همریختی میباشد
۲: اگر Ker π =0 باشد آنگاه نمایش معرفی شده در نکته ۱ را باوفا (Faithful) نامیم.
۳- یک نمایش باوفای (H , π)، یک به یک است و لذا طولپاست.
۴ -همه نمایش ها باوفا میباشند.
نحوه ساختن توپولوژی ضعیف بر مجموعه X
فرض کنیم X یک مجموعه و (Y , T) یک فضای توپ ولوژیک باشد، هدف ساختن توپولوژیی است که هر عضو گردایه {(f: X→ (Y , T } را پیوسته سازد و در عین حال ضعیف ترین توپولوژی باشد.
مراحل ساختن:
مرحله اول:
ابتدا هر عضو u از توپولوژی T را تحت تصویر وارون f تصویر میکنیم، در این صورت یک گردایه ای از زیر مجموعه های X را خواهیم داشت که لزوما تشکیل توپولوژی نمیدهد و نام آن را Л قرار میدهیم.
مرحله دوم:
برای تشکیل چنین توپولوژی نیاز به یک پایه داریم.
برای تشکیل این پایه اشتراک های متناهی گردایه Л را که در مرحله اول ساخته شده را در نظر میگیریم ، لذا گردایه ای از اشتراک های متناهی خواهیم داشت که آن را Б مینامیم (بدیهی است که Б اعضای Л را نیز در بر دارد.)
مرحله سوم:
بدیهی است که Л تشکیل یک پایه میدهد.
اکنون اجتماع های دلخواه از اعضای پایه Л که در مرحله دوم ساخته شده را در نظر میگیریم، این اجتماع های دلخواه تشکیل یک توپولوژی میدهد به نام Г که توپولوژی ضعیف نام دارد (یعنی ضعیف ترین توپولوژی بر X که هر عضو گردایه {(f: X→ (Y , T } را پیوسته میسازد)
نتیجه: گردایه Л که در مرحله اول ساخته شده یک زیر پایه برای توپولوژی جدید به وجود آمده در مرحله سوم یعنی Г میباشد.
فرض کنیم X یک مجموعه و (Y , T) یک فضای توپ ولوژیک باشد، هدف ساختن توپولوژیی است که هر عضو گردایه {(f: X→ (Y , T } را پیوسته سازد و در عین حال ضعیف ترین توپولوژی باشد.
مراحل ساختن:
مرحله اول:
ابتدا هر عضو u از توپولوژی T را تحت تصویر وارون f تصویر میکنیم، در این صورت یک گردایه ای از زیر مجموعه های X را خواهیم داشت که لزوما تشکیل توپولوژی نمیدهد و نام آن را Л قرار میدهیم.
مرحله دوم:
برای تشکیل چنین توپولوژی نیاز به یک پایه داریم.
برای تشکیل این پایه اشتراک های متناهی گردایه Л را که در مرحله اول ساخته شده را در نظر میگیریم ، لذا گردایه ای از اشتراک های متناهی خواهیم داشت که آن را Б مینامیم (بدیهی است که Б اعضای Л را نیز در بر دارد.)
مرحله سوم:
بدیهی است که Л تشکیل یک پایه میدهد.
اکنون اجتماع های دلخواه از اعضای پایه Л که در مرحله دوم ساخته شده را در نظر میگیریم، این اجتماع های دلخواه تشکیل یک توپولوژی میدهد به نام Г که توپولوژی ضعیف نام دارد (یعنی ضعیف ترین توپولوژی بر X که هر عضو گردایه {(f: X→ (Y , T } را پیوسته میسازد)
نتیجه: گردایه Л که در مرحله اول ساخته شده یک زیر پایه برای توپولوژی جدید به وجود آمده در مرحله سوم یعنی Г میباشد.
تعریف جبر :
فرض کنیم A یک فضای برداری باشد. ضرب جدید * را روی A با خواص زیر تعریف میکنیم
الف:خاصیت شرکت پذیری
(x*y) *z=x*(y*z)
ب:ضرب ٭ نسبت به مولفه اول و دوم خطی باشد
در این صورت جفت (*, A) را یک جبر نامیم
در حقیقت اگر A یک مجموعه باشد و (. , +, A) یک فضای برداری باشد، (*, . , +, A) را یک جبر نامیم
فرض کنیم A یک فضای برداری باشد. ضرب جدید * را روی A با خواص زیر تعریف میکنیم
الف:خاصیت شرکت پذیری
(x*y) *z=x*(y*z)
ب:ضرب ٭ نسبت به مولفه اول و دوم خطی باشد
در این صورت جفت (*, A) را یک جبر نامیم
در حقیقت اگر A یک مجموعه باشد و (. , +, A) یک فضای برداری باشد، (*, . , +, A) را یک جبر نامیم
قضیه اصل کرانداری یکنواخت یا باناخ استین هاوس
1-اگر T عملگری خطی بین دو فضای نرمدار باشد آنگاه کرانداری نقطه به نقطه، کرانداری یکنواخت، پیوستگی نقطه به نقطه، و پیوستگی یکنواخت معادل میشوند
۲-اگر T اندیس n، دنباله ای از عملگرها کراندار بین دو فضای نرمدار X و Y باشد آنگاه این دنباله از عملگرها به طور یکنواخت کراندار نیست
۳-اگر در نکته دو X باناخ باشد کرانداری و کرانداری یکنواخت معادل میشوند
۴-نکته ۳ را اصل کرانداری یکنواخت یا باناخ استین هاوس گوییم.
1-اگر T عملگری خطی بین دو فضای نرمدار باشد آنگاه کرانداری نقطه به نقطه، کرانداری یکنواخت، پیوستگی نقطه به نقطه، و پیوستگی یکنواخت معادل میشوند
۲-اگر T اندیس n، دنباله ای از عملگرها کراندار بین دو فضای نرمدار X و Y باشد آنگاه این دنباله از عملگرها به طور یکنواخت کراندار نیست
۳-اگر در نکته دو X باناخ باشد کرانداری و کرانداری یکنواخت معادل میشوند
۴-نکته ۳ را اصل کرانداری یکنواخت یا باناخ استین هاوس گوییم.
تعریف تابع (تابع تک مقداری)
نموداری معرف تابع است که هر خط موازی محور y ها آن را حداکثر در یک نقطه قطع کند.
تابع چند مقداری:
از نظر نمودار نموداری معرف تابع چند مقداری است که هر خط موازی محور y ها آن را در بیش از یک نقطه قطع کند.
به عبارت دیگر برای هر ورودی بیش از یک خروجی داشته باشیم.
برا مثال دایره
x² + y²=۲۵
یک تابع دو مقداری است زیرا:
x=4 →y=±3
تو سطوح دبیرستان یا دانشگاه وقتی از لفظ تابع استفاده میشود منظور تابع تک مقداری است.
بنابراین وقتی مطرح میشود رابطه
y²=x
تابع نیست یعنی رابطه بالا تابع تک مقداری نیست ولی یه تابع دو مقداری میباشد.
برای مثال وقتی ذکر میشود عدد ۵ مقصود عدد ۵+ است نه ۵-، به همین ترتیب وقتی بیان میشود رابطه فوق یک تابع است مقصود تابع تک مقداری است نه چند مقداری.
نموداری معرف تابع است که هر خط موازی محور y ها آن را حداکثر در یک نقطه قطع کند.
تابع چند مقداری:
از نظر نمودار نموداری معرف تابع چند مقداری است که هر خط موازی محور y ها آن را در بیش از یک نقطه قطع کند.
به عبارت دیگر برای هر ورودی بیش از یک خروجی داشته باشیم.
برا مثال دایره
x² + y²=۲۵
یک تابع دو مقداری است زیرا:
x=4 →y=±3
تو سطوح دبیرستان یا دانشگاه وقتی از لفظ تابع استفاده میشود منظور تابع تک مقداری است.
بنابراین وقتی مطرح میشود رابطه
y²=x
تابع نیست یعنی رابطه بالا تابع تک مقداری نیست ولی یه تابع دو مقداری میباشد.
برای مثال وقتی ذکر میشود عدد ۵ مقصود عدد ۵+ است نه ۵-، به همین ترتیب وقتی بیان میشود رابطه فوق یک تابع است مقصود تابع تک مقداری است نه چند مقداری.
نکاتی در مورد:
توپولوژی نرم (توپولوژی قوی یا توپولوژی اصلی)، توپولوژی ضعیف، توپولوژی ضعیف ستاره
فرض کنیم X یک مجموعه و Л خانواده ای از توابع از X به توی فضای توپولوژیکی Y باشد توپولوژی ضعیف بر X که توسط Л القا می شود کوچکترین توپولوژی بر X است که هر عضو Л را پیوسته می سازد
نحوه ساختن توپولوژی ضعیف بر مجموعه X
فرض کنیم X یک مجموعه و (Y , T) یک فضای توپولوژیک باشد، هدف ساختن توپولوژیی است که هر عضو گردایه {(f: X→ (Y , T } را پیوسته سازد و در عین حال ضعیف ترین توپولوژی باشد.
مراحل ساختن:
مرحله اول:
ابتدا هر عضو u از توپولوژی T را تحت تصویر وارون f تصویر میکنیم، در این صورت یک گردایه ای از زیر مجموعه های X را خواهیم داشت که لزوما تشکیل توپولوژی نمیدهد و نام آن را Л قرار میدهیم.
مرحله دوم:
برای تشکیل چنین توپولوژی نیاز به یک پایه داریم.
برای تشکیل این پایه اشتراک های متناهی گردایه Л را که در مرحله اول ساخته شده را در نظر میگیریم ، لذا گردایه ای از اشتراک های متناهی خواهیم داشت که آن را Б مینامیم (بدیهی است که Б اعضای Л را نیز در بر دارد.)
مرحله سوم:
بدیهی است که Л تشکیل یک پایه میدهد.
اکنون اجتماع های دلخواه از اعضای پایه Л که در مرحله دوم ساخته شده را در نظر میگیریم، این اجتماع های دلخواه تشکیل یک توپولوژی میدهد به نام Г که توپولوژی ضعیف نام دارد (یعنی ضعیف ترین توپولوژی بر X که هر عضو گردایه {(f: X→ (Y , T } را پیوسته میسازد)
نتیجه: گردایه Л که در مرحله اول ساخته شده یک زیر پایه برای توپولوژی جدید به وجود آمده در مرحله سوم یعنی Г میباشد.
۲-اگر ما X را با توپولوژی گسسته مجهز کنیم بزرگترین (قویترین) توپولوژی به دست می آید
۳- سه توپولوژی روی *x (دوگان x) به صورت زیر تعریف میکنیم:
الف: توپولوژی نرم (یا توپولوژی اصلی یا توپولوژی قوی عملگرها )
در قسمت الف منظور از همگرایی قوی همان همگرایی نرم است که به صورت زیر میباشد:
fⁿ→f
اگر وتنها اگر
ll fⁿ-fll→0
یعنی
Sup { lfⁿ(x) - f(x)l / llxll≤1 } →0
( توجه کنید fⁿ دنباله ای از تابعکها روی *x میباشد)
ب: توپولوژی ضعیف ستاره:
توپولوژی ضعیف ستاره برابر است با گردایه همه تابعک های خطی مانند f اندیس a است که روی *x تعریف میشوند ( a متعلق به x است )
همگرایی ضعیف ستاره به صورت زير میباشد:
fⁿ→f
اگر وتنها اگر برای هر a عضو x
l fⁿ(a) - f(a)l→0
ج: توپولوژی ضعیف:
توپولوژی ضعیف برابر است با گردایه تمام تابعک های خطی روی *x که به صورت f اندیس a ( که a عضوی از **x میباشد)
همگرایی در توپولوژی ضعیف به صورت زیر میباشد:
fⁿ→f
اگر وتنها اگر برای هر a عضو **x
l fⁿ(a) - f(a)l→0
4-توپولوژی ضعیف و توپولوژی ضعیف ستاره هاسدورف اند
۵-اگر فضای باناخ X متناهی البعد باشد توپولوژی ضعیف و معمولی یکی اند
۶-وقتی که بیان میشود یک توپولوژی از توپولوژی دیگر ضعیف تر است یعنی تعداد مجموعه های باز کمتری دارد
۷-اگر فضای باناخ X با بعد نامتناهی باشد آنگاه مجموعه های باز و بسته در توپولوژی ضعیف در توپولوژی قوی نیز باز بسته اند ولی عکس بالا برقرار نیست
۸-در هر فضای نامتناهی البعد توپولوژی ضعیف اکیدا کوچکتر از توپولوژی قوی است
۹-هر مجموعه که با توپولوژی ضعیف بسته باشد با توپولوژی قوی نیز بسته است اما عکس این مطلب در فضای نامتناهی البعد برقرار نیست ولی برای مجموعه های محدب بسته بودن با توپولوژی قوی با بسته بودن با توپولوژی ضعیف یکی است
فضای نرمدار X اگر با بعد متناهی باشد آنگاه توپولوژی نرم و توپولوژی ضعیف یکی میشوندـ
اگر فضای نرمدار X با بعد نامتناهی باشد آنگاه توپولوژی ضعیف اکیدا کوچکتر از توپولوژی نرم است
یعنی مجموعه های باز ( بسته) ای در توپولوژی نرم موجودند که در توپولوژی ضعیف باز( بسته)نیستند
ولی اگر این مجموعه های باز ( بسته) ای که در توپولوژی نرم موجودند محدب باشند آنگاه در توپولوژی ضعیف باز( بسته)هستند
توپولوژی نرم (توپولوژی قوی یا توپولوژی اصلی)، توپولوژی ضعیف، توپولوژی ضعیف ستاره
فرض کنیم X یک مجموعه و Л خانواده ای از توابع از X به توی فضای توپولوژیکی Y باشد توپولوژی ضعیف بر X که توسط Л القا می شود کوچکترین توپولوژی بر X است که هر عضو Л را پیوسته می سازد
نحوه ساختن توپولوژی ضعیف بر مجموعه X
فرض کنیم X یک مجموعه و (Y , T) یک فضای توپولوژیک باشد، هدف ساختن توپولوژیی است که هر عضو گردایه {(f: X→ (Y , T } را پیوسته سازد و در عین حال ضعیف ترین توپولوژی باشد.
مراحل ساختن:
مرحله اول:
ابتدا هر عضو u از توپولوژی T را تحت تصویر وارون f تصویر میکنیم، در این صورت یک گردایه ای از زیر مجموعه های X را خواهیم داشت که لزوما تشکیل توپولوژی نمیدهد و نام آن را Л قرار میدهیم.
مرحله دوم:
برای تشکیل چنین توپولوژی نیاز به یک پایه داریم.
برای تشکیل این پایه اشتراک های متناهی گردایه Л را که در مرحله اول ساخته شده را در نظر میگیریم ، لذا گردایه ای از اشتراک های متناهی خواهیم داشت که آن را Б مینامیم (بدیهی است که Б اعضای Л را نیز در بر دارد.)
مرحله سوم:
بدیهی است که Л تشکیل یک پایه میدهد.
اکنون اجتماع های دلخواه از اعضای پایه Л که در مرحله دوم ساخته شده را در نظر میگیریم، این اجتماع های دلخواه تشکیل یک توپولوژی میدهد به نام Г که توپولوژی ضعیف نام دارد (یعنی ضعیف ترین توپولوژی بر X که هر عضو گردایه {(f: X→ (Y , T } را پیوسته میسازد)
نتیجه: گردایه Л که در مرحله اول ساخته شده یک زیر پایه برای توپولوژی جدید به وجود آمده در مرحله سوم یعنی Г میباشد.
۲-اگر ما X را با توپولوژی گسسته مجهز کنیم بزرگترین (قویترین) توپولوژی به دست می آید
۳- سه توپولوژی روی *x (دوگان x) به صورت زیر تعریف میکنیم:
الف: توپولوژی نرم (یا توپولوژی اصلی یا توپولوژی قوی عملگرها )
در قسمت الف منظور از همگرایی قوی همان همگرایی نرم است که به صورت زیر میباشد:
fⁿ→f
اگر وتنها اگر
ll fⁿ-fll→0
یعنی
Sup { lfⁿ(x) - f(x)l / llxll≤1 } →0
( توجه کنید fⁿ دنباله ای از تابعکها روی *x میباشد)
ب: توپولوژی ضعیف ستاره:
توپولوژی ضعیف ستاره برابر است با گردایه همه تابعک های خطی مانند f اندیس a است که روی *x تعریف میشوند ( a متعلق به x است )
همگرایی ضعیف ستاره به صورت زير میباشد:
fⁿ→f
اگر وتنها اگر برای هر a عضو x
l fⁿ(a) - f(a)l→0
ج: توپولوژی ضعیف:
توپولوژی ضعیف برابر است با گردایه تمام تابعک های خطی روی *x که به صورت f اندیس a ( که a عضوی از **x میباشد)
همگرایی در توپولوژی ضعیف به صورت زیر میباشد:
fⁿ→f
اگر وتنها اگر برای هر a عضو **x
l fⁿ(a) - f(a)l→0
4-توپولوژی ضعیف و توپولوژی ضعیف ستاره هاسدورف اند
۵-اگر فضای باناخ X متناهی البعد باشد توپولوژی ضعیف و معمولی یکی اند
۶-وقتی که بیان میشود یک توپولوژی از توپولوژی دیگر ضعیف تر است یعنی تعداد مجموعه های باز کمتری دارد
۷-اگر فضای باناخ X با بعد نامتناهی باشد آنگاه مجموعه های باز و بسته در توپولوژی ضعیف در توپولوژی قوی نیز باز بسته اند ولی عکس بالا برقرار نیست
۸-در هر فضای نامتناهی البعد توپولوژی ضعیف اکیدا کوچکتر از توپولوژی قوی است
۹-هر مجموعه که با توپولوژی ضعیف بسته باشد با توپولوژی قوی نیز بسته است اما عکس این مطلب در فضای نامتناهی البعد برقرار نیست ولی برای مجموعه های محدب بسته بودن با توپولوژی قوی با بسته بودن با توپولوژی ضعیف یکی است
فضای نرمدار X اگر با بعد متناهی باشد آنگاه توپولوژی نرم و توپولوژی ضعیف یکی میشوندـ
اگر فضای نرمدار X با بعد نامتناهی باشد آنگاه توپولوژی ضعیف اکیدا کوچکتر از توپولوژی نرم است
یعنی مجموعه های باز ( بسته) ای در توپولوژی نرم موجودند که در توپولوژی ضعیف باز( بسته)نیستند
ولی اگر این مجموعه های باز ( بسته) ای که در توپولوژی نرم موجودند محدب باشند آنگاه در توپولوژی ضعیف باز( بسته)هستند
نکاتی در مورد:
توپولوژی نرم (توپولوژی قوی یا توپولوژی اصلی)، توپولوژی ضعیف، توپولوژی ضعیف ستاره
فرض کنیم X یک مجموعه و Л خانواده ای از توابع از X به توی فضای توپولوژیکی Y باشد توپولوژی ضعیف بر X که توسط Л القا می شود کوچکترین توپولوژی بر X است که هر عضو Л پیوسته میسازد
۲-اگر ما X را با توپولوژی گسسته مجهز کنیم بزرگترین (قویترین) توپولوژی به دست می آید
۳- سه توپولوژی روی *x (دوگان x) به صورت زیر تعریف میکنیم:
الف: توپولوژی نرم (یا توپولوژی اصلی یا توپولوژی قوی عملگرها )
در قسمت الف منظور از همگرایی قوی همان همگرایی نرم است که به صورت زیر میباشد:
fⁿ→f
اگر وتنها اگر
ll fⁿ-fll→0
یعنی
Sup { lfⁿ(x) - f(x)l / llxll≤1 } →0
( توجه کنید fⁿ دنباله ای از تابعکها روی *x میباشد)
ب: توپولوژی ضعیف ستاره:
توپولوژی ضعیف ستاره برابر است با گردایه همه تابعک های خطی مانند f اندیس a است که روی *x تعریف میشوند ( a متعلق به x است )
همگرایی ضعیف ستاره به صورت زير میباشد:
fⁿ→f
اگر وتنها اگر برای هر a عضو x
l fⁿ(a) - f(a)l→0
ج: توپولوژی ضعیف:
توپولوژی ضعیف برابر است با گردایه تمام تابعک های خطی روی *x که به صورت f اندیس a ( که a عضوی از **x میباشد)
همگرایی در توپولوژی ضعیف به صورت زیر میباشد:
fⁿ→f
اگر وتنها اگر برای هر a عضو **x
l fⁿ(a) - f(a)l→0
4-توپولوژی ضعیف و توپولوژی ضعیف ستاره هاسدورف اند
۵-اگر فضای باناخ X متناهی البعد باشد توپولوژی ضعیف و معمولی یکی اند
۶-وقتی که بیان میشود یک توپولوژی از توپولوژی دیگر ضعیف تر است یعنی تعداد مجموعه های باز کمتری دارد
۷-اگر فضای باناخ X با بعد نامتناهی باشد آنگاه مجموعه های باز و بسته در توپولوژی ضعیف در توپولوژی قوی نیز باز بسته اند ولی عکس بالا برقرار نیست
۸-در هر فضای نامتناهی البعد توپولوژی ضعیف اکیدا کوچکتر از توپولوژی قوی است
۹-هر مجموعه که با توپولوژی ضعیف بسته باشد با توپولوژی قوی نیز بسته است اما عکس این مطلب در فضای نامتناهی البعد برقرار نیست ولی برای مجموعه های محدب بسته بودن با توپولوژی قوی با بسته بودن با توپولوژی ضعیف یکی است
فضای نرمدار X اگر با بعد متناهی باشد آنگاه توپولوژی نرم و توپولوژی ضعیف یکی میشوندـ
اگر فضای نرمدار X با بعد نامتناهی باشد آنگاه توپولوژی ضعیف اکیدا کوچکتر از توپولوژی نرم است
یعنی مجموعه های باز ( بسته) ای در توپولوژی نرم موجودند که در توپولوژی ضعیف باز( بسته)نیستند
ولی اگر این مجموعه های باز ( بسته) ای که در توپولوژی نرم موجودند محدب باشند آنگاه در توپولوژی ضعیف باز( بسته)هستند
توپولوژی نرم (توپولوژی قوی یا توپولوژی اصلی)، توپولوژی ضعیف، توپولوژی ضعیف ستاره
فرض کنیم X یک مجموعه و Л خانواده ای از توابع از X به توی فضای توپولوژیکی Y باشد توپولوژی ضعیف بر X که توسط Л القا می شود کوچکترین توپولوژی بر X است که هر عضو Л پیوسته میسازد
۲-اگر ما X را با توپولوژی گسسته مجهز کنیم بزرگترین (قویترین) توپولوژی به دست می آید
۳- سه توپولوژی روی *x (دوگان x) به صورت زیر تعریف میکنیم:
الف: توپولوژی نرم (یا توپولوژی اصلی یا توپولوژی قوی عملگرها )
در قسمت الف منظور از همگرایی قوی همان همگرایی نرم است که به صورت زیر میباشد:
fⁿ→f
اگر وتنها اگر
ll fⁿ-fll→0
یعنی
Sup { lfⁿ(x) - f(x)l / llxll≤1 } →0
( توجه کنید fⁿ دنباله ای از تابعکها روی *x میباشد)
ب: توپولوژی ضعیف ستاره:
توپولوژی ضعیف ستاره برابر است با گردایه همه تابعک های خطی مانند f اندیس a است که روی *x تعریف میشوند ( a متعلق به x است )
همگرایی ضعیف ستاره به صورت زير میباشد:
fⁿ→f
اگر وتنها اگر برای هر a عضو x
l fⁿ(a) - f(a)l→0
ج: توپولوژی ضعیف:
توپولوژی ضعیف برابر است با گردایه تمام تابعک های خطی روی *x که به صورت f اندیس a ( که a عضوی از **x میباشد)
همگرایی در توپولوژی ضعیف به صورت زیر میباشد:
fⁿ→f
اگر وتنها اگر برای هر a عضو **x
l fⁿ(a) - f(a)l→0
4-توپولوژی ضعیف و توپولوژی ضعیف ستاره هاسدورف اند
۵-اگر فضای باناخ X متناهی البعد باشد توپولوژی ضعیف و معمولی یکی اند
۶-وقتی که بیان میشود یک توپولوژی از توپولوژی دیگر ضعیف تر است یعنی تعداد مجموعه های باز کمتری دارد
۷-اگر فضای باناخ X با بعد نامتناهی باشد آنگاه مجموعه های باز و بسته در توپولوژی ضعیف در توپولوژی قوی نیز باز بسته اند ولی عکس بالا برقرار نیست
۸-در هر فضای نامتناهی البعد توپولوژی ضعیف اکیدا کوچکتر از توپولوژی قوی است
۹-هر مجموعه که با توپولوژی ضعیف بسته باشد با توپولوژی قوی نیز بسته است اما عکس این مطلب در فضای نامتناهی البعد برقرار نیست ولی برای مجموعه های محدب بسته بودن با توپولوژی قوی با بسته بودن با توپولوژی ضعیف یکی است
فضای نرمدار X اگر با بعد متناهی باشد آنگاه توپولوژی نرم و توپولوژی ضعیف یکی میشوندـ
اگر فضای نرمدار X با بعد نامتناهی باشد آنگاه توپولوژی ضعیف اکیدا کوچکتر از توپولوژی نرم است
یعنی مجموعه های باز ( بسته) ای در توپولوژی نرم موجودند که در توپولوژی ضعیف باز( بسته)نیستند
ولی اگر این مجموعه های باز ( بسته) ای که در توپولوژی نرم موجودند محدب باشند آنگاه در توپولوژی ضعیف باز( بسته)هستند
تعریف *c جبر
۱- فرض کنیم A یک فضای برداری باشد. ضرب جدید ★ را روی A با خواص زیر تعریف میکنیم
الف:خاصیت شرکت پذیری
(x★y) ★z=x★(y★z)
ب:ضرب ★ نسبت به مولفه اول و دوم خطی باشد.
در این صورت (★, . , +, A) را یک جبر نامیم.
۲-فرض کنیم (★,.,+,A) یک جبر باشد عملگر * را را یک برگشت نامیم هرگاه در شرایط زیر صدق کند
الف:عملگر ** برای هر عضو A عملگر همانی باشد.
ب:عملگر * ویژگی مزدوج خطی را دارا باشد .
ج:تصویر xy تحت عملگر * برابر
y*x*
گردد.
در این صورت به
(A,+,.,★,*)
جبر ستاره دار گوییم
۲-اگر در نکته یک A یک جبر باناخ باشد به (*,★,.,+, A) جبر باناخ ستاره دار گوییم
۳-جبر باناخ ستاره دار را *c جبر نامیم هرگاه در شرط زیر صدق کند
llx*xll=llxll²
لینک گروه
https://telegram.me/joinchat/BBtJFkEmXa9Pf--i0vPeoA
بزرگترین گروه تلگرام تخصصی ریاضی برای مشاوره و نکات کلیدی آزمون دکتری و رفع اشکال
Admin: @Roklp
Admin: @taheries
۱- فرض کنیم A یک فضای برداری باشد. ضرب جدید ★ را روی A با خواص زیر تعریف میکنیم
الف:خاصیت شرکت پذیری
(x★y) ★z=x★(y★z)
ب:ضرب ★ نسبت به مولفه اول و دوم خطی باشد.
در این صورت (★, . , +, A) را یک جبر نامیم.
۲-فرض کنیم (★,.,+,A) یک جبر باشد عملگر * را را یک برگشت نامیم هرگاه در شرایط زیر صدق کند
الف:عملگر ** برای هر عضو A عملگر همانی باشد.
ب:عملگر * ویژگی مزدوج خطی را دارا باشد .
ج:تصویر xy تحت عملگر * برابر
y*x*
گردد.
در این صورت به
(A,+,.,★,*)
جبر ستاره دار گوییم
۲-اگر در نکته یک A یک جبر باناخ باشد به (*,★,.,+, A) جبر باناخ ستاره دار گوییم
۳-جبر باناخ ستاره دار را *c جبر نامیم هرگاه در شرط زیر صدق کند
llx*xll=llxll²
لینک گروه
https://telegram.me/joinchat/BBtJFkEmXa9Pf--i0vPeoA
بزرگترین گروه تلگرام تخصصی ریاضی برای مشاوره و نکات کلیدی آزمون دکتری و رفع اشکال
Admin: @Roklp
Admin: @taheries
تعریف مشبکه باناخ
1-فضای جزئا مرتب:
فضای جزئا مرتب، یک فضای برداری حقیقی مانند X مجهز به یک رابطه ترتیبی مانند > است که در دو شرط زیر صدق میکند
الف: اگر a<b باشد آنگاه برای هر c عضو X داشته باشیم a+c<b+c
ب: اگر a<b باشد آنگاهه برای هر اسکالر نامنفی r عضو میدان داشته باشیم ra<rb
2-مشبکه برداری:
فضاي برداري جزئا مرتب X را مشکه برداری گوییم هرگاه به ازای هر جفت از بردارهای a,b متعلق به X، هم سوپریموم a,b موجود باشه و هم اینفیموم a,b موجود باشد.
3-نرم مشبکه ای:
میگوییم نرم اا اا روی مشبکه برداری X یک نرم مشبکه ای است هرگاه رابطه اaا کوچکتر مساوی اbا مستلزم ااaاا کوچکتر مساوی ااbاا باشد.
4-مشبکه برداری نرمدار:
هرمشبکه برداری نرمدار، مشبکه ای برداری مجهز به یک نرم مشبکه ای است.
5-مشبکه باناخ:
اگر مشبکه برداری نرمدار X کامل باشد، X را مشبکه باناخ نامیم.
برای مثال(B (X مجهز به ابطه ترتیبی کوچکتر مساوی و نرم sup یک مشبکه باناخ است
همچنین Lp برای p های بین یک تا بینهایت مشبکه باناخ است (برای p=1 و p=∞، نیز مشبکه باناخ است)
1-فضای جزئا مرتب:
فضای جزئا مرتب، یک فضای برداری حقیقی مانند X مجهز به یک رابطه ترتیبی مانند > است که در دو شرط زیر صدق میکند
الف: اگر a<b باشد آنگاه برای هر c عضو X داشته باشیم a+c<b+c
ب: اگر a<b باشد آنگاهه برای هر اسکالر نامنفی r عضو میدان داشته باشیم ra<rb
2-مشبکه برداری:
فضاي برداري جزئا مرتب X را مشکه برداری گوییم هرگاه به ازای هر جفت از بردارهای a,b متعلق به X، هم سوپریموم a,b موجود باشه و هم اینفیموم a,b موجود باشد.
3-نرم مشبکه ای:
میگوییم نرم اا اا روی مشبکه برداری X یک نرم مشبکه ای است هرگاه رابطه اaا کوچکتر مساوی اbا مستلزم ااaاا کوچکتر مساوی ااbاا باشد.
4-مشبکه برداری نرمدار:
هرمشبکه برداری نرمدار، مشبکه ای برداری مجهز به یک نرم مشبکه ای است.
5-مشبکه باناخ:
اگر مشبکه برداری نرمدار X کامل باشد، X را مشبکه باناخ نامیم.
برای مثال(B (X مجهز به ابطه ترتیبی کوچکتر مساوی و نرم sup یک مشبکه باناخ است
همچنین Lp برای p های بین یک تا بینهایت مشبکه باناخ است (برای p=1 و p=∞، نیز مشبکه باناخ است)
#بخش_پذیری اعداد تا ١٦
📚برای تقسیم بر بیشتر اعداد طبیعی قاعده هایی وجود دارد...
🔴قاعده تقسیم بر 1 :
همه ی اعداد بر یک بخش پذیر هستند.
🔵قاعده تقسیم بر 2 :
عددی بر 2 بخش پذیر است که رقم یکانش بر 2 بخش پذیر باشد. باقی مانده تقسیم هرعدد بر 2 باقی مانده تقسیم رقم یکان عدد بر 2 است.
مثال- همه ی اعداد زوج بر 2 بخش پذیر هستند.
🔴قاعده تقسیم بر 3 :
عددی بر 3 بخش پذیر است که مجموع ارقامش بر 3 بخش پذیر باشد. باقی مانده ی تقسیم عدد بر 3 همان باقی مانده تقسیم مجموع ارقام آن عدد بر 3 است.
مثال- مجموع رقم های عدد 7۵12 برابر 1۵ است و 1۵ بر 3 بخش پذیر می باشد، بنابراین عدد7۵12 بر 3 بخش پذیر است.
🔵قاعده تقسیم بر 4 :
الف) عددی بر 4 قابل قسمت است که دو رقم
سمت راست آن بر4 قابل قسمت باشد. باقی مانده تقسیم هر عدد بر 4 مساوی باقی مانده تقسیم دو رقم سمت راست آن عدد بر4 .
مثال- عدد ۵248 بر 4 بخش پذیر است. زیرا 48 بر 4 بخش پذیر است.
ب)عددی بر4 بخش پذیر است که رقم یکان به اضافه ی 2 برابر رقم دهگان آن بر 4 بخش پذیر باشد.
مثال- عدد 1۵68 بر 4 بخش پذیر است. زیرا 20 = 8 + 6 * 2 و 20 بر 4 بخش پذیر می باشد.
🔴قاعده تقسیم بر 5 :
عددی بر۵بخش پذیر است که رقم یکانش بر۵ بخش پذیر باشد. باقی مانده تقسیم هرعدد بر۵ باقی مانده تقسیم رقم یکان عدد بر ۵ است.
مثال- اعداد ۶۵، 240 و 800 بر۵ بخش پذیر هستند.
🔵قاعده تقسیم بر 6 :
عددی بر 6 بخش پذیر است که بر2 و3 بخش پذیر باشد. ( 3 * 2 = 6)
مثال- عدد 132 هم بر 2 و هم بر 3 بخش پذیراست. پس بر6 نیز بخش پذیر است.
🔴قاعده تقسیم بر 7 :
عددی بر 7 بخش پذیر است که اگر 2 برابر رقم یکان آن را از عددی که از حذف یکان به دست آمده کم کنیم، حاصل بر7 بخش پذیر باشد.(در صورت لزوم این عمل را چندین بار تکرار می کنیم تا به نتیجه برسیم.)
مثال- عدد ۵194 بر 7 بخش پذیر است. زیرا: ( 8 = 2 * 4) 5194 ( 2= 2 *1) 511 =
8 – 519 49 = 2- 51
49 مضربی از 7 است. بنابراین۵۱۹۴ بر 7 بخش پذیر است.
🔵قاعده تقسیم بر 8 :
الف) عددی بر8 قابل قسمت است که سه رقم سمت راست آن بر 8 قابل قسمت باشد.
مثال- اعداد 4۵000 و706۵6 بر 8 بخش پذیرهستند. زیرا سه رقم سمت راست آن ها یعنی صفر و6۵6 بر 8 بخش پذیرهستند.
ب) عددی بر8 بخش پذیر است که 2 برابررقم دهگان به اضافه ی 4 برابر رقم صدگان آن بر 8 بخش پذیر باشد.
مثال- عدد 6۵321 بر 8 بخش پذیر است. زیرا 16 = 2 * 2 + 3 * 4 و 16 بر 8 بخش پذیر می باشد.
🔴قاعده تقسیم بر 9 :
عددی بر 9 بخش پذیراست که مجموع ارقامش بر9 بخش پذیر باشد.
مثال- عدد ۵148 بر 9 بخش پذیراست. زیرا مجموع رقم های آن یعنی 18 بر 9 بخش پذیر است.
🔴قاعده تقسیم بر 10 :
عددی بر 10 بخش پذیر است که رقم یکان آن صفر باشد.
مثال- اعداد 70 ، 1200 و 810 بر 10 بخش پذیر هستند.
🔴قاعده تقسیم بر 11 :
عددی بر 11 بخش پذیر است که اگر ارقام آن را یکی در میان به دو دسته تقسیم کنیم و مجموع ارقام هر دسته را به دست آوریم و سپس دو عدد به دست آمده را از هم کم کنیم عدد حاصل بر 11 بخش پذیر باشد.
مثال-عدد ۵240312 بر 11 بخش پذیر است زیرا: 14 = 2 + 3 + 4 + 5 3 = 1 + 0 + 2 11 = 3 - 14
🔵قاعده تقسیم بر 12 :
عددی بر 12 بخش پذیر است که بر 3 و 4 بخش پذیر باشد.
مثال- اعداد 72 و 120 و 480 بر 12 بخش پذیر هستند.
🔴قاعده تقسیم بر 13 :
عددی بر 13 بخش پذیر است که اگر 4 برابر رقم یکان آن را با عددی که از حذف یکان به دست آمده جمع کنیم، حاصل بر 13 بخش پذیرباشد. (در صورت لزوم این عمل را چندین بار تکرار می کنیم تا به نتیجه برسیم.)
مثال- عدد 247 بر 13 بخش پذیر است. زیرا: ( 28 = 7 * 4) 247 ( 8 = 2 * 4) 52 = 28 + 24 13 = 8 + 5
🔵قاعده تقسیم بر 14 :
عددی بر 14 بخش پذیر است که بر 2 و 7 بخش پذیر باشد. ( 7 * 2 = 14)
مثال- عدد 3۵42 هم بر 2 وهم بر7 بخش پذیر است. پس بر 14 نیز بخش پذیر است.
🔴قاعده تقسیم بر 15 :
عددی بر 1۵ بخش پذیر است که بر 3 و 5 بخش پذیر باشد. ( ۵ * 3 = 1۵)
مثال- عدد 43۵0 هم بر 3 و هم بر 5 بخش پذیر است. پس بر 43۵0 نیز بخش پذیر است.
🔵قاعده تقسیم بر 16 : عددی بر 16 بخش پذیر است که چهار رقم سمت راست آن بر 16 بخش پذیر باشد .
📚برای تقسیم بر بیشتر اعداد طبیعی قاعده هایی وجود دارد...
🔴قاعده تقسیم بر 1 :
همه ی اعداد بر یک بخش پذیر هستند.
🔵قاعده تقسیم بر 2 :
عددی بر 2 بخش پذیر است که رقم یکانش بر 2 بخش پذیر باشد. باقی مانده تقسیم هرعدد بر 2 باقی مانده تقسیم رقم یکان عدد بر 2 است.
مثال- همه ی اعداد زوج بر 2 بخش پذیر هستند.
🔴قاعده تقسیم بر 3 :
عددی بر 3 بخش پذیر است که مجموع ارقامش بر 3 بخش پذیر باشد. باقی مانده ی تقسیم عدد بر 3 همان باقی مانده تقسیم مجموع ارقام آن عدد بر 3 است.
مثال- مجموع رقم های عدد 7۵12 برابر 1۵ است و 1۵ بر 3 بخش پذیر می باشد، بنابراین عدد7۵12 بر 3 بخش پذیر است.
🔵قاعده تقسیم بر 4 :
الف) عددی بر 4 قابل قسمت است که دو رقم
سمت راست آن بر4 قابل قسمت باشد. باقی مانده تقسیم هر عدد بر 4 مساوی باقی مانده تقسیم دو رقم سمت راست آن عدد بر4 .
مثال- عدد ۵248 بر 4 بخش پذیر است. زیرا 48 بر 4 بخش پذیر است.
ب)عددی بر4 بخش پذیر است که رقم یکان به اضافه ی 2 برابر رقم دهگان آن بر 4 بخش پذیر باشد.
مثال- عدد 1۵68 بر 4 بخش پذیر است. زیرا 20 = 8 + 6 * 2 و 20 بر 4 بخش پذیر می باشد.
🔴قاعده تقسیم بر 5 :
عددی بر۵بخش پذیر است که رقم یکانش بر۵ بخش پذیر باشد. باقی مانده تقسیم هرعدد بر۵ باقی مانده تقسیم رقم یکان عدد بر ۵ است.
مثال- اعداد ۶۵، 240 و 800 بر۵ بخش پذیر هستند.
🔵قاعده تقسیم بر 6 :
عددی بر 6 بخش پذیر است که بر2 و3 بخش پذیر باشد. ( 3 * 2 = 6)
مثال- عدد 132 هم بر 2 و هم بر 3 بخش پذیراست. پس بر6 نیز بخش پذیر است.
🔴قاعده تقسیم بر 7 :
عددی بر 7 بخش پذیر است که اگر 2 برابر رقم یکان آن را از عددی که از حذف یکان به دست آمده کم کنیم، حاصل بر7 بخش پذیر باشد.(در صورت لزوم این عمل را چندین بار تکرار می کنیم تا به نتیجه برسیم.)
مثال- عدد ۵194 بر 7 بخش پذیر است. زیرا: ( 8 = 2 * 4) 5194 ( 2= 2 *1) 511 =
8 – 519 49 = 2- 51
49 مضربی از 7 است. بنابراین۵۱۹۴ بر 7 بخش پذیر است.
🔵قاعده تقسیم بر 8 :
الف) عددی بر8 قابل قسمت است که سه رقم سمت راست آن بر 8 قابل قسمت باشد.
مثال- اعداد 4۵000 و706۵6 بر 8 بخش پذیرهستند. زیرا سه رقم سمت راست آن ها یعنی صفر و6۵6 بر 8 بخش پذیرهستند.
ب) عددی بر8 بخش پذیر است که 2 برابررقم دهگان به اضافه ی 4 برابر رقم صدگان آن بر 8 بخش پذیر باشد.
مثال- عدد 6۵321 بر 8 بخش پذیر است. زیرا 16 = 2 * 2 + 3 * 4 و 16 بر 8 بخش پذیر می باشد.
🔴قاعده تقسیم بر 9 :
عددی بر 9 بخش پذیراست که مجموع ارقامش بر9 بخش پذیر باشد.
مثال- عدد ۵148 بر 9 بخش پذیراست. زیرا مجموع رقم های آن یعنی 18 بر 9 بخش پذیر است.
🔴قاعده تقسیم بر 10 :
عددی بر 10 بخش پذیر است که رقم یکان آن صفر باشد.
مثال- اعداد 70 ، 1200 و 810 بر 10 بخش پذیر هستند.
🔴قاعده تقسیم بر 11 :
عددی بر 11 بخش پذیر است که اگر ارقام آن را یکی در میان به دو دسته تقسیم کنیم و مجموع ارقام هر دسته را به دست آوریم و سپس دو عدد به دست آمده را از هم کم کنیم عدد حاصل بر 11 بخش پذیر باشد.
مثال-عدد ۵240312 بر 11 بخش پذیر است زیرا: 14 = 2 + 3 + 4 + 5 3 = 1 + 0 + 2 11 = 3 - 14
🔵قاعده تقسیم بر 12 :
عددی بر 12 بخش پذیر است که بر 3 و 4 بخش پذیر باشد.
مثال- اعداد 72 و 120 و 480 بر 12 بخش پذیر هستند.
🔴قاعده تقسیم بر 13 :
عددی بر 13 بخش پذیر است که اگر 4 برابر رقم یکان آن را با عددی که از حذف یکان به دست آمده جمع کنیم، حاصل بر 13 بخش پذیرباشد. (در صورت لزوم این عمل را چندین بار تکرار می کنیم تا به نتیجه برسیم.)
مثال- عدد 247 بر 13 بخش پذیر است. زیرا: ( 28 = 7 * 4) 247 ( 8 = 2 * 4) 52 = 28 + 24 13 = 8 + 5
🔵قاعده تقسیم بر 14 :
عددی بر 14 بخش پذیر است که بر 2 و 7 بخش پذیر باشد. ( 7 * 2 = 14)
مثال- عدد 3۵42 هم بر 2 وهم بر7 بخش پذیر است. پس بر 14 نیز بخش پذیر است.
🔴قاعده تقسیم بر 15 :
عددی بر 1۵ بخش پذیر است که بر 3 و 5 بخش پذیر باشد. ( ۵ * 3 = 1۵)
مثال- عدد 43۵0 هم بر 3 و هم بر 5 بخش پذیر است. پس بر 43۵0 نیز بخش پذیر است.
🔵قاعده تقسیم بر 16 : عددی بر 16 بخش پذیر است که چهار رقم سمت راست آن بر 16 بخش پذیر باشد .
نکاتی راجع به کلا کرانداری (totally bounded)
1-زیر مجموعه A از فضای متریک M را کراندار گوییم هرگاه قطر A متناهی باشد
۲-زیر مجموعه A از فضای متریک M را کلا کراندار نامیم هرگاه به ازای هر عدد مثبت یک اپسیلون تور متناهی موجود باشد
۳-هر فضای متریک کلا کراندار، کراندار است ولی عکس آن لزوما برقرار نیست
۴-هر فضای متری فشرده کلا کراندار است
۵-کلا کرانداری یک فضای متریک کامل، فشردگی این فضا را ایجاب میکنند
۶-در فضای n بعدی R کرانداری و کلا کرانداری معادلند
۷-در فضای R با متر گسسته، یک زیر مجموعه R کلا کراندار است اگر و تنها اگر متناهی باشد
۸-زیر مجموعه E از فضای متریک M کلا کراندار است اگر. وتنها اگر هر دنباله از نقاط E شامل یک زیر دنباله کوشی باشد
۹-گوی واحد در فضای هیلبرت یا در حالت کلی در فضای باناخ کلا کراندار است اگر بعد فضا متناهی باشد
1۰-یک فضای متریک تفکیک پذیر است اگر و تنها اگر با یک فضای متریک کلا کراندار همسانریخت باشد
11-هر زیر مجموعه یک فضای متریک کلا کراندار خود نیز کلا کراندار است
1۲-هر فضای متریک کلا کراندار و در حالت خاص هر فضای متریک فشرده تفکیک پذیر است
1۳-کرانداری یک مجموعه در متری که در آن بکار رفته بستگی دارد
1۴-هر فضای متریک دلخواه را، میتوان به یک فضای متریک کراندار تبدیل کرد
1۵- مجموعه R با متر اقلیدسی کراندار نیست، ولی میتوان R را با متر جدید کراندار کرد
1-زیر مجموعه A از فضای متریک M را کراندار گوییم هرگاه قطر A متناهی باشد
۲-زیر مجموعه A از فضای متریک M را کلا کراندار نامیم هرگاه به ازای هر عدد مثبت یک اپسیلون تور متناهی موجود باشد
۳-هر فضای متریک کلا کراندار، کراندار است ولی عکس آن لزوما برقرار نیست
۴-هر فضای متری فشرده کلا کراندار است
۵-کلا کرانداری یک فضای متریک کامل، فشردگی این فضا را ایجاب میکنند
۶-در فضای n بعدی R کرانداری و کلا کرانداری معادلند
۷-در فضای R با متر گسسته، یک زیر مجموعه R کلا کراندار است اگر و تنها اگر متناهی باشد
۸-زیر مجموعه E از فضای متریک M کلا کراندار است اگر. وتنها اگر هر دنباله از نقاط E شامل یک زیر دنباله کوشی باشد
۹-گوی واحد در فضای هیلبرت یا در حالت کلی در فضای باناخ کلا کراندار است اگر بعد فضا متناهی باشد
1۰-یک فضای متریک تفکیک پذیر است اگر و تنها اگر با یک فضای متریک کلا کراندار همسانریخت باشد
11-هر زیر مجموعه یک فضای متریک کلا کراندار خود نیز کلا کراندار است
1۲-هر فضای متریک کلا کراندار و در حالت خاص هر فضای متریک فشرده تفکیک پذیر است
1۳-کرانداری یک مجموعه در متری که در آن بکار رفته بستگی دارد
1۴-هر فضای متریک دلخواه را، میتوان به یک فضای متریک کراندار تبدیل کرد
1۵- مجموعه R با متر اقلیدسی کراندار نیست، ولی میتوان R را با متر جدید کراندار کرد